Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcnre Structured version   Unicode version

Theorem fcnre 29589
Description: A function continuous with respect to the standard topology, is a real mapping. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcnre.1  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
fcnre.3  |-  T  = 
U. J
sfcnre.5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
fcnre.6  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
Assertion
Ref Expression
fcnre  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )

Proof of Theorem fcnre
StepHypRef Expression
1 fcnre.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
2 sfcnre.5 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
31, 2syl6eleq 2523 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
4 cntop1 18685 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 fcnre.3 . . . 4  |-  T  = 
U. J
76toptopon 18379 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  T ) )
85, 7sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  T ) )
9 fcnre.1 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
10 retopon 20183 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
119, 10eqeltri 2503 . . 3  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
13 cnf2 18694 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  T )  /\  K  e.  (TopOn `  RR )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : T --> RR )
148, 12, 3, 13syl3anc 1211 1  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   U.cuni 4079   ran crn 4828   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9268   (,)cioo 11287   topGenctg 14358   Topctop 18339  TopOnctopon 18340    Cn ccn 18669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-ioo 11291  df-topgen 14364  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-cn 18672
This theorem is referenced by:  rfcnpre2  29595  cncmpmax  29596  rfcnpre3  29597  rfcnpre4  29598  rfcnnnub  29600  stoweidlem28  29666  stoweidlem29  29667  stoweidlem36  29674  stoweidlem43  29681  stoweidlem44  29682  stoweidlem47  29685  stoweidlem52  29690  stoweidlem57  29695  stoweidlem59  29697  stoweidlem60  29698  stoweidlem61  29699  stoweidlem62  29700  stoweid  29701
  Copyright terms: Public domain W3C validator