MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclim Structured version   Unicode version

Theorem fclim 13342
Description: The limit relation is function-like, and with range the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fclim  |-  ~~>  : dom  ~~>  --> CC

Proof of Theorem fclim
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 13281 . . . 4  |-  Rel  ~~>
2 climuni 13341 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~~>  y  /\  x  ~~>  z )  ->  y  =  z )
32ax-gen 1601 . . . . . 6  |-  A. z
( ( x  ~~>  y  /\  x 
~~>  z )  ->  y  =  z )
43ax-gen 1601 . . . . 5  |-  A. y A. z ( ( x  ~~>  y  /\  x  ~~>  z )  ->  y  =  z )
54ax-gen 1601 . . . 4  |-  A. x A. y A. z ( ( x  ~~>  y  /\  x 
~~>  z )  ->  y  =  z )
6 dffun2 5598 . . . 4  |-  ( Fun  ~~>  <->  ( Rel  ~~>  /\  A. x A. y A. z ( ( x  ~~>  y  /\  x 
~~>  z )  ->  y  =  z ) ) )
71, 5, 6mpbir2an 918 . . 3  |-  Fun  ~~>
8 funfn 5617 . . 3  |-  ( Fun  ~~>  <->  ~~>  Fn 
dom 
~~>  )
97, 8mpbi 208 . 2  |-  ~~>  Fn  dom  ~~>
10 vex 3116 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
1110elrn 5243 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  ~~>  <->  E. x  x 
~~>  y )
12 climcl 13288 . . . . 5  |-  ( x  ~~>  y  ->  y  e.  CC )
1312exlimiv 1698 . . . 4  |-  ( E. x  x  ~~>  y  -> 
y  e.  CC )
1411, 13sylbi 195 . . 3  |-  ( y  e.  ran  ~~>  ->  y  e.  CC )
1514ssriv 3508 . 2  |-  ran  ~~>  C_  CC
16 df-f 5592 . 2  |-  (  ~~>  : dom  ~~>  --> CC  <->  (  ~~>  Fn  dom  ~~>  /\  ran  ~~>  C_  CC ) )
179, 15, 16mpbir2an 918 1  |-  ~~>  : dom  ~~>  --> CC
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   Rel wrel 5004   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -->wf 5584   CCcc 9491    ~~> cli 13273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277
This theorem is referenced by:  climdm  13343  sum0  13509  sumz  13510  fsumsers  13516  isumclim  13538  isumcl  13542  ntrivcvgfvn0  28886  ntrivcvgtail  28887  zprodn0  28924  iprodclim  28970  iprodcl  28973
  Copyright terms: Public domain W3C validator