MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcnvres Structured version   Unicode version

Theorem fcnvres 5760
Description: The converse of a restriction of a function. (Contributed by NM, 26-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
fcnvres  |-  ( F : A --> B  ->  `' ( F  |`  A )  =  ( `' F  |`  B ) )

Proof of Theorem fcnvres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5372 . 2  |-  Rel  `' ( F  |`  A )
2 relres 5299 . 2  |-  Rel  ( `' F  |`  B )
3 opelf 5745 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)
43simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  x  e.  A )
54ex 434 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  x  e.  A ) )
65pm4.71d 634 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  A
) ) )
7 vex 3116 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
8 vex 3116 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
97, 8opelcnv 5182 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  A ) )
107opelres 5277 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  |`  A )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  x  e.  A ) )
119, 10bitri 249 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  A
) )
126, 11syl6bbr 263 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A ) ) )
133simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  B )
1413ex 434 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
1514pm4.71d 634 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) ) )
168opelres 5277 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  `' F  /\  y  e.  B
) )
177, 8opelcnv 5182 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' F  <->  <. x ,  y
>.  e.  F )
1817anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( (
<. y ,  x >.  e.  `' F  /\  y  e.  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) )
1916, 18bitri 249 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) )
2015, 19syl6bbr 263 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B ) ) )
2112, 20bitr3d 255 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  <. y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B ) ) )
221, 2, 21eqrelrdv 5097 1  |-  ( F : A --> B  ->  `' ( F  |`  A )  =  ( `' F  |`  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   <.cop 4033   `'ccnv 4998    |` cres 5001   -->wf 5582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator