Theorem fcfnei 21050

Description: The property of being a cluster point of a function in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fcfnei	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, s, J   n, L, s   n, F, s   n, X, s   n, Y, s

Allowed substitution hint:   A( s)

Proof of Theorem fcfnei

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfcf 21049	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )
2		simpll1 1047	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		topontop 19941	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. Top )
5		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
6		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
7	6	neii1 20122	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> n C_ U. J )
8	4, 5, 7	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> n C_ U. J )
9	6	ntrss2 20072	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ n C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` n ) C_ n )
10	4, 8, 9	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` n ) C_ n )
11		simplr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. X )
12		toponuni 19942	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> X = U. J )
14	11, 13	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. U. J )
15	14	snssd 4117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ U. J )
16	6	neiint 20120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ { A } C_ U. J /\ n C_ U. J ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
17	4, 15, 8, 16	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
18	5, 17	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) )
19		snssg 4105	. . . . . . . . 9 |- ( A e. X -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
21	18, 20	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. ( ( int ` J ) ` n ) )
22	6	ntropn 20064	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ n C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` n ) e. J )
23	4, 8, 22	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` n ) e. J )
24		eleq2 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( A e. o <-> A e. ( ( int ` J ) ` n ) ) )
25		ineq1 3627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( o i^i ( F " s ) ) = ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) )
26	25	neeq1d 2683	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
27	26	ralbidv 2827	. . . . . . . . . 10 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
28	24, 27	imbi12d 322	. . . . . . . . 9 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) <-> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
29	28	rspcv 3146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) e. J -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
30	23, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
31	21, 30	mpid 42	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
32		ssrin 3657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) C_ n -> ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) C_ ( n i^i ( F " s ) ) )
33		ssn0 3767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) C_ ( n i^i ( F " s ) ) /\ ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) )
34	33	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) C_ ( n i^i ( F " s ) ) -> ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
35	32, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) C_ n -> ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
36	35	ralimdv 2798	. . . . . 6 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) C_ n -> ( A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
37	10, 31, 36	sylsyld 58	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
38	37	ralrimdva 2806	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
39		simpl1 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
40	39, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
41		opnneip 20135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ o e. J /\ A e. o ) -> o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
42	41	3expb 1209	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
43	40, 42	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
44		ineq1 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = o -> ( n i^i ( F " s ) ) = ( o i^i ( F " s ) ) )
45	44	neeq1d 2683	. . . . . . . . . 10 |- ( n = o -> ( ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
46	45	ralbidv 2827	. . . . . . . . 9 |- ( n = o -> ( A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
47	46	rspcv 3146	. . . . . . . 8 |- ( o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
48	43, 47	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
49	48	expr 620	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( A e. o -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
50	49	com23 81	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
51	50	ralrimdva 2806	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
52	38, 51	impbid 194	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
53	52	pm5.32da 647	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
54	1, 53	bitrd 257	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198   "cima 4837   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   intcnt 20032   neicnei 20113   Filcfil 20860   fClusf cfcf 20952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-fil 20861  df-fm 20953  df-fcls 20956  df-fcf 20957

This theorem is referenced by:  fcfneii  21052