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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fclsfnflim | Structured version Unicode version |
Description: A filter clusters at a point iff a finer filter converges to it. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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fclsfnflim |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | filsspw 19542 |
. . . . . . . 8
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2 | 1 | adantr 465 |
. . . . . . 7
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3 | fclstop 19702 |
. . . . . . . . . 10
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4 | 3 | adantl 466 |
. . . . . . . . 9
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5 | eqid 2451 |
. . . . . . . . . 10
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6 | 5 | neisspw 18829 |
. . . . . . . . 9
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7 | 4, 6 | syl 16 |
. . . . . . . 8
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8 | filunibas 19572 |
. . . . . . . . . 10
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9 | 5 | fclsfil 19701 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | filunibas 19572 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 9, 10 | syl 16 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 8, 11 | sylan9req 2513 |
. . . . . . . . 9
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13 | 12 | pweqd 3965 |
. . . . . . . 8
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14 | 7, 13 | sseqtr4d 3493 |
. . . . . . 7
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15 | 2, 14 | unssd 3632 |
. . . . . 6
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16 | ssun1 3619 |
. . . . . . . 8
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17 | filn0 19553 |
. . . . . . . 8
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18 | ssn0 3770 |
. . . . . . . 8
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19 | 16, 17, 18 | sylancr 663 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | adantr 465 |
. . . . . 6
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21 | incom 3643 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | fclsneii 19708 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 21, 22 | syl5eqner 2749 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23 | 3com23 1194 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | 3expb 1189 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | adantll 713 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | ralrimivva 2906 |
. . . . . . 7
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28 | filfbas 19539 |
. . . . . . . . 9
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29 | 28 | adantr 465 |
. . . . . . . 8
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30 | istopon 18648 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 4, 12, 30 | sylanbrc 664 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 5 | fclselbas 19707 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | 32 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | 33, 12 | eleqtrrd 2542 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 34 | snssd 4118 |
. . . . . . . . . 10
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36 | snnzg 4092 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 36 | adantl 466 |
. . . . . . . . . 10
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38 | neifil 19571 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 31, 35, 37, 38 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . . 9
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40 | filfbas 19539 |
. . . . . . . . 9
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41 | 39, 40 | syl 16 |
. . . . . . . 8
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42 | fbunfip 19560 |
. . . . . . . 8
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43 | 29, 41, 42 | syl2anc 661 |
. . . . . . 7
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44 | 27, 43 | mpbird 232 |
. . . . . 6
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45 | filtop 19546 |
. . . . . . . 8
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46 | fsubbas 19558 |
. . . . . . . 8
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47 | 45, 46 | syl 16 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | adantr 465 |
. . . . . 6
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49 | 15, 20, 44, 48 | mpbir3and 1171 |
. . . . 5
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50 | fgcl 19569 |
. . . . 5
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51 | 49, 50 | syl 16 |
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52 | fvex 5801 |
. . . . . . . . 9
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53 | unexg 6483 |
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54 | 52, 53 | mpan2 671 |
. . . . . . . 8
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55 | ssfii 7772 |
. . . . . . . 8
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56 | 54, 55 | syl 16 |
. . . . . . 7
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57 | 56 | adantr 465 |
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66 | 34, 63, 65 | mpbir2and 913 |
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72 | 51, 61, 66, 71 | syl12anc 1217 |
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73 | 72 | ex 434 |
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78 | 74, 77 | mpbird 232 |
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79 | simpl 457 |
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80 | simprrl 763 |
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81 | fclsss2 19714 |
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82 | 78, 79, 80, 81 | syl3anc 1219 |
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83 | flimfcls 19717 |
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84 | 83, 75 | sseldi 3454 |
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85 | 82, 84 | sseldd 3457 |
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86 | 85 | rexlimdvaa 2940 |
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87 | 73, 86 | impbid 191 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1952 ax-ext 2430 ax-rep 4503 ax-sep 4513 ax-nul 4521 ax-pow 4570 ax-pr 4631 ax-un 6474 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2264 df-mo 2265 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2601 df-ne 2646 df-nel 2647 df-ral 2800 df-rex 2801 df-reu 2802 df-rab 2804 df-v 3072 df-sbc 3287 df-csb 3389 df-dif 3431 df-un 3433 df-in 3435 df-ss 3442 df-pss 3444 df-nul 3738 df-if 3892 df-pw 3962 df-sn 3978 df-pr 3980 df-tp 3982 df-op 3984 df-uni 4192 df-int 4229 df-iun 4273 df-iin 4274 df-br 4393 df-opab 4451 df-mpt 4452 df-tr 4486 df-eprel 4732 df-id 4736 df-po 4741 df-so 4742 df-fr 4779 df-we 4781 df-ord 4822 df-on 4823 df-lim 4824 df-suc 4825 df-xp 4946 df-rel 4947 df-cnv 4948 df-co 4949 df-dm 4950 df-rn 4951 df-res 4952 df-ima 4953 df-iota 5481 df-fun 5520 df-fn 5521 df-f 5522 df-f1 5523 df-fo 5524 df-f1o 5525 df-fv 5526 df-ov 6195 df-oprab 6196 df-mpt2 6197 df-om 6579 df-recs 6934 df-rdg 6968 df-1o 7022 df-oadd 7026 df-er 7203 df-en 7413 df-fin 7416 df-fi 7764 df-fbas 17925 df-fg 17926 df-top 18621 df-topon 18624 df-cld 18741 df-ntr 18742 df-cls 18743 df-nei 18820 df-fil 19537 df-flim 19630 df-fcls 19632 |
This theorem is referenced by: uffclsflim 19722 cnpfcfi 19731 |
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