Theorem fcnvres 4589

Description: The converse of a restriction of a function.

Assertion

Ref	Expression
fcnvres	|- (F:A-->B -> `'(F |` A) = (`'F |` B))

Proof of Theorem fcnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
2	1	opelf 4579	. . . . . . . 8 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. A /\ y e. B))
3	2	simplld 348	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> x e. A)
4	3	ex 402	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F -> x e. A))
5		pm4.71 697	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. F -> x e. A) <-> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A)))
6	4, 5	sylib 215	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A)))
7		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
8	1, 7	opelcnv 4143	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.x, y>. e. (F |` A))
9	1	opelres 4222	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (F |` A) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A))
10	8, 9	bitri 190	. . . . 5 |- (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A))
11	6, 10	syl6bbr 597	. . . 4 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> <.y, x>. e. `'(F |` A)))
12	2	simprd 352	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> y e. B)
13	12	ex 402	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F -> y e. B))
14		pm4.71 697	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. F -> y e. B) <-> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
15	13, 14	sylib 215	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
16	7	opelres 4222	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. (`'F |` B) <-> (<.y, x>. e. `'F /\ y e. B))
17	1, 7	opelcnv 4143	. . . . . . 7 |- (<.y, x>. e. `'F <-> <.x, y>. e. F)
18	17	anbi1i 539	. . . . . 6 |- ((<.y, x>. e. `'F /\ y e. B) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
19	16, 18	bitri 190	. . . . 5 |- (<.y, x>. e. (`'F |` B) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
20	15, 19	syl6bbr 597	. . . 4 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
21	11, 20	bitr3d 589	. . 3 |- (F:A-->B -> (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
22	21	19.21aivv 1665	. 2 |- (F:A-->B -> A.yA.x(<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
23		relcnv 4301	. . 3 |- Rel `'(F |` A)
24		relres 4242	. . 3 |- Rel (`'F |` B)
25		eqrel 4077	. . 3 |- ((Rel `'(F |` A) /\ Rel (`'F |` B)) -> (`'(F |` A) = (`'F |` B) <-> A.yA.x(<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B))))
26	23, 24, 25	mp2an 761	. 2 |- (`'(F |` A) = (`'F |` B) <-> A.yA.x(<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
27	22, 26	sylibr 217	1 |- (F:A-->B -> `'(F |` A) = (`'F |` B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046  `'ccnv 3985   |` cres 3988  Rel wrel 3991  -->wf 3994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010

Copyright terms: Public domain