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Theorem fcfnei 21050
Description: The property of being a cluster point of a function in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fcfnei  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, s, J    n, L, s    n, F, s    n, X, s    n, Y, s
Allowed substitution hint:    A( s)

Proof of Theorem fcfnei
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfcf 21049 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) ) )
2 simpll1 1047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
3 topontop 19941 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
42, 3syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  Top )
5 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )
6 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
76neii1 20122 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  ->  n  C_  U. J
)
84, 5, 7syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  n  C_  U. J )
96ntrss2 20072 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  n  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  n
)  C_  n )
104, 8, 9syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  n )  C_  n )
11 simplr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  X )
12 toponuni 19942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
132, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  X  =  U. J )
1411, 13eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  U. J )
1514snssd 4117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  U. J
)
166neiint 20120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { A }  C_  U. J  /\  n  C_  U. J
)  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  n
) ) )
174, 15, 8, 16syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  n
) ) )
185, 17mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  (
( int `  J
) `  n )
)
19 snssg 4105 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  ( ( int `  J ) `  n )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  n
) ) )
2011, 19syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A  e.  ( ( int `  J
) `  n )  <->  { A }  C_  (
( int `  J
) `  n )
) )
2118, 20mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  ( ( int `  J ) `  n ) )
226ntropn 20064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  n  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  n
)  e.  J )
234, 8, 22syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  n )  e.  J )
24 eleq2 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( A  e.  o  <->  A  e.  (
( int `  J
) `  n )
) )
25 ineq1 3627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =  ( ( ( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) ) )
2625neeq1d 2683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) 
<->  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
2726ralbidv 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( A. s  e.  L  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. s  e.  L  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
2824, 27imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F
" s ) )  =/=  (/) )  <->  ( A  e.  ( ( int `  J
) `  n )  ->  A. s  e.  L  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) ) )
2928rspcv 3146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( int `  J
) `  n )  e.  J  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F
" s ) )  =/=  (/) )  ->  ( A  e.  ( ( int `  J ) `  n )  ->  A. s  e.  L  ( (
( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
3023, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) )  -> 
( A  e.  ( ( int `  J
) `  n )  ->  A. s  e.  L  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) ) )
3121, 30mpid 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) )  ->  A. s  e.  L  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
32 ssrin 3657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( int `  J
) `  n )  C_  n  ->  ( (
( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  C_  (
n  i^i  ( F " s ) ) )
33 ssn0 3767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  C_  ( n  i^i  ( F " s ) )  /\  ( ( ( int `  J ) `
 n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )
3433ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  C_  (
n  i^i  ( F " s ) )  -> 
( ( ( ( int `  J ) `
 n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  (
n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
3532, 34syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( int `  J
) `  n )  C_  n  ->  ( (
( ( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  (
n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
3635ralimdv 2798 . . . . . 6  |-  ( ( ( int `  J
) `  n )  C_  n  ->  ( A. s  e.  L  (
( ( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
3710, 31, 36sylsyld 58 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) )  ->  A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
3837ralrimdva 2806 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
39 simpl1 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4039, 3syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
41 opnneip 20135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J  /\  A  e.  o )  ->  o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
42413expb 1209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o
) )  ->  o  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
4340, 42sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
44 ineq1 3627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  o  ->  (
n  i^i  ( F " s ) )  =  ( o  i^i  ( F " s ) ) )
4544neeq1d 2683 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  o  ->  (
( n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
4645ralbidv 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  o  ->  ( A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
4746rspcv 3146 . . . . . . . 8  |-  ( o  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
4843, 47syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
4948expr 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A  e.  o  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
5049com23 81 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F
" s ) )  =/=  (/) ) ) )
5150ralrimdva 2806 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
5238, 51impbid 194 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
5352pm5.32da 647 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
541, 53bitrd 257 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198   "cima 4837   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   intcnt 20032   neicnei 20113   Filcfil 20860    fClusf cfcf 20952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-fil 20861  df-fm 20953  df-fcls 20956  df-fcf 20957
This theorem is referenced by:  fcfneii  21052
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