MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcnvres Structured version   Unicode version

Theorem fcnvres 5747
Description: The converse of a restriction of a function. (Contributed by NM, 26-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
fcnvres  |-  ( F : A --> B  ->  `' ( F  |`  A )  =  ( `' F  |`  B ) )

Proof of Theorem fcnvres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5197 . 2  |-  Rel  `' ( F  |`  A )
2 relres 5123 . 2  |-  Rel  ( `' F  |`  B )
3 opelf 5732 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)
43simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  x  e.  A )
54ex 434 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  x  e.  A ) )
65pm4.71d 634 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  A
) ) )
7 vex 3064 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
8 vex 3064 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
97, 8opelcnv 5007 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  A ) )
107opelres 5101 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  |`  A )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  x  e.  A ) )
119, 10bitri 251 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  A
) )
126, 11syl6bbr 265 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A ) ) )
133simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  B )
1413ex 434 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
1514pm4.71d 634 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) ) )
168opelres 5101 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  `' F  /\  y  e.  B
) )
177, 8opelcnv 5007 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' F  <->  <. x ,  y
>.  e.  F )
1817anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( (
<. y ,  x >.  e.  `' F  /\  y  e.  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) )
1916, 18bitri 251 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) )
2015, 19syl6bbr 265 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B ) ) )
2112, 20bitr3d 257 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  <. y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B ) ) )
221, 2, 21eqrelrdv 4922 1  |-  ( F : A --> B  ->  `' ( F  |`  A )  =  ( `' F  |`  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   <.cop 3980   `'ccnv 4824    |` cres 4827   -->wf 5567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-br 4398  df-opab 4456  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator