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Theorem fclsrest 21039
Description: The set of cluster points in a restricted topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsrest |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) = ( ( J fClus F ) i^i Y ) )
Proof of Theorem fclsrest
Dummy variables s t u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1008 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2 filelss 20867 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> Y C_ X )
323adant1 1026 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> Y C_ X )
4 resttopon 20177 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
51, 3, 4syl2anc 667 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
6 filfbas 20863 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
763ad2ant2 1030 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> F e. ( fBas ` X ) )
8 simp3 1010 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> Y e. F )
9 fbncp 20854 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ Y e. F ) -> -. ( X \ Y ) e. F )
107, 8, 9syl2anc 667 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> -. ( X \ Y ) e. F )
11 simp2 1009 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
12 trfil3 20903 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) <-> -. ( X \ Y ) e. F ) )
1311, 3, 12syl2anc 667 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) <-> -. ( X \ Y ) e. F ) )
1410, 13mpbird 236 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) )
15 fclsopn 21029 . . . . 5 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) /\ ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) ) -> ( x e. ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) <-> ( x e. Y /\ A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) ) ) )
165, 14, 15syl2anc 667 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( x e. ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) <-> ( x e. Y /\ A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) ) ) )
17 in32 3644 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i s ) i^i Y ) = ( ( u i^i Y ) i^i s )
18 ineq2 3628 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = t -> ( ( u i^i Y ) i^i s ) = ( ( u i^i Y ) i^i t ) )
1917, 18syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = t -> ( ( u i^i s ) i^i Y ) = ( ( u i^i Y ) i^i t ) )
2019neeq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = t -> ( ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) <-> ( ( u i^i Y ) i^i t ) =/= (/) ) )
2120rspccv 3147 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) -> ( t e. F -> ( ( u i^i Y ) i^i t ) =/= (/) ) )
22 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u i^i Y ) C_ u
23 ssrin 3657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i Y ) C_ u -> ( ( u i^i Y ) i^i t ) C_ ( u i^i t ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i Y ) i^i t ) C_ ( u i^i t )
25 ssn0 3767 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u i^i Y ) i^i t ) C_ ( u i^i t ) /\ ( ( u i^i Y ) i^i t ) =/= (/) ) -> ( u i^i t ) =/= (/) )
2624, 25mpan 676 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u i^i Y ) i^i t ) =/= (/) -> ( u i^i t ) =/= (/) )
2721, 26syl6 34 . . . . . . . . . 10 |- ( A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) -> ( t e. F -> ( u i^i t ) =/= (/) ) )
2827ralrimiv 2800 . . . . . . . . 9 |- ( A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) )
2911ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
30 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> s e. F )
318ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> Y e. F )
32 filin 20869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ s e. F /\ Y e. F ) -> ( s i^i Y ) e. F )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> ( s i^i Y ) e. F )
34 ineq2 3628 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( s i^i Y ) -> ( u i^i t ) = ( u i^i ( s i^i Y ) ) )
35 inass 3642 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i s ) i^i Y ) = ( u i^i ( s i^i Y ) )
3634, 35syl6eqr 2503 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( s i^i Y ) -> ( u i^i t ) = ( ( u i^i s ) i^i Y ) )
3736neeq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( s i^i Y ) -> ( ( u i^i t ) =/= (/) <-> ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
3837rspcv 3146 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s i^i Y ) e. F -> ( A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) -> ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
3933, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> ( A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) -> ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
4039ralrimdva 2806 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) -> ( A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
4128, 40impbid2 208 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) -> ( A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) <-> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) )
4241imbi2d 318 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) -> ( ( x e. u -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) <-> ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) )
4342ralbidva 2824 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( A. u e. J ( x e. u -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) <-> A. u e. J ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) )
44 vex 3048 . . . . . . . . 9 |- u e. _V
4544inex1 4544 . . . . . . . 8 |- ( u i^i Y ) e. _V
