Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsnei Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fclsnei 21112
 Description: Cluster points in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsnei TopOn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fclsnei
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . 5
21fclselbas 21109 . . . 4
3 toponuni 20019 . . . . . 6 TopOn
43adantr 472 . . . . 5 TopOn
54eleq2d 2534 . . . 4 TopOn
62, 5syl5ibr 229 . . 3 TopOn
7 fclsneii 21110 . . . . . 6
873expb 1232 . . . . 5
98ralrimivva 2814 . . . 4
109a1i 11 . . 3 TopOn
116, 10jcad 542 . 2 TopOn
12 topontop 20018 . . . . . . . . . 10 TopOn
1312ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9 TopOn
14 simprl 772 . . . . . . . . 9 TopOn
15 simprr 774 . . . . . . . . 9 TopOn
16 opnneip 20212 . . . . . . . . 9
1713, 14, 15, 16syl3anc 1292 . . . . . . . 8 TopOn
18 ineq1 3618 . . . . . . . . . . 11
1918neeq1d 2702 . . . . . . . . . 10
2019ralbidv 2829 . . . . . . . . 9
2120rspcv 3132 . . . . . . . 8
2217, 21syl 17 . . . . . . 7 TopOn
2322expr 626 . . . . . 6 TopOn
2423com23 80 . . . . 5 TopOn
2524ralrimdva 2812 . . . 4 TopOn
2625imdistanda 707 . . 3 TopOn
27 fclsopn 21107 . . 3 TopOn
2826, 27sylibrd 242 . 2 TopOn
2911, 28impbid 195 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756   cin 3389  c0 3722  csn 3959  cuni 4190  cfv 5589  (class class class)co 6308  ctop 19994  TopOnctopon 19995  cnei 20190  cfil 20938   cfcls 21029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-fbas 19044  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-fil 20939  df-fcls 21034 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator