Theorem fcfnei 19508

Description: The property of being a cluster point of a function in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fcfnei	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, s, J   n, L, s   n, F, s   n, X, s   n, Y, s

Allowed substitution hint:   A( s)

Proof of Theorem fcfnei

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfcf 19507	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )
2		simpll1 1022	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		topontop 18431	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4	2, 3	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. Top )
5		simpr 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
6		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
7	6	neii1 18610	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> n C_ U. J )
8	4, 5, 7	syl2anc 656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> n C_ U. J )
9	6	ntrss2 18561	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ n C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` n ) C_ n )
10	4, 8, 9	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` n ) C_ n )
11		simplr 749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. X )
12		toponuni 18432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
13	2, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> X = U. J )
14	11, 13	eleqtrd 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. U. J )
15	14	snssd 4015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ U. J )
16	6	neiint 18608	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ { A } C_ U. J /\ n C_ U. J ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
17	4, 15, 8, 16	syl3anc 1213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
18	5, 17	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) )
19		snssg 4004	. . . . . . . . 9 |- ( A e. X -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
20	11, 19	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
21	18, 20	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. ( ( int ` J ) ` n ) )
22	6	ntropn 18553	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ n C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` n ) e. J )
23	4, 8, 22	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` n ) e. J )
24		eleq2 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( A e. o <-> A e. ( ( int ` J ) ` n ) ) )
25		ineq1 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( o i^i ( F " s ) ) = ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) )
26	25	neeq1d 2619	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
27	26	ralbidv 2733	. . . . . . . . . 10 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
28	24, 27	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) <-> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
29	28	rspcv 3066	. . . . . . . 8 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) e. J -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
30	23, 29	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
31	21, 30	mpid 41	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
32		ssrin 3572	. . . . . . . 8 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) C_ n -> ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) C_ ( n i^i ( F " s ) ) )
33		ssn0 3667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) C_ ( n i^i ( F " s ) ) /\ ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) )
34	33	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) C_ ( n i^i ( F " s ) ) -> ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
35	32, 34	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) C_ n -> ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
36	35	ralimdv 2793	. . . . . 6 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) C_ n -> ( A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
37	10, 31, 36	sylsyld 56	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
38	37	ralrimdva 2804	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
39		simpl1 986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
40	39, 3	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
41		opnneip 18623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ o e. J /\ A e. o ) -> o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
42	41	3expb 1183	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
43	40, 42	sylan 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
44		ineq1 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = o -> ( n i^i ( F " s ) ) = ( o i^i ( F " s ) ) )
45	44	neeq1d 2619	. . . . . . . . . 10 |- ( n = o -> ( ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
46	45	ralbidv 2733	. . . . . . . . 9 |- ( n = o -> ( A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
47	46	rspcv 3066	. . . . . . . 8 |- ( o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
48	43, 47	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
49	48	expr 612	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( A e. o -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
50	49	com23 78	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
51	50	ralrimdva 2804	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
52	38, 51	impbid 191	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
53	52	pm5.32da 636	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
54	1, 53	bitrd 253	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   U.cuni 4088   "cima 4839   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Topctop 18398  TopOnctopon 18399   intcnt 18521   neicnei 18601   Filcfil 19318   fClusf cfcf 19410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-map 7212  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-top 18403  df-topon 18406  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-fil 19319  df-fm 19411  df-fcls 19414  df-fcf 19415

This theorem is referenced by:  fcfneii  19510