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Theorem fclsrest 20691
Description: The set of cluster points in a restricted topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsrest  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fClus  F )  i^i  Y ) )

Proof of Theorem fclsrest
Dummy variables  s 
t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 994 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 filelss 20519 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
323adant1 1012 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
4 resttopon 19829 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
51, 3, 4syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
6 filfbas 20515 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
763ad2ant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
8 simp3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  e.  F )
9 fbncp 20506 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
107, 8, 9syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
11 simp2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
12 trfil3 20555 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1311, 3, 12syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1410, 13mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )
15 fclsopn 20681 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ( x  e.  ( ( Jt  Y ) 
fClus  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) ) ) ) )
165, 14, 15syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) ) ) ) )
17 in32 3696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y )  =  ( ( u  i^i 
Y )  i^i  s
)
18 ineq2 3680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  t  ->  (
( u  i^i  Y
)  i^i  s )  =  ( ( u  i^i  Y )  i^i  t ) )
1917, 18syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  t  ->  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =  ( ( u  i^i  Y )  i^i  t ) )
2019neeq1d 2731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  ( (
u  i^i  Y )  i^i  t )  =/=  (/) ) )
2120rspccv 3204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. s  e.  F  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  ( t  e.  F  ->  ( ( u  i^i  Y )  i^i  t )  =/=  (/) ) )
22 inss1 3704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  i^i  Y )  C_  u
23 ssrin 3709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  Y ) 
C_  u  ->  (
( u  i^i  Y
)  i^i  t )  C_  ( u  i^i  t
) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  Y )  i^i  t )  C_  ( u  i^i  t
)
25 ssn0 3817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( u  i^i 
Y )  i^i  t
)  C_  ( u  i^i  t )  /\  (
( u  i^i  Y
)  i^i  t )  =/=  (/) )  ->  (
u  i^i  t )  =/=  (/) )
2624, 25mpan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  i^i  Y
)  i^i  t )  =/=  (/)  ->  ( u  i^i  t )  =/=  (/) )
2721, 26syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. s  e.  F  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  ( t  e.  F  ->  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) )
2827ralrimiv 2866 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s  e.  F  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) )
2911ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
30 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  s  e.  F )
318ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  Y  e.  F )
32 filin 20521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  F )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  F )
34 ineq2 3680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( s  i^i 
Y )  ->  (
u  i^i  t )  =  ( u  i^i  ( s  i^i  Y
) ) )
35 inass 3694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y )  =  ( u  i^i  (
s  i^i  Y )
)
3634, 35syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( s  i^i 
Y )  ->  (
u  i^i  t )  =  ( ( u  i^i  s )  i^i 
Y ) )
3736neeq1d 2731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( s  i^i 
Y )  ->  (
( u  i^i  t
)  =/=  (/)  <->  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
3837rspcv 3203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  i^i  Y )  e.  F  ->  ( A. t  e.  F  ( u  i^i  t
)  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
3933, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. t  e.  F  ( u  i^i  t
)  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
4039ralrimdva 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  u  e.  J )  ->  ( A. t  e.  F  ( u  i^i  t
)  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
4128, 40impbid2 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  u  e.  J )  ->  ( A. s  e.  F  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) )
4241imbi2d 314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  ->  A. s  e.  F  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/) )  <->  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) )
4342ralbidva 2890 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. s  e.  F  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) )
44 vex 3109 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
4544inex1 4578 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  Y )  e. 
_V
4645a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  u  e.  J )  ->  (
u  i^i  Y )  e.  _V )
47 elrest 14917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  y  =  ( u  i^i  Y ) ) )
48473adant2 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  y  =  ( u  i^i  Y ) ) )
4948adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  y  =  ( u  i^i  Y ) ) )
50 eleq2 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
51 elin 3673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( u  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  Y ) )
5251rbaib 904 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Y  ->  (
x  e.  ( u  i^i  Y )  <->  x  e.  u ) )
5352adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  Y )  <->  x  e.  u ) )
5450, 53sylan9bbr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( u  i^i  Y ) )  ->  ( x  e.  y  <->  x  e.  u
) )
55 vex 3109 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
5655inex1 4578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  i^i  Y )  e. 
_V
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  _V )
58 elrest 14917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
z  e.  ( Ft  Y )  <->  E. s  e.  F  z  =  ( s  i^i  Y ) ) )
59583adant1 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
z  e.  ( Ft  Y )  <->  E. s  e.  F  z  =  ( s  i^i  Y ) ) )
6059adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
z  e.  ( Ft  Y )  <->  E. s  e.  F  z  =  ( s  i^i  Y ) ) )
61 ineq2 3680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( s  i^i 
Y )  ->  (
y  i^i  z )  =  ( y  i^i  ( s  i^i  Y
) ) )
6261adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  =  ( s  i^i  Y
) )  ->  (
y  i^i  z )  =  ( y  i^i  ( s  i^i  Y
) ) )
6362neeq1d 2731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  =  ( s  i^i  Y
) )  ->  (
( y  i^i  z
)  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  ( s  i^i  Y
) )  =/=  (/) ) )
6457, 60, 63ralxfr2d 4653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) 
<-> 
A. s  e.  F  ( y  i^i  (
s  i^i  Y )
)  =/=  (/) ) )
65 ineq1 3679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
y  i^i  ( s  i^i  Y ) )  =  ( ( u  i^i 
Y )  i^i  (
s  i^i  Y )
) )
66 inindir 3702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y )  =  ( ( u  i^i 
Y )  i^i  (
s  i^i  Y )
)
6765, 66syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
y  i^i  ( s  i^i  Y ) )  =  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
) )
6867neeq1d 2731 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( y  i^i  (
s  i^i  Y )
)  =/=  (/)  <->  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
6968ralbidv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( A. s  e.  F  ( y  i^i  (
s  i^i  Y )
)  =/=  (/)  <->  A. s  e.  F  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
7064, 69sylan9bb 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( u  i^i  Y ) )  ->  ( A. z  e.  ( Ft  Y
) ( y  i^i  z )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  F  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
7154, 70imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( u  i^i  Y ) )  ->  ( (
x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) )  <->  ( x  e.  u  ->  A. s  e.  F  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) ) )
7246, 49, 71ralxfr2d 4653 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. s  e.  F  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/) ) ) )
731adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
7411adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
753sselda 3489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
76 fclsopn 20681 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) ) )
7776baibd 907 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  F )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) )
7873, 74, 75, 77syl21anc 1225 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  F )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) )
7943, 72, 783bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) )  <->  x  e.  ( J  fClus  F ) ) )
8079pm5.32da 639 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) ) ) )
8116, 80bitrd 253 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) ) ) )
82 elin 3673 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( J 
fClus  F )  i^i  Y
)  <->  ( x  e.  ( J  fClus  F )  /\  x  e.  Y
) )
83 ancom 448 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( J 
fClus  F )  /\  x  e.  Y )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) ) )
8482, 83bitri 249 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( J 
fClus  F )  i^i  Y
)  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) ) )
8581, 84syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  <->  x  e.  ( ( J  fClus  F )  i^i  Y ) ) )
8685eqrdv 2451 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fClus  F )  i^i  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾t crest 14910   fBascfbas 18601  TopOnctopon 19562   Filcfil 20512    fClus cfcls 20603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-fil 20513  df-fcls 20608
This theorem is referenced by:  relcmpcmet  21921
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