Theorem fclsfnflim 20258

Description: A filter clusters at a point iff a finer filter converges to it. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fclsfnflim	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, g   g, F   g, J   g, X

Proof of Theorem fclsfnflim

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filsspw 20082	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X )
2	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> F C_ ~P X )
3		fclstop 20242	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( J fClus F ) -> J e. Top )
4	3	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> J e. Top )
5		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- U. J = U. J
6	5	neisspw 19369	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
7	4, 6	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
8		filunibas 20112	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
9	5	fclsfil 20241	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( J fClus F ) -> F e. ( Fil ` U. J ) )
10		filunibas 20112	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. J ) -> U. F = U. J )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( J fClus F ) -> U. F = U. J )
12	8, 11	sylan9req 2524	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> X = U. J )
13	12	pweqd 4010	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ~P X = ~P U. J )
14	7, 13	sseqtr4d 3536	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P X )
15	2, 14	unssd 3675	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ~P X )
16		ssun1 3662	. . . . . . . 8 |- F C_ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
17		filn0 20093	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F =/= (/) )
18		ssn0 3813	. . . . . . . 8 |- ( ( F C_ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) /\ F =/= (/) ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) )
19	16, 17, 18	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) )
20	19	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) )
21		incom 3686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i x ) = ( x i^i y )
22		fclsneii 20248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( J fClus F ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) /\ x e. F ) -> ( y i^i x ) =/= (/) )
23	21, 22	syl5eqner 2763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( J fClus F ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) /\ x e. F ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
24	23	3com23 1197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( J fClus F ) /\ x e. F /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
25	24	3expb 1192	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( J fClus F ) /\ ( x e. F /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
26	25	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) /\ ( x e. F /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
27	26	ralrimivva 2880	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> A. x e. F A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ( x i^i y ) =/= (/) )
28		filfbas 20079	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
29	28	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
30		istopon 19188	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
31	4, 12, 30	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
32	5	fclselbas 20247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( J fClus F ) -> A e. U. J )
33	32	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> A e. U. J )
34	33, 12	eleqtrrd 2553	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> A e. X )
35	34	snssd 4167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> { A } C_ X )
36		snnzg 4139	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( J fClus F ) -> { A } =/= (/) )
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> { A } =/= (/) )
38		neifil 20111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ { A } C_ X /\ { A } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
39	31, 35, 37, 38	syl3anc 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
40		filfbas 20079	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
42		fbunfip 20100	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) <-> A. x e. F A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ( x i^i y ) =/= (/) ) )
43	29, 41, 42	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) <-> A. x e. F A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ( x i^i y ) =/= (/) ) )
44	27, 43	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
45		filtop 20086	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
46		fsubbas 20098	. . . . . . . 8 |- ( X e. F -> ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ~P X /\ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ~P X /\ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
48	47	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ~P X /\ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
49	15, 20, 44, 48	mpbir3and 1174	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) )
50		fgcl 20109	. . . . 5 |- ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
51	49, 50	syl 16	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
52		fvex 5869	. . . . . . . . 9 |- ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. _V
53		unexg 6578	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. _V ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) e. _V )
54	52, 53	mpan2 671	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) e. _V )
55		ssfii 7870	. . . . . . . 8 |- ( ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) e. _V -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
57	56	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
58	57	unssad 3676	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> F C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
59		ssfg 20103	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) )
60	49, 59	syl 16	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) )
61	58, 60	sstrd 3509	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) )
62	57	unssbd 3677	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
63	62, 60	sstrd 3509	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) )
64		elflim 20202	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) )
65	31, 51, 64	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) )
66	34, 63, 65	mpbir2and 915	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
67		sseq2 3521	. . . . . 6 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) -> ( F C_ g <-> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
68		oveq2 6285	. . . . . . 7 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) -> ( J fLim g ) = ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
69	68	eleq2d 2532	. . . . . 6 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) -> ( A e. ( J fLim g ) <-> A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) )
70	67, 69	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) -> ( ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) <-> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) /\ A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) ) )
71	70	rspcev 3209	. . . 4 |- ( ( ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) /\ A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) ) -> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) )
72	51, 61, 66, 71	syl12anc 1221	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) )
73	72	ex 434	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A e. ( J fClus F ) -> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) )
74		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> g e. ( Fil ` X ) )
75		simprrr 764	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> A e. ( J fLim g ) )
76		flimtopon 20201	. . . . . . 7 |- ( A e. ( J fLim g ) -> ( J e. (TopOn ` X ) <-> g e. ( Fil ` X ) ) )
77	75, 76	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> ( J e. (TopOn ` X ) <-> g e. ( Fil ` X ) ) )
78	74, 77	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
79		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
80		simprrl 763	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> F C_ g )
81		fclsss2 20254	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ F C_ g ) -> ( J fClus g ) C_ ( J fClus F ) )
82	78, 79, 80, 81	syl3anc 1223	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> ( J fClus g ) C_ ( J fClus F ) )
83		flimfcls 20257	. . . . 5 |- ( J fLim g ) C_ ( J fClus g )
84	83, 75	sseldi 3497	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> A e. ( J fClus g ) )
85	82, 84	sseldd 3500	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> A e. ( J fClus F ) )
86	85	rexlimdvaa 2951	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) -> A e. ( J fClus F ) ) )
87	73, 86	impbid 191	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   _Vcvv 3108   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3780   ~Pcpw 4005   {csn 4022   U.cuni 4240   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   ficfi 7861   fBascfbas 18172   filGencfg 18173   Topctop 19156  TopOnctopon 19157   neicnei 19359   Filcfil 20076   fLim cflim 20165   fClus cfcls 20167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-fin 7512  df-fi 7862  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-top 19161  df-topon 19164  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-fil 20077  df-flim 20170  df-fcls 20172

This theorem is referenced by:  uffclsflim  20262  cnpfcfi  20271