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Theorem fcfnei 20409
Description: The property of being a cluster point of a function in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fcfnei  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, s, J    n, L, s    n, F, s    n, X, s    n, Y, s
Allowed substitution hint:    A( s)

Proof of Theorem fcfnei
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfcf 20408 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) ) )
2 simpll1 1036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
3 topontop 19300 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  Top )
5 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )
6 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
76neii1 19480 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  ->  n  C_  U. J
)
84, 5, 7syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  n  C_  U. J )
96ntrss2 19431 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  n  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  n
)  C_  n )
104, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  n )  C_  n )
11 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  X )
12 toponuni 19301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
132, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  X  =  U. J )
1411, 13eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  U. J )
1514snssd 4160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  U. J
)
166neiint 19478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { A }  C_  U. J  /\  n  C_  U. J
)  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  n
) ) )
174, 15, 8, 16syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  n
) ) )
185, 17mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  (
( int `  J
) `  n )
)
19 snssg 4148 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  ( ( int `  J ) `  n )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  n
) ) )
2011, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A  e.  ( ( int `  J
) `  n )  <->  { A }  C_  (
( int `  J
) `  n )
) )
2118, 20mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  ( ( int `  J ) `  n ) )
226ntropn 19423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  n  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  n
)  e.  J )
234, 8, 22syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  n )  e.  J )
24 eleq2 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( A  e.  o  <->  A  e.  (
( int `  J
) `  n )
) )
25 ineq1 3678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =  ( ( ( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) ) )
2625neeq1d 2720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) 
<->  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
2726ralbidv 2882 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( A. s  e.  L  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. s  e.  L  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
2824, 27imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F
" s ) )  =/=  (/) )  <->  ( A  e.  ( ( int `  J
) `  n )  ->  A. s  e.  L  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) ) )
2928rspcv 3192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( int `  J
) `  n )  e.  J  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F
" s ) )  =/=  (/) )  ->  ( A  e.  ( ( int `  J ) `  n )  ->  A. s  e.  L  ( (
( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
3023, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) )  -> 
( A  e.  ( ( int `  J
) `  n )  ->  A. s  e.  L  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) ) )
3121, 30mpid 41 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) )  ->  A. s  e.  L  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
32 ssrin 3708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( int `  J
) `  n )  C_  n  ->  ( (
( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  C_  (
n  i^i  ( F " s ) ) )
33 ssn0 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  C_  ( n  i^i  ( F " s ) )  /\  ( ( ( int `  J ) `
 n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )
3433ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  C_  (
n  i^i  ( F " s ) )  -> 
( ( ( ( int `  J ) `
 n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  (
n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
3532, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( int `  J
) `  n )  C_  n  ->  ( (
( ( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  (
n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
3635ralimdv 2853 . . . . . 6  |-  ( ( ( int `  J
) `  n )  C_  n  ->  ( A. s  e.  L  (
( ( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
3710, 31, 36sylsyld 56 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) )  ->  A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
3837ralrimdva 2861 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
39 simpl1 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4039, 3syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
41 opnneip 19493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J  /\  A  e.  o )  ->  o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
42413expb 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o
) )  ->  o  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
4340, 42sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
44 ineq1 3678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  o  ->  (
n  i^i  ( F " s ) )  =  ( o  i^i  ( F " s ) ) )
4544neeq1d 2720 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  o  ->  (
( n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
4645ralbidv 2882 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  o  ->  ( A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
4746rspcv 3192 . . . . . . . 8  |-  ( o  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
4843, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
4948expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A  e.  o  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
5049com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F
" s ) )  =/=  (/) ) ) )
5150ralrimdva 2861 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
5238, 51impbid 191 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
5352pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
541, 53bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   U.cuni 4234   "cima 4992   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Topctop 19267  TopOnctopon 19268   intcnt 19391   neicnei 19471   Filcfil 20219    fClusf cfcf 20311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-map 7424  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-top 19272  df-topon 19275  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-fil 20220  df-fm 20312  df-fcls 20315  df-fcf 20316
This theorem is referenced by:  fcfneii  20411
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