Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcnre Structured version   Unicode version

Theorem fcnre 29890
Description: A function continuous with respect to the standard topology, is a real mapping. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcnre.1  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
fcnre.3  |-  T  = 
U. J
sfcnre.5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
fcnre.6  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
Assertion
Ref Expression
fcnre  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )

Proof of Theorem fcnre
StepHypRef Expression
1 fcnre.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
2 sfcnre.5 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
31, 2syl6eleq 2550 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
4 cntop1 18971 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 fcnre.3 . . . 4  |-  T  = 
U. J
76toptopon 18665 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  T ) )
85, 7sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  T ) )
9 fcnre.1 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
10 retopon 20469 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
119, 10eqeltri 2536 . . 3  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
13 cnf2 18980 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  T )  /\  K  e.  (TopOn `  RR )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : T --> RR )
148, 12, 3, 13syl3anc 1219 1  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   U.cuni 4194   ran crn 4944   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   RRcr 9387   (,)cioo 11406   topGenctg 14490   Topctop 18625  TopOnctopon 18626    Cn ccn 18955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-ioo 11410  df-topgen 14496  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-cn 18958
This theorem is referenced by:  rfcnpre2  29896  cncmpmax  29897  rfcnpre3  29898  rfcnpre4  29899  rfcnnnub  29901  stoweidlem28  29966  stoweidlem29  29967  stoweidlem36  29974  stoweidlem43  29981  stoweidlem44  29982  stoweidlem47  29985  stoweidlem52  29990  stoweidlem57  29995  stoweidlem59  29997  stoweidlem60  29998  stoweidlem61  29999  stoweidlem62  30000  stoweid  30001
  Copyright terms: Public domain W3C validator