4645a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) -> ( u i^i Y ) e. _V )
47 elrest 15326 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ Y e. F ) -> ( y e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J y = ( u i^i Y ) ) )
48473adant2 1027 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( y e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J y = ( u i^i Y ) ) )
4948adantr 467 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( y e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J y = ( u i^i Y ) ) )
50 eleq2 2518 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( x e. y <-> x e. ( u i^i Y ) ) )
51 elin 3617 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( u i^i Y ) <-> ( x e. u /\ x e. Y ) )
5251rbaib 917 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. Y -> ( x e. ( u i^i Y ) <-> x e. u ) )
5352adantl 468 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( x e. ( u i^i Y ) <-> x e. u ) )
5450, 53sylan9bbr 707 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ y = ( u i^i Y ) ) -> ( x e. y <-> x e. u ) )
55 vex 3048 . . . . . . . . . . . 12 |- s e. _V
5655inex1 4544 . . . . . . . . . . 11 |- ( s i^i Y ) e. _V
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ s e. F ) -> ( s i^i Y ) e. _V )
58 elrest 15326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( z e. ( F ↾t Y ) <-> E. s e. F z = ( s i^i Y ) ) )
59583adant1 1026 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( z e. ( F ↾t Y ) <-> E. s e. F z = ( s i^i Y ) ) )
6059adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( z e. ( F ↾t Y ) <-> E. s e. F z = ( s i^i Y ) ) )
61 ineq2 3628 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( s i^i Y ) -> ( y i^i z ) = ( y i^i ( s i^i Y ) ) )
6261adantl 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ z = ( s i^i Y ) ) -> ( y i^i z ) = ( y i^i ( s i^i Y ) ) )
6362neeq1d 2683 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ z = ( s i^i Y ) ) -> ( ( y i^i z ) =/= (/) <-> ( y i^i ( s i^i Y ) ) =/= (/) ) )
6457, 60, 63ralxfr2d 4616 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) <-> A. s e. F ( y i^i ( s i^i Y ) ) =/= (/) ) )
65 ineq1 3627 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( y i^i ( s i^i Y ) ) = ( ( u i^i Y ) i^i ( s i^i Y ) ) )
66 inindir 3650 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i s ) i^i Y ) = ( ( u i^i Y ) i^i ( s i^i Y ) )
6765, 66syl6eqr 2503 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( y i^i ( s i^i Y ) ) = ( ( u i^i s ) i^i Y ) )
6867neeq1d 2683 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( ( y i^i ( s i^i Y ) ) =/= (/) <-> ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
6968ralbidv 2827 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( A. s e. F ( y i^i ( s i^i Y ) ) =/= (/) <-> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
7064, 69sylan9bb 706 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ y = ( u i^i Y ) ) -> ( A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) <-> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
7154, 70imbi12d 322 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ y = ( u i^i Y ) ) -> ( ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) <-> ( x e. u -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) ) )
7246, 49, 71ralxfr2d 4616 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) <-> A. u e. J ( x e. u -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) ) )
731adantr 467 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
7411adantr 467 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> F e. ( Fil ` X ) )
753sselda 3432 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> x e. X )
76 fclsopn 21029 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( x e. ( J fClus F ) <-> ( x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
7776baibd 920 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( x e. ( J fClus F ) <-> A. u e. J ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) )
7873, 74, 75, 77syl21anc 1267 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( x e. ( J fClus F ) <-> A. u e. J ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) )
7943, 72, 783bitr4d 289 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) <-> x e. ( J fClus F ) ) )
8079pm5.32da 647 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( x e. Y /\ A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) ) <-> ( x e. Y /\ x e. ( J fClus F ) ) ) )
8116, 80bitrd 257 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( x e. ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) <-> ( x e. Y /\ x e. ( J fClus F ) ) ) )
82 elin 3617 . . . 4 |- ( x e. ( ( J fClus F ) i^i Y ) <-> ( x e. ( J fClus F ) /\ x e. Y ) )
83 ancom 452 . . . 4 |- ( ( x e. ( J fClus F ) /\ x e. Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. ( J fClus F ) ) )
8482, 83bitri 253 . . 3 |- ( x e. ( ( J fClus F ) i^i Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. ( J fClus F ) ) )
8581, 84syl6bbr 267 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( x e. ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) <-> x e. ( ( J fClus F ) i^i Y ) ) )
8685eqrdv 2449 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) = ( ( J fClus F ) i^i Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾t crest 15319   fBascfbas 18958  TopOnctopon 19918   Filcfil 20860   fClus cfcls 20951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-fil 20861  df-fcls 20956
This theorem is referenced by:  relcmpcmet  22286
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