Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsbas Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fclsbas 21114
 Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsbas.f
Assertion
Ref Expression
fclsbas TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem fclsbas
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fclsbas.f . . . 4
2 fgcl 20971 . . . . 5
32adantl 473 . . . 4 TopOn
41, 3syl5eqel 2553 . . 3 TopOn
5 fclsopn 21107 . . 3 TopOn
64, 5syldan 478 . 2 TopOn
7 ssfg 20965 . . . . . . . . . . 11
87ad3antlr 745 . . . . . . . . . 10 TopOn
98, 1syl6sseqr 3465 . . . . . . . . 9 TopOn
10 ssralv 3479 . . . . . . . . 9
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 TopOn
12 ineq2 3619 . . . . . . . . . 10
1312neeq1d 2702 . . . . . . . . 9
1413cbvralv 3005 . . . . . . . 8
1511, 14syl6ib 234 . . . . . . 7 TopOn
161eleq2i 2541 . . . . . . . . . . 11
17 elfg 20964 . . . . . . . . . . . 12
1817ad3antlr 745 . . . . . . . . . . 11 TopOn
1916, 18syl5bb 265 . . . . . . . . . 10 TopOn
2019simplbda 636 . . . . . . . . 9 TopOn
21 r19.29r 2913 . . . . . . . . . . 11
22 sslin 3649 . . . . . . . . . . . . 13
23 ssn0 3770 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23sylan 479 . . . . . . . . . . . 12
2524rexlimivw 2869 . . . . . . . . . . 11
2621, 25syl 17 . . . . . . . . . 10
2726ex 441 . . . . . . . . 9
2820, 27syl 17 . . . . . . . 8 TopOn
2928ralrimdva 2812 . . . . . . 7 TopOn
3015, 29impbid 195 . . . . . 6 TopOn
3130anassrs 660 . . . . 5 TopOn
3231pm5.74da 701 . . . 4 TopOn
3332ralbidva 2828 . . 3 TopOn
3433pm5.32da 653 . 2 TopOn
356, 34bitrd 261 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfbas 19035  cfg 19036  TopOnctopon 19995  cfil 20938   cfcls 21029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-fil 20939  df-fcls 21034 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator