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Theorem fclscf 20982
Description: Characterization of fineness of topologies in terms of cluster points. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclscf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( J  C_  K  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f ) ) )
Distinct variable groups:    f, J    f, K    f, X

Proof of Theorem fclscf
Dummy variables  n  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 simplr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  X )
)
3 fclstopon 20969 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( K  fClus  f )  ->  ( K  e.  (TopOn `  X )  <->  f  e.  ( Fil `  X
) ) )
43ad2antll 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  ( K  e.  (TopOn `  X
)  <->  f  e.  ( Fil `  X ) ) )
52, 4mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
6 simprl 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  J  C_  K )
7 fclsss1 20979 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  J  C_  K
)  ->  ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
81, 5, 6, 7syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
9 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  x  e.  ( K  fClus  f ) )
108, 9sseldd 3408 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  x  e.  ( J  fClus  f ) )
1110expr 618 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  J  C_  K
)  ->  ( x  e.  ( K  fClus  f )  ->  x  e.  ( J  fClus  f )
) )
1211ssrdv 3413 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  J  C_  K
)  ->  ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
1312ralrimivw 2780 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  J  C_  K
)  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
14 simpllr 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
15 toponmax 19885 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  K )
16 ssid 3426 . . . . . . . . . . 11  |-  X  C_  X
17 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  X  ->  (
y  e.  u  <->  y  e.  X ) )
18 sseq1 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  X  ->  (
u  C_  X  <->  X  C_  X
) )
1917, 18anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  X  ->  (
( y  e.  u  /\  u  C_  X )  <-> 
( y  e.  X  /\  X  C_  X ) ) )
2019rspcev 3125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  K  /\  ( y  e.  X  /\  X  C_  X ) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) )
2116, 20mpanr2 688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  K  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) )
2221ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  K  ->  (
y  e.  X  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
2314, 15, 223syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( y  e.  X  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
24 eleq2 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  X ) )
25 sseq2 3429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
u  C_  x  <->  u  C_  X
) )
2625anbi2d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  u  /\  u  C_  x )  <-> 
( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
2726rexbidv 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x )  <->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
2824, 27imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )  <->  ( y  e.  X  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) ) )
2923, 28syl5ibrcom 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  =  X  ->  ( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) ) )
30 simplll 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
31 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  x  e.  J
)
32 simprrr 773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  y  e.  x
)
33 supnfcls 20977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  -.  y  e.  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  -.  y  e.  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
) )
35 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
36 toponmax 19885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
3730, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  X  e.  J
)
38 difssd 3536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( X  \  x )  C_  X
)
39 toponss 19886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  J )  ->  x  C_  X )
4030, 31, 39syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  x  C_  X
)
41 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  x  =/=  X
)
42 pssdifn0 3800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  X  /\  x  =/=  X )  -> 
( X  \  x
)  =/=  (/) )
4340, 41, 42syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( X  \  x )  =/=  (/) )
44 supfil 20852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  J  /\  ( X  \  x
)  C_  X  /\  ( X  \  x
)  =/=  (/) )  ->  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  e.  ( Fil `  X ) )
4537, 38, 43, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  e.  ( Fil `  X ) )
46 fclsopn 20971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } )  <-> 
( y  e.  X  /\  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) ) )
4735, 45, 46syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
)  <->  ( y  e.  X  /\  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) ) )
4840, 32sseldd 3408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  y  e.  X
)
4948biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )  <->  ( y  e.  X  /\  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) ) )
5047, 49bitr4d 259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
)  <->  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) )
51 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f ) )
52 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( K  fClus  f )  =  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) )
53 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( J  fClus  f )  =  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) )
5452, 53sseq12d 3436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f )  <->  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } )  C_  ( J  fClus  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } ) ) )
5554rspcv 3121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  e.  ( Fil `  X )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f )  ->  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } )  C_  ( J  fClus  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } ) ) )
5645, 51, 55sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } )  C_  ( J  fClus  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } ) )
5756sseld 3406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
)  ->  y  e.  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
) ) )
5850, 57sylbird 238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )  -> 
y  e.  ( J 
fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) ) )
5934, 58mtod 180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  -.  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) )
60 rexanali 2817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  -.  A. n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )  <->  -.  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) )
61 rexnal 2813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. n  e.  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }  -.  ( u  i^i  n
)  =/=  (/)  <->  -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )
62 sseq2 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  (
( X  \  x
)  C_  y  <->  ( X  \  x )  C_  n
) )
6362elrab 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  <->  ( n  e.  ~P X  /\  ( X  \  x )  C_  n ) )
6463simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( X  \  x ) 
C_  n )
65 sslin 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  \  x ) 
C_  n  ->  (
u  i^i  ( X  \  x ) )  C_  ( u  i^i  n
) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n ) )
67 ssn0 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( u  i^i  ( X  \  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  /\  (
u  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/) )  ->  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )
6867ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  ->  (
( u  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/)  ->  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) )
6968necon1bd 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  ->  ( -.  ( u  i^i  n
)  =/=  (/)  ->  (
u  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/) ) )
70 inssdif0 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  X ) 
C_  x  <->  ( u  i^i  ( X  \  x
) )  =  (/) )
7169, 70syl6ibr 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  ->  ( -.  ( u  i^i  n
)  =/=  (/)  ->  (
u  i^i  X )  C_  x ) )
72 toponss 19886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  u  e.  K )  ->  u  C_  X )
7335, 72sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  u  C_  X )
74 df-ss 3393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u 
C_  X  <->  ( u  i^i  X )  =  u )
7573, 74sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( u  i^i  X
)  =  u )
7675sseq1d 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( u  i^i 
X )  C_  x  <->  u 
C_  x ) )
7776biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( u  i^i 
X )  C_  x  ->  u  C_  x )
)
7871, 77syl9r 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( u  i^i  ( X  \  x
) )  C_  (
u  i^i  n )  ->  ( -.  ( u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x
) ) )
7966, 78syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ->  ( -.  (
u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x
) ) )
8079rexlimdv 2854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( E. n  e. 
{ y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  -.  ( u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x ) )
8161, 80syl5bir 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x ) )
8281anim2d 567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( y  e.  u  /\  -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  (
u  i^i  n )  =/=  (/) )  ->  (
y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8382reximdva 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  (
u  i^i  n )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8460, 83syl5bir 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( -.  A. u  e.  K  (
y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y } 
( u  i^i  n
)  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8559, 84mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )
8685anassrs 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J )  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )
8786exp32 608 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  =/=  X  ->  ( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) ) )
8829, 87pm2.61dne 2687 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8988ralrimiv 2777 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  A. y  e.  x  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )
90 topontop 19883 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  X
)  ->  K  e.  Top )
91 eltop2 19933 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  ->  (
x  e.  K  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
9214, 90, 913syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  e.  K  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
9389, 92mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  x  e.  K )
9493ex 435 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  -> 
( x  e.  J  ->  x  e.  K ) )
9594ssrdv 3413 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  ->  J  C_  K )
9613, 95impbida 840 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( J  C_  K  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718    \ cdif 3376    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ~Pcpw 3924   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Topctop 19859  TopOnctopon 19860   Filcfil 20802    fClus cfcls 20893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-topgen 15285  df-fbas 18910  df-top 19863  df-topon 19865  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-fil 20803  df-fcls 20898
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