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Theorem fclsnei 21112
Description: Cluster points in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsnei  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    n, s, A    n, F, s    n, J, s    X, s
Allowed substitution hint:    X( n)

Proof of Theorem fclsnei
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
21fclselbas 21109 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A  e.  U. J )
3 toponuni 20019 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
43adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  X  =  U. J )
54eleq2d 2534 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  X  <->  A  e.  U. J ) )
62, 5syl5ibr 229 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A  e.  X ) )
7 fclsneii 21110 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  /\  s  e.  F )  ->  (
n  i^i  s )  =/=  (/) )
873expb 1232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  /\  s  e.  F ) )  -> 
( n  i^i  s
)  =/=  (/) )
98ralrimivva 2814 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) )
109a1i 11 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) )
116, 10jcad 542 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
12 topontop 20018 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1312ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  J  e.  Top )
14 simprl 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
o  e.  J )
15 simprr 774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  A  e.  o )
16 opnneip 20212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J  /\  A  e.  o )  ->  o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
18 ineq1 3618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  o  ->  (
n  i^i  s )  =  ( o  i^i  s ) )
1918neeq1d 2702 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  o  ->  (
( n  i^i  s
)  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2019ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  o  ->  ( A. s  e.  F  ( n  i^i  s
)  =/=  (/)  <->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2120rspcv 3132 . . . . . . . 8  |-  ( o  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2217, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2322expr 626 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A  e.  o  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2423com23 80 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2524ralrimdva 2812 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2625imdistanda 707 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) )  -> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) ) ) ) )
27 fclsopn 21107 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
2826, 27sylibrd 242 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) )
2911, 28impbid 195 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    i^i cin 3389   (/)c0 3722   {csn 3959   U.cuni 4190   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   neicnei 20190   Filcfil 20938    fClus cfcls 21029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-fbas 19044  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-fil 20939  df-fcls 21034
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