MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclstopon Structured version   Unicode version

Theorem fclstopon 20805
Description: Reverse closure for the cluster point predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclstopon  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )

Proof of Theorem fclstopon
StepHypRef Expression
1 fclstop 20804 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  J  e.  Top )
2 istopon 19718 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
32baib 904 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  X  =  U. J ) )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  X  =  U. J ) )
5 eqid 2402 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
65fclsfil 20803 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
7 fveq2 5849 . . . . 5  |-  ( X  =  U. J  -> 
( Fil `  X
)  =  ( Fil `  U. J ) )
87eleq2d 2472 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  <-> 
F  e.  ( Fil `  U. J ) ) )
96, 8syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( X  =  U. J  ->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )
10 filunibas 20674 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. J )  ->  U. F  =  U. J )
116, 10syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  U. F  = 
U. J )
12 filunibas 20674 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1312eqeq1d 2404 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( U. F  =  U. J  <->  X  =  U. J ) )
1411, 13syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =  U. J ) )
159, 14impbid 190 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( X  =  U. J  <->  F  e.  ( Fil `  X ) ) )
164, 15bitrd 253 1  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842   U.cuni 4191   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Topctop 19686  TopOnctopon 19687   Filcfil 20638    fClus cfcls 20729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-fbas 18736  df-topon 19694  df-fil 20639  df-fcls 20734
This theorem is referenced by:  fclsopni  20808  fclselbas  20809  fclsss1  20815  fclsss2  20816  fclscf  20818
  Copyright terms: Public domain W3C validator