MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclstop Structured version   Unicode version

Theorem fclstop 20804
Description: Reverse closure for the cluster point predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclstop  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem fclstop
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  U. J  =  U. J
21isfcls 20802 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  U. J
)  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
32simp1bi 1012 1  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   A.wral 2754   U.cuni 4191   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Topctop 19686   clsccl 19811   Filcfil 20638    fClus cfcls 20729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-fbas 18736  df-fil 20639  df-fcls 20734
This theorem is referenced by:  fclstopon  20805  fclsneii  20810  fclsfnflim  20820  flimfnfcls  20821
  Copyright terms: Public domain W3C validator