Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsss1 Structured version   Unicode version

Theorem fclsss1 20255
 Description: A finer topology has fewer cluster points. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsss1 TopOn

Proof of Theorem fclsss1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1001 . . . . . 6 TopOn
2 ssralv 3564 . . . . . . 7
32anim2d 565 . . . . . 6
41, 3syl 16 . . . . 5 TopOn
5 simpl2 1000 . . . . . . 7 TopOn
6 fclstopon 20245 . . . . . . . 8 TopOn
76adantl 466 . . . . . . 7 TopOn TopOn
85, 7mpbird 232 . . . . . 6 TopOn TopOn
9 fclsopn 20247 . . . . . 6 TopOn
108, 5, 9syl2anc 661 . . . . 5 TopOn
11 simpl1 999 . . . . . 6 TopOn TopOn
12 fclsopn 20247 . . . . . 6 TopOn
1311, 5, 12syl2anc 661 . . . . 5 TopOn
144, 10, 133imtr4d 268 . . . 4 TopOn
1514ex 434 . . 3 TopOn
1615pm2.43d 48 . 2 TopOn
1716ssrdv 3510 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wcel 1767   wne 2662  wral 2814   cin 3475   wss 3476  c0 3785  cfv 5586  (class class class)co 6282  TopOnctopon 19159  cfil 20078   cfcls 20169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-fbas 18184  df-top 19163  df-topon 19166  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-fil 20079  df-fcls 20174 This theorem is referenced by:  fclscf  20258
 Copyright terms: Public domain W3C validator