Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclscmpi Structured version   Unicode version

Theorem fclscmpi 20403
 Description: Forward direction of fclscmp 20404. Every filter clusters in a compact space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimfnfcls.x
Assertion
Ref Expression
fclscmpi

Proof of Theorem fclscmpi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmptop 19768 . . . 4
2 flimfnfcls.x . . . . . 6
32fclsval 20382 . . . . 5
4 eqid 2443 . . . . . 6
54iftruei 3933 . . . . 5
63, 5syl6eq 2500 . . . 4
71, 6sylan 471 . . 3
8 fvex 5866 . . . 4
98dfiin3 5248 . . 3
107, 9syl6eq 2500 . 2
11 simpl 457 . . 3
1211adantr 465 . . . . . . 7
1312, 1syl 16 . . . . . 6
14 filelss 20226 . . . . . . 7
1514adantll 713 . . . . . 6
162clscld 19421 . . . . . 6
1713, 15, 16syl2anc 661 . . . . 5
18 eqid 2443 . . . . 5
1917, 18fmptd 6040 . . . 4
20 frn 5727 . . . 4
2119, 20syl 16 . . 3
22 simpr 461 . . . . . 6
2322adantr 465 . . . . . . . . 9
24 simpr 461 . . . . . . . . 9
252clsss3 19433 . . . . . . . . . 10
2613, 15, 25syl2anc 661 . . . . . . . . 9
272sscls 19430 . . . . . . . . . 10
2813, 15, 27syl2anc 661 . . . . . . . . 9
29 filss 20227 . . . . . . . . 9
3023, 24, 26, 28, 29syl13anc 1231 . . . . . . . 8
3130, 18fmptd 6040 . . . . . . 7
32 frn 5727 . . . . . . 7
3331, 32syl 16 . . . . . 6
34 fiss 7886 . . . . . 6
3522, 33, 34syl2anc 661 . . . . 5
36 filfi 20233 . . . . . 6
3722, 36syl 16 . . . . 5
3835, 37sseqtrd 3525 . . . 4
39 0nelfil 20223 . . . . 5
4022, 39syl 16 . . . 4
4138, 40ssneldd 3492 . . 3
42 cmpfii 19782 . . 3
4311, 21, 41, 42syl3anc 1229 . 2
4410, 43eqnetrd 2736 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638   wss 3461  c0 3770  cif 3926  cuni 4234  cint 4271  ciin 4316   cmpt 4495   crn 4990  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cfi 7872  ctop 19267  ccld 19390  ccl 19392  ccmp 19759  cfil 20219   cfcls 20310 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-fbas 18290  df-top 19272  df-cld 19393  df-cls 19395  df-cmp 19760  df-fil 20220  df-fcls 20315 This theorem is referenced by:  fclscmp  20404  ufilcmp  20406  relcmpcmet  21628
 Copyright terms: Public domain W3C validator