Theorem fclsfnflim 19718

Description: A filter clusters at a point iff a finer filter converges to it. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fclsfnflim	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, g   g, F   g, J   g, X

Proof of Theorem fclsfnflim

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filsspw 19542	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F C_ ~P X )
2	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> F C_ ~P X )
3		fclstop 19702	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( J fClus F ) -> J e. Top )
4	3	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> J e. Top )
5		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- U. J = U. J
6	5	neisspw 18829	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
7	4, 6	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
8		filunibas 19572	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
9	5	fclsfil 19701	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( J fClus F ) -> F e. ( Fil ` U. J ) )
10		filunibas 19572	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( Fil ` U. J ) -> U. F = U. J )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( J fClus F ) -> U. F = U. J )
12	8, 11	sylan9req 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> X = U. J )
13	12	pweqd 3965	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ~P X = ~P U. J )
14	7, 13	sseqtr4d 3493	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P X )
15	2, 14	unssd 3632	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ~P X )
16		ssun1 3619	. . . . . . . 8 |- F C_ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
17		filn0 19553	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F =/= (/) )
18		ssn0 3770	. . . . . . . 8 |- ( ( F C_ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) /\ F =/= (/) ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) )
19	16, 17, 18	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) )
20	19	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) )
21		incom 3643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i x ) = ( x i^i y )
22		fclsneii 19708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( J fClus F ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) /\ x e. F ) -> ( y i^i x ) =/= (/) )
23	21, 22	syl5eqner 2749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( J fClus F ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) /\ x e. F ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
24	23	3com23 1194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( J fClus F ) /\ x e. F /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
25	24	3expb 1189	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( J fClus F ) /\ ( x e. F /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
26	25	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) /\ ( x e. F /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
27	26	ralrimivva 2906	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> A. x e. F A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ( x i^i y ) =/= (/) )
28		filfbas 19539	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
29	28	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
30		istopon 18648	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
31	4, 12, 30	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
32	5	fclselbas 19707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( J fClus F ) -> A e. U. J )
33	32	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> A e. U. J )
34	33, 12	eleqtrrd 2542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> A e. X )
35	34	snssd 4118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> { A } C_ X )
36		snnzg 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( J fClus F ) -> { A } =/= (/) )
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> { A } =/= (/) )
38		neifil 19571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ { A } C_ X /\ { A } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
39	31, 35, 37, 38	syl3anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
40		filfbas 19539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
42		fbunfip 19560	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) <-> A. x e. F A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ( x i^i y ) =/= (/) ) )
43	29, 41, 42	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) <-> A. x e. F A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ( x i^i y ) =/= (/) ) )
44	27, 43	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
45		filtop 19546	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
46		fsubbas 19558	. . . . . . . 8 |- ( X e. F -> ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ~P X /\ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ~P X /\ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
48	47	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ~P X /\ ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
49	15, 20, 44, 48	mpbir3and 1171	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) )
50		fgcl 19569	. . . . 5 |- ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
51	49, 50	syl 16	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
52		fvex 5801	. . . . . . . . 9 |- ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. _V
53		unexg 6483	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. _V ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) e. _V )
54	52, 53	mpan2 671	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) e. _V )
55		ssfii 7772	. . . . . . . 8 |- ( ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) e. _V -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
57	56	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
58	57	unssad 3633	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> F C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
59		ssfg 19563	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) )
60	49, 59	syl 16	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) )
61	58, 60	sstrd 3466	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) )
62	57	unssbd 3634	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) )
63	62, 60	sstrd 3466	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) )
64		elflim 19662	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) )
65	31, 51, 64	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> ( A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) )
66	34, 63, 65	mpbir2and 913	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
67		sseq2 3478	. . . . . 6 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) -> ( F C_ g <-> F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
68		oveq2 6200	. . . . . . 7 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) -> ( J fLim g ) = ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) )
69	68	eleq2d 2521	. . . . . 6 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) -> ( A e. ( J fLim g ) <-> A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) )
70	67, 69	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( g = ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) -> ( ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) <-> ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) /\ A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) ) )
71	70	rspcev 3171	. . . 4 |- ( ( ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) /\ A e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( F u. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) ) ) ) ) -> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) )
72	51, 61, 66, 71	syl12anc 1217	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. ( J fClus F ) ) -> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) )
73	72	ex 434	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A e. ( J fClus F ) -> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) )
74		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> g e. ( Fil ` X ) )
75		simprrr 764	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> A e. ( J fLim g ) )
76		flimtopon 19661	. . . . . . 7 |- ( A e. ( J fLim g ) -> ( J e. (TopOn ` X ) <-> g e. ( Fil ` X ) ) )
77	75, 76	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> ( J e. (TopOn ` X ) <-> g e. ( Fil ` X ) ) )
78	74, 77	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
79		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
80		simprrl 763	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> F C_ g )
81		fclsss2 19714	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ F C_ g ) -> ( J fClus g ) C_ ( J fClus F ) )
82	78, 79, 80, 81	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> ( J fClus g ) C_ ( J fClus F ) )
83		flimfcls 19717	. . . . 5 |- ( J fLim g ) C_ ( J fClus g )
84	83, 75	sseldi 3454	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> A e. ( J fClus g ) )
85	82, 84	sseldd 3457	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) ) -> A e. ( J fClus F ) )
86	85	rexlimdvaa 2940	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) -> A e. ( J fClus F ) ) )
87	73, 86	impbid 191	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> E. g e. ( Fil ` X ) ( F C_ g /\ A e. ( J fLim g ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3070   u. cun 3426   i^i cin 3427   C_ wss 3428   (/)c0 3737   ~Pcpw 3960   {csn 3977   U.cuni 4191   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   ficfi 7763   fBascfbas 17915   filGencfg 17916   Topctop 18616  TopOnctopon 18617   neicnei 18819   Filcfil 19536   fLim cflim 19625   fClus cfcls 19627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-fin 7416  df-fi 7764  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-top 18621  df-topon 18624  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-fil 19537  df-flim 19630  df-fcls 19632

This theorem is referenced by:  uffclsflim  19722  cnpfcfi  19731