Theorem fcfnei 19608

Description: The property of being a cluster point of a function in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fcfnei	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, s, J   n, L, s   n, F, s   n, X, s   n, Y, s

Allowed substitution hint:   A( s)

Proof of Theorem fcfnei

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfcf 19607	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )
2		simpll1 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		topontop 18531	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4	2, 3	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. Top )
5		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
6		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
7	6	neii1 18710	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> n C_ U. J )
8	4, 5, 7	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> n C_ U. J )
9	6	ntrss2 18661	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ n C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` n ) C_ n )
10	4, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` n ) C_ n )
11		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. X )
12		toponuni 18532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
13	2, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> X = U. J )
14	11, 13	eleqtrd 2519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. U. J )
15	14	snssd 4018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ U. J )
16	6	neiint 18708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ { A } C_ U. J /\ n C_ U. J ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
17	4, 15, 8, 16	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
18	5, 17	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) )
19		snssg 4007	. . . . . . . . 9 |- ( A e. X -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
20	11, 19	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
21	18, 20	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. ( ( int ` J ) ` n ) )
22	6	ntropn 18653	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ n C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` n ) e. J )
23	4, 8, 22	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` n ) e. J )
24		eleq2 2504	. . . . . . . . . 10 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( A e. o <-> A e. ( ( int ` J ) ` n ) ) )
25		ineq1 3545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( o i^i ( F " s ) ) = ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) )
26	25	neeq1d 2621	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
27	26	ralbidv 2735	. . . . . . . . . 10 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
28	24, 27	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) <-> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
29	28	rspcv 3069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) e. J -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
30	23, 29	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
31	21, 30	mpid 41	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
32		ssrin 3575	. . . . . . . 8 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) C_ n -> ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) C_ ( n i^i ( F " s ) ) )
33		ssn0 3670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) C_ ( n i^i ( F " s ) ) /\ ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) )
34	33	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) C_ ( n i^i ( F " s ) ) -> ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
35	32, 34	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) C_ n -> ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
36	35	ralimdv 2795	. . . . . 6 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) C_ n -> ( A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
37	10, 31, 36	sylsyld 56	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
38	37	ralrimdva 2806	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
39		simpl1 991	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
40	39, 3	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
41		opnneip 18723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ o e. J /\ A e. o ) -> o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
42	41	3expb 1188	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
43	40, 42	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
44		ineq1 3545	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = o -> ( n i^i ( F " s ) ) = ( o i^i ( F " s ) ) )
45	44	neeq1d 2621	. . . . . . . . . 10 |- ( n = o -> ( ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
46	45	ralbidv 2735	. . . . . . . . 9 |- ( n = o -> ( A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
47	46	rspcv 3069	. . . . . . . 8 |- ( o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
48	43, 47	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
49	48	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( A e. o -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
50	49	com23 78	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
51	50	ralrimdva 2806	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
52	38, 51	impbid 191	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
53	52	pm5.32da 641	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
54	1, 53	bitrd 253	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   A.wral 2715   i^i cin 3327   C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   U.cuni 4091   "cima 4843   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Topctop 18498  TopOnctopon 18499   intcnt 18621   neicnei 18701   Filcfil 19418   fClusf cfcf 19510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-top 18503  df-topon 18506  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-fil 19419  df-fm 19511  df-fcls 19514  df-fcf 19515

This theorem is referenced by:  fcfneii  19610