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Theorem fclscf 20692
Description: Characterization of fineness of topologies in terms of cluster points. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclscf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( J  C_  K  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f ) ) )
Distinct variable groups:    f, J    f, K    f, X

Proof of Theorem fclscf
Dummy variables  n  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  X )
)
3 fclstopon 20679 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( K  fClus  f )  ->  ( K  e.  (TopOn `  X )  <->  f  e.  ( Fil `  X
) ) )
43ad2antll 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  ( K  e.  (TopOn `  X
)  <->  f  e.  ( Fil `  X ) ) )
52, 4mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
6 simprl 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  J  C_  K )
7 fclsss1 20689 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  J  C_  K
)  ->  ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
81, 5, 6, 7syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
9 simprr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  x  e.  ( K  fClus  f ) )
108, 9sseldd 3490 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  x  e.  ( J  fClus  f ) )
1110expr 613 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  J  C_  K
)  ->  ( x  e.  ( K  fClus  f )  ->  x  e.  ( J  fClus  f )
) )
1211ssrdv 3495 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  J  C_  K
)  ->  ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
1312ralrimivw 2869 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  J  C_  K
)  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
14 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
15 toponmax 19596 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  K )
16 ssid 3508 . . . . . . . . . . 11  |-  X  C_  X
17 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  X  ->  (
y  e.  u  <->  y  e.  X ) )
18 sseq1 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  X  ->  (
u  C_  X  <->  X  C_  X
) )
1917, 18anbi12d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  X  ->  (
( y  e.  u  /\  u  C_  X )  <-> 
( y  e.  X  /\  X  C_  X ) ) )
2019rspcev 3207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  K  /\  ( y  e.  X  /\  X  C_  X ) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) )
2116, 20mpanr2 682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  K  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) )
2221ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  K  ->  (
y  e.  X  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
2314, 15, 223syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( y  e.  X  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
24 eleq2 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  X ) )
25 sseq2 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
u  C_  x  <->  u  C_  X
) )
2625anbi2d 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  u  /\  u  C_  x )  <-> 
( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
2726rexbidv 2965 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x )  <->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
2824, 27imbi12d 318 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )  <->  ( y  e.  X  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) ) )
2923, 28syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  =  X  ->  ( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) ) )
30 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
31 simprl 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  x  e.  J
)
32 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  y  e.  x
)
33 supnfcls 20687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  -.  y  e.  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  -.  y  e.  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
) )
35 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
36 toponmax 19596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
3730, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  X  e.  J
)
38 difssd 3618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( X  \  x )  C_  X
)
39 toponss 19597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  J )  ->  x  C_  X )
4030, 31, 39syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  x  C_  X
)
41 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  x  =/=  X
)
42 pssdifn0 3876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  X  /\  x  =/=  X )  -> 
( X  \  x
)  =/=  (/) )
4340, 41, 42syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( X  \  x )  =/=  (/) )
44 supfil 20562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  J  /\  ( X  \  x
)  C_  X  /\  ( X  \  x
)  =/=  (/) )  ->  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  e.  ( Fil `  X ) )
4537, 38, 43, 44syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  e.  ( Fil `  X ) )
46 fclsopn 20681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } )  <-> 
( y  e.  X  /\  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) ) )
4735, 45, 46syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
)  <->  ( y  e.  X  /\  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) ) )
4840, 32sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  y  e.  X
)
4948biantrurd 506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )  <->  ( y  e.  X  /\  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) ) )
5047, 49bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
)  <->  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) )
51 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f ) )
52 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( K  fClus  f )  =  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) )
53 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( J  fClus  f )  =  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) )
5452, 53sseq12d 3518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f )  <->  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } )  C_  ( J  fClus  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } ) ) )
5554rspcv 3203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  e.  ( Fil `  X )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f )  ->  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } )  C_  ( J  fClus  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } ) ) )
5645, 51, 55sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } )  C_  ( J  fClus  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } ) )
5756sseld 3488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
)  ->  y  e.  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
) ) )
5850, 57sylbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )  -> 
y  e.  ( J 
fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) ) )
5934, 58mtod 177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  -.  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) )
60 rexanali 2907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  -.  A. n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )  <->  -.  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) )
61 rexnal 2902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. n  e.  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }  -.  ( u  i^i  n
)  =/=  (/)  <->  -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )
62 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  (
( X  \  x
)  C_  y  <->  ( X  \  x )  C_  n
) )
6362elrab 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  <->  ( n  e.  ~P X  /\  ( X  \  x )  C_  n ) )
6463simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( X  \  x ) 
C_  n )
65 sslin 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  \  x ) 
C_  n  ->  (
u  i^i  ( X  \  x ) )  C_  ( u  i^i  n
) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n ) )
67 ssn0 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( u  i^i  ( X  \  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  /\  (
u  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/) )  ->  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )
6867ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  ->  (
( u  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/)  ->  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) )
6968necon1bd 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  ->  ( -.  ( u  i^i  n
)  =/=  (/)  ->  (
u  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/) ) )
70 inssdif0 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  X ) 
C_  x  <->  ( u  i^i  ( X  \  x
) )  =  (/) )
7169, 70syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  ->  ( -.  ( u  i^i  n
)  =/=  (/)  ->  (
u  i^i  X )  C_  x ) )
72 toponss 19597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  u  e.  K )  ->  u  C_  X )
7335, 72sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  u  C_  X )
74 df-ss 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u 
C_  X  <->  ( u  i^i  X )  =  u )
7573, 74sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( u  i^i  X
)  =  u )
7675sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( u  i^i 
X )  C_  x  <->  u 
C_  x ) )
7776biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( u  i^i 
X )  C_  x  ->  u  C_  x )
)
7871, 77syl9r 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( u  i^i  ( X  \  x
) )  C_  (
u  i^i  n )  ->  ( -.  ( u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x
) ) )
7966, 78syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ->  ( -.  (
u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x
) ) )
8079rexlimdv 2944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( E. n  e. 
{ y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  -.  ( u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x ) )
8161, 80syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x ) )
8281anim2d 563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( y  e.  u  /\  -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  (
u  i^i  n )  =/=  (/) )  ->  (
y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8382reximdva 2929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  (
u  i^i  n )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8460, 83syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( -.  A. u  e.  K  (
y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y } 
( u  i^i  n
)  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8559, 84mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )
8685anassrs 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J )  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )
8786exp32 603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  =/=  X  ->  ( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) ) )
8829, 87pm2.61dne 2771 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8988ralrimiv 2866 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  A. y  e.  x  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )
90 topontop 19594 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  X
)  ->  K  e.  Top )
91 eltop2 19644 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  ->  (
x  e.  K  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
9214, 90, 913syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  e.  K  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
9389, 92mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  x  e.  K )
9493ex 432 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  -> 
( x  e.  J  ->  x  e.  K ) )
9594ssrdv 3495 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  ->  J  C_  K )
9613, 95impbida 830 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( J  C_  K  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Topctop 19561  TopOnctopon 19562   Filcfil 20512    fClus cfcls 20603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-topgen 14933  df-fbas 18611  df-top 19566  df-topon 19569  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-fil 20513  df-fcls 20608
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