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Theorem fclsrest 19572
Description: The set of cluster points in a restricted topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsrest  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fClus  F )  i^i  Y ) )

Proof of Theorem fclsrest
Dummy variables  s 
t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 filelss 19400 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
323adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
4 resttopon 18740 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
51, 3, 4syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
6 filfbas 19396 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
763ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
8 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  e.  F )
9 fbncp 19387 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
107, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
11 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
12 trfil3 19436 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1311, 3, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1410, 13mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )
15 fclsopn 19562 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ( x  e.  ( ( Jt  Y ) 
fClus  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) ) ) ) )
165, 14, 15syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) ) ) ) )
17 in32 3557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y )  =  ( ( u  i^i 
Y )  i^i  s
)
18 ineq2 3541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  t  ->  (
( u  i^i  Y
)  i^i  s )  =  ( ( u  i^i  Y )  i^i  t ) )
1917, 18syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  t  ->  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =  ( ( u  i^i  Y )  i^i  t ) )
2019neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  ( (
u  i^i  Y )  i^i  t )  =/=  (/) ) )
2120rspccv 3065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. s  e.  F  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  ( t  e.  F  ->  ( ( u  i^i  Y )  i^i  t )  =/=  (/) ) )
22 inss1 3565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  i^i  Y )  C_  u
23 ssrin 3570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  Y ) 
C_  u  ->  (
( u  i^i  Y
)  i^i  t )  C_  ( u  i^i  t
) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  Y )  i^i  t )  C_  ( u  i^i  t
)
25 ssn0 3665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( u  i^i 
Y )  i^i  t
)  C_  ( u  i^i  t )  /\  (
( u  i^i  Y
)  i^i  t )  =/=  (/) )  ->  (
u  i^i  t )  =/=  (/) )
2624, 25mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  i^i  Y
)  i^i  t )  =/=  (/)  ->  ( u  i^i  t )  =/=  (/) )
2721, 26syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. s  e.  F  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  ( t  e.  F  ->  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) )
2827ralrimiv 2793 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s  e.  F  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) )
2911ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
30 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  s  e.  F )
318ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  Y  e.  F )
32 filin 19402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  F )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  F )
34 ineq2 3541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( s  i^i 
Y )  ->  (
u  i^i  t )  =  ( u  i^i  ( s  i^i  Y
) ) )
35 inass 3555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y )  =  ( u  i^i  (
s  i^i  Y )
)
3634, 35syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( s  i^i 
Y )  ->  (
u  i^i  t )  =  ( ( u  i^i  s )  i^i 
Y ) )
3736neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( s  i^i 
Y )  ->  (
( u  i^i  t
)  =/=  (/)  <->  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
3837rspcv 3064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  i^i  Y )  e.  F  ->  ( A. t  e.  F  ( u  i^i  t
)  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
3933, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. t  e.  F  ( u  i^i  t
)  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
4039ralrimdva 2801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  u  e.  J )  ->  ( A. t  e.  F  ( u  i^i  t
)  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
4128, 40impbid2 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  u  e.  J )  ->  ( A. s  e.  F  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) )
4241imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  ->  A. s  e.  F  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/) )  <->  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) )
4342ralbidva 2726 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. s  e.  F  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) )
44 vex 2970 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
4544inex1 4428 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  Y )  e. 
_V
4645a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  u  e.  J )  ->  (
u  i^i  Y )  e.  _V )
47 elrest 14358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  y  =  ( u  i^i  Y ) ) )
48473adant2 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  y  =  ( u  i^i  Y ) ) )
4948adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  y  =  ( u  i^i  Y ) ) )
50 eleq2 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
51 elin 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( u  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  Y ) )
5251rbaib 898 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Y  ->  (
x  e.  ( u  i^i  Y )  <->  x  e.  u ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  Y )  <->  x  e.  u ) )
5450, 53sylan9bbr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( u  i^i  Y ) )  ->  ( x  e.  y  <->  x  e.  u
) )
55 vex 2970 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
5655inex1 4428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  i^i  Y )  e. 
_V
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  _V )
58 elrest 14358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
z  e.  ( Ft  Y )  <->  E. s  e.  F  z  =  ( s  i^i  Y ) ) )
59583adant1 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
z  e.  ( Ft  Y )  <->  E. s  e.  F  z  =  ( s  i^i  Y ) ) )
6059adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
z  e.  ( Ft  Y )  <->  E. s  e.  F  z  =  ( s  i^i  Y ) ) )
61 ineq2 3541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( s  i^i 
Y )  ->  (
y  i^i  z )  =  ( y  i^i  ( s  i^i  Y
) ) )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  =  ( s  i^i  Y
) )  ->  (
y  i^i  z )  =  ( y  i^i  ( s  i^i  Y
) ) )
6362neeq1d 2616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  =  ( s  i^i  Y
) )  ->  (
( y  i^i  z
)  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  ( s  i^i  Y
) )  =/=  (/) ) )
6457, 60, 63ralxfr2d 4503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) 
<-> 
A. s  e.  F  ( y  i^i  (
s  i^i  Y )
)  =/=  (/) ) )
65 ineq1 3540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
y  i^i  ( s  i^i  Y ) )  =  ( ( u  i^i 
Y )  i^i  (
s  i^i  Y )
) )
66 inindir 3563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y )  =  ( ( u  i^i 
Y )  i^i  (
s  i^i  Y )
)
6765, 66syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
y  i^i  ( s  i^i  Y ) )  =  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
) )
6867neeq1d 2616 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( y  i^i  (
s  i^i  Y )
)  =/=  (/)  <->  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
6968ralbidv 2730 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( A. s  e.  F  ( y  i^i  (
s  i^i  Y )
)  =/=  (/)  <->  A. s  e.  F  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
7064, 69sylan9bb 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( u  i^i  Y ) )  ->  ( A. z  e.  ( Ft  Y
) ( y  i^i  z )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  F  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
7154, 70imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( u  i^i  Y ) )  ->  ( (
x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) )  <->  ( x  e.  u  ->  A. s  e.  F  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) ) )
7246, 49, 71ralxfr2d 4503 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. s  e.  F  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/) ) ) )
731adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
7411adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
753sselda 3351 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
76 fclsopn 19562 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) ) )
7776baibd 900 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  F )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) )
7873, 74, 75, 77syl21anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  F )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) )
7943, 72, 783bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) )  <->  x  e.  ( J  fClus  F ) ) )
8079pm5.32da 641 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) ) ) )
8116, 80bitrd 253 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) ) ) )
82 elin 3534 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( J 
fClus  F )  i^i  Y
)  <->  ( x  e.  ( J  fClus  F )  /\  x  e.  Y
) )
83 ancom 450 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( J 
fClus  F )  /\  x  e.  Y )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) ) )
8482, 83bitri 249 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( J 
fClus  F )  i^i  Y
)  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) ) )
8581, 84syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  <->  x  e.  ( ( J  fClus  F )  i^i  Y ) ) )
8685eqrdv 2436 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fClus  F )  i^i  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ↾t crest 14351   fBascfbas 17779  TopOnctopon 18474   Filcfil 19393    fClus cfcls 19484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-fin 7306  df-fi 7653  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-fil 19394  df-fcls 19489
This theorem is referenced by:  relcmpcmet  20802
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