Theorem fclsbas 21029

Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fclsbas.f	|- F = ( X filGen B )

Assertion

Ref	Expression
fclsbas	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, o   o, s, B   o, F   o, J   o, X

Allowed substitution hints:   A( s)   F( s)   J( s)   X( s)

Proof of Theorem fclsbas

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fclsbas.f	. . . 4 |- F = ( X filGen B )
2		fgcl 20886	. . . . 5 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen B ) e. ( Fil ` X ) )
3	2	adantl 468	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( X filGen B ) e. ( Fil ` X ) )
4	1, 3	syl5eqel 2532	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
5		fclsopn 21022	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
6	4, 5	syldan 473	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
7		ssfg 20880	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> B C_ ( X filGen B ) )
8	7	ad3antlr 736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> B C_ ( X filGen B ) )
9	8, 1	syl6sseqr 3478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> B C_ F )
10		ssralv 3492	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ F -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) ) )
12		ineq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( t = s -> ( o i^i t ) = ( o i^i s ) )
13	12	neeq1d 2682	. . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( ( o i^i t ) =/= (/) <-> ( o i^i s ) =/= (/) ) )
14	13	cbvralv 3018	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) )
15	11, 14	syl6ib 230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
16	1	eleq2i 2520	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. F <-> t e. ( X filGen B ) )
17		elfg 20879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( t e. ( X filGen B ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
18	17	ad3antlr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( t e. ( X filGen B ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
19	16, 18	syl5bb 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( t e. F <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
20	19	simplbda 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) /\ t e. F ) -> E. s e. B s C_ t )
21		r19.29r 2925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. s e. B s C_ t /\ A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) -> E. s e. B ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) )
22		sslin 3657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s C_ t -> ( o i^i s ) C_ ( o i^i t ) )
23		ssn0 3766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( o i^i s ) C_ ( o i^i t ) /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
24	22, 23	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
25	24	rexlimivw 2875	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. s e. B ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. s e. B s C_ t /\ A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
27	26	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( E. s e. B s C_ t -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> ( o i^i t ) =/= (/) ) )
28	20, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) /\ t e. F ) -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> ( o i^i t ) =/= (/) ) )
29	28	ralrimdva 2805	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) )
30	15, 29	impbid 194	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
31	30	anassrs 653	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) /\ A e. o ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
32	31	pm5.74da 692	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) <-> ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
33	32	ralbidva 2823	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) <-> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
34	33	pm5.32da 646	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )
35	6, 34	bitrd 257	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   fBascfbas 18951   filGencfg 18952  TopOnctopon 19911   Filcfil 20853   fClus cfcls 20944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-top 19914  df-topon 19916  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-fil 20854  df-fcls 20949

This theorem is referenced by: (None)