Theorem fclsfnflim 20401

Description: A filter clusters at a point iff a finer filter converges to it. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fclsfnflim	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, g   g, F   g, J   g, X

Proof of Theorem fclsfnflim

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filsspw 20225	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X )
2	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> F C_ ~P X )
3		fclstop 20385	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( J fClus F ) -> J e. Top )
4	3	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> J e. Top )
5		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- U. J = U. J
6	5	neisspw 19481	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
7	4, 6	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
8		filunibas 20255	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
9	5	fclsfil 20384	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( J fClus F ) -> F e. ( Fil ` U. J ) )
10		filunibas 20255	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. J ) -> U. F = U. J )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( J fClus F ) -> U. F = U. J )
12	8, 11	sylan9req 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> X = U. J )
13	12	pweqd 4002	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ~P X = ~P U. J )
14	7, 13	sseqtr4d 3526	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P X )
15	2, 14	unssd 3665	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ~P X )
16		ssun1 3652	. . . . . . . 8 |- F C_ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
17		filn0 20236	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F =/= (/) )
18		ssn0 3804	. . . . . . . 8 |- ( ( F C_ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) /\ F =/= (/) ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) )
19	16, 17, 18	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) )
20	19	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) )
21		incom 3676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i x ) = ( x i^i y )
22		fclsneii 20391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( J fClus F ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) /\ x e. F ) -> ( y i^i x ) =/= (/) )
23	21, 22	syl5eqner 2744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( J fClus F ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) /\ x e. F ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
24	23	3com23 1203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( J fClus F ) /\ x e. F /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
25	24	3expb 1198	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( J fClus F ) /\ ( x e. F /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
26	25	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) /\ ( x e. F /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
27	26	ralrimivva 2864	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> A. x e. F A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ( x i^i y ) =/= (/) )
28		filfbas 20222	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
29	28	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
30		istopon 19299	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
31	4, 12, 30	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
32	5	fclselbas 20390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( J fClus F ) -> A e. U. J )
33	32	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> A e. U. J )
34	33, 12	eleqtrrd 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> A e. X )
35	34	snssd 4160	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> { A } C_ X )
36		snnzg 4132	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( J fClus F ) -> { A } =/= (/) )
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> { A } =/= (/) )
38		neifil 20254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ { A } C_ X /\ { A } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
39	31, 35, 37, 38	syl3anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
40		filfbas 20222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
42		fbunfip 20243	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) <-> A. x e. F A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ( x i^i y ) =/= (/) ) )
43	29, 41, 42	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) <-> A. x e. F A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ( x i^i y ) =/= (/) ) )
44	27, 43	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
45		filtop 20229	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
46		fsubbas 20241	. . . . . . . 8 |- ( X e. F -> ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ~P X /\ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ~P X /\ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
48	47	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ~P X /\ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
49	15, 20, 44, 48	mpbir3and 1180	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) )
50		fgcl 20252	. . . . 5 |- ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
51	49, 50	syl 16	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
52		fvex 5866	. . . . . . . . 9 |- ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. _V
53		unexg 6586	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. _V ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) e. _V )
54	52, 53	mpan2 671	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) e. _V )
55		ssfii 7881	. . . . . . . 8 |- ( ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) e. _V -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
57	56	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
58	57	unssad 3666	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> F C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
59		ssfg 20246	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) )
60	49, 59	syl 16	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) )
61	58, 60	sstrd 3499	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) )
62	57	unssbd 3667	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
63	62, 60	sstrd 3499	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) )
64		elflim 20345	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) )
65	31, 51, 64	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) )
66	34, 63, 65	mpbir2and 922	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
67		sseq2 3511	. . . . . 6 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) -> ( F C_ g <-> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
68		oveq2 6289	. . . . . . 7 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) -> ( J fLim g ) = ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
69	68	eleq2d 2513	. . . . . 6 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) -> ( A e. ( J fLim g ) <-> A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) )
70	67, 69	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) -> ( ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) <-> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) /\ A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) ) )
71	70	rspcev 3196	. . . 4 |- ( ( ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) /\ A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) ) -> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) )
72	51, 61, 66, 71	syl12anc 1227	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) )
73	72	ex 434	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A e. ( J fClus F ) -> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) )
74		simprl 756	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> g e. ( Fil ` X ) )
75		simprrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> A e. ( J fLim g ) )
76		flimtopon 20344	. . . . . . 7 |- ( A e. ( J fLim g ) -> ( J e. (TopOn ` X ) <-> g e. ( Fil ` X ) ) )
77	75, 76	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> ( J e. (TopOn ` X ) <-> g e. ( Fil ` X ) ) )
78	74, 77	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
79		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
80		simprrl 765	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> F C_ g )
81		fclsss2 20397	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ F C_ g ) -> ( J fClus g ) C_ ( J fClus F ) )
82	78, 79, 80, 81	syl3anc 1229	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> ( J fClus g ) C_ ( J fClus F ) )
83		flimfcls 20400	. . . . 5 |- ( J fLim g ) C_ ( J fClus g )
84	83, 75	sseldi 3487	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> A e. ( J fClus g ) )
85	82, 84	sseldd 3490	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> A e. ( J fClus F ) )
86	85	rexlimdvaa 2936	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) -> A e. ( J fClus F ) ) )
87	73, 86	impbid 191	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ficfi 7872   fBascfbas 18280   filGencfg 18281   Topctop 19267  TopOnctopon 19268   neicnei 19471   Filcfil 20219   fLim cflim 20308   fClus cfcls 20310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-fin 7522  df-fi 7873  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-top 19272  df-topon 19275  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-fil 20220  df-flim 20313  df-fcls 20315

This theorem is referenced by:  uffclsflim  20405  cnpfcfi  20414