Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcfnei Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fcfnei 21050
 Description: The property of being a cluster point of a function in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fcfnei TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fcfnei
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfcf 21049 . 2 TopOn
2 simpll1 1047 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
3 topontop 19941 . . . . . . . 8 TopOn
42, 3syl 17 . . . . . . 7 TopOn
5 simpr 463 . . . . . . . 8 TopOn
6 eqid 2451 . . . . . . . . 9
76neii1 20122 . . . . . . . 8
84, 5, 7syl2anc 667 . . . . . . 7 TopOn
96ntrss2 20072 . . . . . . 7
104, 8, 9syl2anc 667 . . . . . 6 TopOn
11 simplr 762 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
12 toponuni 19942 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
132, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
1411, 13eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . 11 TopOn
1514snssd 4117 . . . . . . . . . 10 TopOn
166neiint 20120 . . . . . . . . . 10
174, 15, 8, 16syl3anc 1268 . . . . . . . . 9 TopOn
185, 17mpbid 214 . . . . . . . 8 TopOn
19 snssg 4105 . . . . . . . . 9
2011, 19syl 17 . . . . . . . 8 TopOn
2118, 20mpbird 236 . . . . . . 7 TopOn
226ntropn 20064 . . . . . . . . 9
234, 8, 22syl2anc 667 . . . . . . . 8 TopOn
24 eleq2 2518 . . . . . . . . . 10
25 ineq1 3627 . . . . . . . . . . . 12
2625neeq1d 2683 . . . . . . . . . . 11
2726ralbidv 2827 . . . . . . . . . 10
2824, 27imbi12d 322 . . . . . . . . 9
2928rspcv 3146 . . . . . . . 8
3023, 29syl 17 . . . . . . 7 TopOn
3121, 30mpid 42 . . . . . 6 TopOn
32 ssrin 3657 . . . . . . . 8
33 ssn0 3767 . . . . . . . . 9
3433ex 436 . . . . . . . 8
3532, 34syl 17 . . . . . . 7
3635ralimdv 2798 . . . . . 6
3710, 31, 36sylsyld 58 . . . . 5 TopOn
3837ralrimdva 2806 . . . 4 TopOn
39 simpl1 1011 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
4039, 3syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn
41 opnneip 20135 . . . . . . . . . 10
42413expb 1209 . . . . . . . . 9
4340, 42sylan 474 . . . . . . . 8 TopOn
44 ineq1 3627 . . . . . . . . . . 11
4544neeq1d 2683 . . . . . . . . . 10
4645ralbidv 2827 . . . . . . . . 9
4746rspcv 3146 . . . . . . . 8
4843, 47syl 17 . . . . . . 7 TopOn
4948expr 620 . . . . . 6 TopOn
5049com23 81 . . . . 5 TopOn
5150ralrimdva 2806 . . . 4 TopOn
5238, 51impbid 194 . . 3 TopOn
5352pm5.32da 647 . 2 TopOn
541, 53bitrd 257 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737   cin 3403   wss 3404  c0 3731  csn 3968  cuni 4198  cima 4837  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  ctop 19917  TopOnctopon 19918  cnt 20032  cnei 20113  cfil 20860   cfcf 20952 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-fil 20861  df-fm 20953  df-fcls 20956  df-fcf 20957 This theorem is referenced by:  fcfneii  21052
 Copyright terms: Public domain W3C validator