Theorem fclsbas 19727

Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fclsbas.f	|- F = ( X filGen B )

Assertion

Ref	Expression
fclsbas	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, o   o, s, B   o, F   o, J   o, X

Allowed substitution hints:   A( s)   F( s)   J( s)   X( s)

Proof of Theorem fclsbas

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fclsbas.f	. . . 4 |- F = ( X filGen B )
2		fgcl 19584	. . . . 5 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen B ) e. ( Fil ` X ) )
3	2	adantl 466	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( X filGen B ) e. ( Fil ` X ) )
4	1, 3	syl5eqel 2546	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
5		fclsopn 19720	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
6	4, 5	syldan 470	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
7		ssfg 19578	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> B C_ ( X filGen B ) )
8	7	ad3antlr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> B C_ ( X filGen B ) )
9	8, 1	syl6sseqr 3512	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> B C_ F )
10		ssralv 3525	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ F -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) ) )
12		ineq2 3655	. . . . . . . . . 10 |- ( t = s -> ( o i^i t ) = ( o i^i s ) )
13	12	neeq1d 2729	. . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( ( o i^i t ) =/= (/) <-> ( o i^i s ) =/= (/) ) )
14	13	cbvralv 3053	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) )
15	11, 14	syl6ib 226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
16	1	eleq2i 2532	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. F <-> t e. ( X filGen B ) )
17		elfg 19577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( t e. ( X filGen B ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
18	17	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( t e. ( X filGen B ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
19	16, 18	syl5bb 257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( t e. F <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
20	19	simplbda 624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) /\ t e. F ) -> E. s e. B s C_ t )
21		r19.29r 2964	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. s e. B s C_ t /\ A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) -> E. s e. B ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) )
22		sslin 3685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s C_ t -> ( o i^i s ) C_ ( o i^i t ) )
23		ssn0 3779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( o i^i s ) C_ ( o i^i t ) /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
24	22, 23	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
25	24	rexlimivw 2943	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. s e. B ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
26	21, 25	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. s e. B s C_ t /\ A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
27	26	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( E. s e. B s C_ t -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> ( o i^i t ) =/= (/) ) )
28	20, 27	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) /\ t e. F ) -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> ( o i^i t ) =/= (/) ) )
29	28	ralrimdva 2912	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) )
30	15, 29	impbid 191	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
31	30	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) /\ A e. o ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
32	31	pm5.74da 687	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) <-> ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
33	32	ralbidva 2844	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) <-> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
34	33	pm5.32da 641	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )
35	6, 34	bitrd 253	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3746   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   fBascfbas 17930   filGencfg 17931  TopOnctopon 18632   Filcfil 19551   fClus cfcls 19642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-top 18636  df-topon 18639  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-fil 19552  df-fcls 19647

This theorem is referenced by: (None)