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Theorem fclsrest 20253
Description: The set of cluster points in a restricted topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsrest |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) = ( ( J fClus F ) i^i Y ) )
Proof of Theorem fclsrest
Dummy variables s t u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 991 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2 filelss 20081 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> Y C_ X )
323adant1 1009 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> Y C_ X )
4 resttopon 19421 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
51, 3, 4syl2anc 661 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
6 filfbas 20077 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
763ad2ant2 1013 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> F e. ( fBas ` X ) )
8 simp3 993 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> Y e. F )
9 fbncp 20068 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ Y e. F ) -> -. ( X \ Y ) e. F )
107, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> -. ( X \ Y ) e. F )
11 simp2 992 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
12 trfil3 20117 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) <-> -. ( X \ Y ) e. F ) )
1311, 3, 12syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) <-> -. ( X \ Y ) e. F ) )
1410, 13mpbird 232 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) )
15 fclsopn 20243 . . . . 5 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) /\ ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) ) -> ( x e. ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) <-> ( x e. Y /\ A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) ) ) )
165, 14, 15syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( x e. ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) <-> ( x e. Y /\ A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) ) ) )
17 in32 3703 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i s ) i^i Y ) = ( ( u i^i Y ) i^i s )
18 ineq2 3687 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = t -> ( ( u i^i Y ) i^i s ) = ( ( u i^i Y ) i^i t ) )
1917, 18syl5eq 2513 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = t -> ( ( u i^i s ) i^i Y ) = ( ( u i^i Y ) i^i t ) )
2019neeq1d 2737 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = t -> ( ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) <-> ( ( u i^i Y ) i^i t ) =/= (/) ) )
2120rspccv 3204 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) -> ( t e. F -> ( ( u i^i Y ) i^i t ) =/= (/) ) )
22 inss1 3711 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u i^i Y ) C_ u
23 ssrin 3716 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i Y ) C_ u -> ( ( u i^i Y ) i^i t ) C_ ( u i^i t ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i Y ) i^i t ) C_ ( u i^i t )
25 ssn0 3811 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u i^i Y ) i^i t ) C_ ( u i^i t ) /\ ( ( u i^i Y ) i^i t ) =/= (/) ) -> ( u i^i t ) =/= (/) )
2624, 25mpan 670 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u i^i Y ) i^i t ) =/= (/) -> ( u i^i t ) =/= (/) )
2721, 26syl6 33 . . . . . . . . . 10 |- ( A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) -> ( t e. F -> ( u i^i t ) =/= (/) ) )
2827ralrimiv 2869 . . . . . . . . 9 |- ( A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) )
2911ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
30 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> s e. F )
318ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> Y e. F )
32 filin 20083 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ s e. F /\ Y e. F ) -> ( s i^i Y ) e. F )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> ( s i^i Y ) e. F )
34 ineq2 3687 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( s i^i Y ) -> ( u i^i t ) = ( u i^i ( s i^i Y ) ) )
35 inass 3701 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i s ) i^i Y ) = ( u i^i ( s i^i Y ) )
3634, 35syl6eqr 2519 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( s i^i Y ) -> ( u i^i t ) = ( ( u i^i s ) i^i Y ) )
3736neeq1d 2737 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( s i^i Y ) -> ( ( u i^i t ) =/= (/) <-> ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
3837rspcv 3203 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s i^i Y ) e. F -> ( A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) -> ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
3933, 38syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> ( A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) -> ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
4039ralrimdva 2875 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) -> ( A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
4128, 40impbid2 204 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) -> ( A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) <-> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) )
4241imbi2d 316 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) -> ( ( x e. u -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) <-> ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) )
4342ralbidva 2893 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( A. u e. J ( x e. u -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) <-> A. u e. J ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) )
44 vex 3109 . . . . . . . . 9 |- u e. _V
4544inex1 4581 . . . . . . . 8 |- ( u i^i Y ) e. _V
4645a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) -> ( u i^i Y ) e. _V )
