Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcnre Structured version   Unicode version

Theorem fcnre 30978
Description: A function continuous with respect to the standard topology, is a real mapping. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcnre.1  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
fcnre.3  |-  T  = 
U. J
sfcnre.5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
fcnre.6  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
Assertion
Ref Expression
fcnre  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )

Proof of Theorem fcnre
StepHypRef Expression
1 fcnre.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
2 sfcnre.5 . . . . 5  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
31, 2syl6eleq 2565 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
4 cntop1 19504 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 fcnre.3 . . . 4  |-  T  = 
U. J
76toptopon 19198 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  T ) )
85, 7sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  T ) )
9 fcnre.1 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
10 retopon 21002 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
119, 10eqeltri 2551 . . 3  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
13 cnf2 19513 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  T )  /\  K  e.  (TopOn `  RR )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : T --> RR )
148, 12, 3, 13syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   U.cuni 4245   ran crn 5000   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   (,)cioo 11525   topGenctg 14686   Topctop 19158  TopOnctopon 19159    Cn ccn 19488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-ioo 11529  df-topgen 14692  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-cn 19491
This theorem is referenced by:  rfcnpre2  30984  cncmpmax  30985  rfcnpre3  30986  rfcnpre4  30987  rfcnnnub  30989  stoweidlem28  31328  stoweidlem29  31329  stoweidlem36  31336  stoweidlem43  31343  stoweidlem44  31344  stoweidlem47  31347  stoweidlem52  31352  stoweidlem57  31357  stoweidlem59  31359  stoweidlem60  31360  stoweidlem61  31361  stoweidlem62  31362  stoweid  31363
  Copyright terms: Public domain W3C validator