Theorem fclsbas 20250

Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fclsbas.f	|- F = ( X filGen B )

Assertion

Ref	Expression
fclsbas	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, o   o, s, B   o, F   o, J   o, X

Allowed substitution hints:   A( s)   F( s)   J( s)   X( s)

Proof of Theorem fclsbas

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fclsbas.f	. . . 4 |- F = ( X filGen B )
2		fgcl 20107	. . . . 5 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen B ) e. ( Fil ` X ) )
3	2	adantl 466	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( X filGen B ) e. ( Fil ` X ) )
4	1, 3	syl5eqel 2552	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
5		fclsopn 20243	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
6	4, 5	syldan 470	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
7		ssfg 20101	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> B C_ ( X filGen B ) )
8	7	ad3antlr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> B C_ ( X filGen B ) )
9	8, 1	syl6sseqr 3544	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> B C_ F )
10		ssralv 3557	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ F -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) ) )
12		ineq2 3687	. . . . . . . . . 10 |- ( t = s -> ( o i^i t ) = ( o i^i s ) )
13	12	neeq1d 2737	. . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( ( o i^i t ) =/= (/) <-> ( o i^i s ) =/= (/) ) )
14	13	cbvralv 3081	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) )
15	11, 14	syl6ib 226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
16	1	eleq2i 2538	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. F <-> t e. ( X filGen B ) )
17		elfg 20100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( t e. ( X filGen B ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
18	17	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( t e. ( X filGen B ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
19	16, 18	syl5bb 257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( t e. F <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
20	19	simplbda 624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) /\ t e. F ) -> E. s e. B s C_ t )
21		r19.29r 2991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. s e. B s C_ t /\ A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) -> E. s e. B ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) )
22		sslin 3717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s C_ t -> ( o i^i s ) C_ ( o i^i t ) )
23		ssn0 3811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( o i^i s ) C_ ( o i^i t ) /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
24	22, 23	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
25	24	rexlimivw 2945	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. s e. B ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
26	21, 25	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. s e. B s C_ t /\ A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
27	26	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( E. s e. B s C_ t -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> ( o i^i t ) =/= (/) ) )
28	20, 27	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) /\ t e. F ) -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> ( o i^i t ) =/= (/) ) )
29	28	ralrimdva 2875	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) )
30	15, 29	impbid 191	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
31	30	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) /\ A e. o ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
32	31	pm5.74da 687	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) <-> ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
33	32	ralbidva 2893	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) <-> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
34	33	pm5.32da 641	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )
35	6, 34	bitrd 253	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   i^i cin 3468   C_ wss 3469   (/)c0 3778   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   fBascfbas 18170   filGencfg 18171  TopOnctopon 19155   Filcfil 20074   fClus cfcls 20165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-top 19159  df-topon 19162  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-fil 20075  df-fcls 20170

This theorem is referenced by: (None)