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Theorem fclsnei 20386
Description: Cluster points in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsnei  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    n, s, A    n, F, s    n, J, s    X, s
Allowed substitution hint:    X( n)

Proof of Theorem fclsnei
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
21fclselbas 20383 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A  e.  U. J )
3 toponuni 19295 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  X  =  U. J )
54eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  X  <->  A  e.  U. J ) )
62, 5syl5ibr 221 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A  e.  X ) )
7 fclsneii 20384 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  /\  s  e.  F )  ->  (
n  i^i  s )  =/=  (/) )
873expb 1197 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  /\  s  e.  F ) )  -> 
( n  i^i  s
)  =/=  (/) )
98ralrimivva 2888 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) )
109a1i 11 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) )
116, 10jcad 533 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
12 topontop 19294 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1312ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  J  e.  Top )
14 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
o  e.  J )
15 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  A  e.  o )
16 opnneip 19486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J  /\  A  e.  o )  ->  o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
18 ineq1 3698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  o  ->  (
n  i^i  s )  =  ( o  i^i  s ) )
1918neeq1d 2744 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  o  ->  (
( n  i^i  s
)  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2019ralbidv 2906 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  o  ->  ( A. s  e.  F  ( n  i^i  s
)  =/=  (/)  <->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2120rspcv 3215 . . . . . . . 8  |-  ( o  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2217, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2322expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A  e.  o  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2423com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2524ralrimdva 2885 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2625imdistanda 693 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) )  -> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) ) ) ) )
27 fclsopn 20381 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
2826, 27sylibrd 234 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) )
2911, 28impbid 191 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817    i^i cin 3480   (/)c0 3790   {csn 4033   U.cuni 4251   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Topctop 19261  TopOnctopon 19262   neicnei 19464   Filcfil 20212    fClus cfcls 20303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-fbas 18284  df-top 19266  df-topon 19269  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-fil 20213  df-fcls 20308
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