Theorem fclsbas 20816

Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fclsbas.f	|- F = ( X filGen B )

Assertion

Ref	Expression
fclsbas	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, o   o, s, B   o, F   o, J   o, X

Allowed substitution hints:   A( s)   F( s)   J( s)   X( s)

Proof of Theorem fclsbas

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fclsbas.f	. . . 4 |- F = ( X filGen B )
2		fgcl 20673	. . . . 5 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen B ) e. ( Fil ` X ) )
3	2	adantl 466	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( X filGen B ) e. ( Fil ` X ) )
4	1, 3	syl5eqel 2496	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
5		fclsopn 20809	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
6	4, 5	syldan 470	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
7		ssfg 20667	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> B C_ ( X filGen B ) )
8	7	ad3antlr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> B C_ ( X filGen B ) )
9	8, 1	syl6sseqr 3491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> B C_ F )
10		ssralv 3505	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ F -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) ) )
12		ineq2 3637	. . . . . . . . . 10 |- ( t = s -> ( o i^i t ) = ( o i^i s ) )
13	12	neeq1d 2682	. . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( ( o i^i t ) =/= (/) <-> ( o i^i s ) =/= (/) ) )
14	13	cbvralv 3036	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) )
15	11, 14	syl6ib 228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
16	1	eleq2i 2482	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. F <-> t e. ( X filGen B ) )
17		elfg 20666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( t e. ( X filGen B ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
18	17	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( t e. ( X filGen B ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
19	16, 18	syl5bb 259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( t e. F <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
20	19	simplbda 624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) /\ t e. F ) -> E. s e. B s C_ t )
21		r19.29r 2945	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. s e. B s C_ t /\ A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) -> E. s e. B ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) )
22		sslin 3667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s C_ t -> ( o i^i s ) C_ ( o i^i t ) )
23		ssn0 3774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( o i^i s ) C_ ( o i^i t ) /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
24	22, 23	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
25	24	rexlimivw 2895	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. s e. B ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. s e. B s C_ t /\ A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
27	26	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( E. s e. B s C_ t -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> ( o i^i t ) =/= (/) ) )
28	20, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) /\ t e. F ) -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> ( o i^i t ) =/= (/) ) )
29	28	ralrimdva 2824	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) )
30	15, 29	impbid 192	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
31	30	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) /\ A e. o ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
32	31	pm5.74da 687	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) <-> ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
33	32	ralbidva 2842	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) <-> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
34	33	pm5.32da 641	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )
35	6, 34	bitrd 255	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   = wceq 1407   e. wcel 1844   =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3740   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   fBascfbas 18728   filGencfg 18729  TopOnctopon 19689   Filcfil 20640   fClus cfcls 20731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-top 19693  df-topon 19696  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-fil 20641  df-fcls 20736

This theorem is referenced by: (None)