47 elrest 14672 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ Y e. F ) -> ( y e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J y = ( u i^i Y ) ) )
48473adant2 1010 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( y e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J y = ( u i^i Y ) ) )
4948adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( y e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J y = ( u i^i Y ) ) )
50 eleq2 2533 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( x e. y <-> x e. ( u i^i Y ) ) )
51 elin 3680 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( u i^i Y ) <-> ( x e. u /\ x e. Y ) )
5251rbaib 900 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. Y -> ( x e. ( u i^i Y ) <-> x e. u ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( x e. ( u i^i Y ) <-> x e. u ) )
5450, 53sylan9bbr 700 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ y = ( u i^i Y ) ) -> ( x e. y <-> x e. u ) )
55 vex 3109 . . . . . . . . . . . 12 |- s e. _V
5655inex1 4581 . . . . . . . . . . 11 |- ( s i^i Y ) e. _V
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ s e. F ) -> ( s i^i Y ) e. _V )
58 elrest 14672 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( z e. ( F ↾t Y ) <-> E. s e. F z = ( s i^i Y ) ) )
59583adant1 1009 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( z e. ( F ↾t Y ) <-> E. s e. F z = ( s i^i Y ) ) )
6059adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( z e. ( F ↾t Y ) <-> E. s e. F z = ( s i^i Y ) ) )
61 ineq2 3687 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( s i^i Y ) -> ( y i^i z ) = ( y i^i ( s i^i Y ) ) )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ z = ( s i^i Y ) ) -> ( y i^i z ) = ( y i^i ( s i^i Y ) ) )
6362neeq1d 2737 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ z = ( s i^i Y ) ) -> ( ( y i^i z ) =/= (/) <-> ( y i^i ( s i^i Y ) ) =/= (/) ) )
6457, 60, 63ralxfr2d 4656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) <-> A. s e. F ( y i^i ( s i^i Y ) ) =/= (/) ) )
65 ineq1 3686 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( y i^i ( s i^i Y ) ) = ( ( u i^i Y ) i^i ( s i^i Y ) ) )
66 inindir 3709 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i s ) i^i Y ) = ( ( u i^i Y ) i^i ( s i^i Y ) )
6765, 66syl6eqr 2519 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( y i^i ( s i^i Y ) ) = ( ( u i^i s ) i^i Y ) )
6867neeq1d 2737 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( ( y i^i ( s i^i Y ) ) =/= (/) <-> ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
6968ralbidv 2896 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( A. s e. F ( y i^i ( s i^i Y ) ) =/= (/) <-> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
7064, 69sylan9bb 699 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ y = ( u i^i Y ) ) -> ( A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) <-> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
7154, 70imbi12d 320 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ y = ( u i^i Y ) ) -> ( ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) <-> ( x e. u -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) ) )
7246, 49, 71ralxfr2d 4656 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) <-> A. u e. J ( x e. u -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) ) )
731adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
7411adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> F e. ( Fil ` X ) )
753sselda 3497 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> x e. X )
76 fclsopn 20243 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( x e. ( J fClus F ) <-> ( x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
7776baibd 902 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( x e. ( J fClus F ) <-> A. u e. J ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) )
7873, 74, 75, 77syl21anc 1222 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( x e. ( J fClus F ) <-> A. u e. J ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) )
7943, 72, 783bitr4d 285 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) <-> x e. ( J fClus F ) ) )
8079pm5.32da 641 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( x e. Y /\ A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) ) <-> ( x e. Y /\ x e. ( J fClus F ) ) ) )
8116, 80bitrd 253 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( x e. ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) <-> ( x e. Y /\ x e. ( J fClus F ) ) ) )
82 elin 3680 . . . 4 |- ( x e. ( ( J fClus F ) i^i Y ) <-> ( x e. ( J fClus F ) /\ x e. Y ) )
83 ancom 450 . . . 4 |- ( ( x e. ( J fClus F ) /\ x e. Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. ( J fClus F ) ) )
8482, 83bitri 249 . . 3 |- ( x e. ( ( J fClus F ) i^i Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. ( J fClus F ) ) )
8581, 84syl6bbr 263 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( x e. ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) <-> x e. ( ( J fClus F ) i^i Y ) ) )
8685eqrdv 2457 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) = ( ( J fClus F ) i^i Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   \ cdif 3466   i^i cin 3468   C_ wss 3469   (/)c0 3778   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ↾t crest 14665   fBascfbas 18170  TopOnctopon 19155   Filcfil 20074   fClus cfcls 20165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-fin 7510  df-fi 7860  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-fil 20075  df-fcls 20170
This theorem is referenced by:  relcmpcmet  21483
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