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Theorem fbunfip 20815
Description: A helpful lemma for showing that certain sets generate filters. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbunfip  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, F, y    x, X, y    x, Y, y

Proof of Theorem fbunfip
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfiun 7950 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  G
) )  <->  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi
`  G )  \/ 
E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
21notbid 295 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  -.  ( (/) 
e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
3 3ioran 1000 . . . 4  |-  ( -.  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
4 df-3an 984 . . . 4  |-  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
53, 4bitr2i 253 . . 3  |-  ( ( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <->  -.  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
62, 5syl6bbr 266 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
7 nesym 2703 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  ( x  i^i  y ) )
87ralbii 2863 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<-> 
A. y  e.  ( fi `  G )  -.  (/)  =  ( x  i^i  y ) )
9 ralnex 2878 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G )  -.  (/)  =  ( x  i^i  y )  <->  -.  E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )
108, 9bitri 252 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<->  -.  E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
1110ralbii 2863 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  ( fi `  F
)  -.  E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
12 ralnex 2878 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F )  -.  E. y  e.  ( fi `  G ) (/)  =  ( x  i^i  y )  <->  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )
1311, 12bitri 252 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
14 fbasfip 20814 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  F ) )
15 fbasfip 20814 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )
1614, 15anim12i 568 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) ) )
1716biantrurd 510 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
1813, 17syl5rbb 261 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  (
( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
19 ssfii 7939 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( fi `  F ) )
20 ssralv 3531 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( fi `  F )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
2119, 20syl 17 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
22 ssfii 7939 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  G  C_  ( fi `  G ) )
23 ssralv 3531 . . . . . 6  |-  ( G 
C_  ( fi `  G )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
2524ralimdv 2842 . . . 4  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
2621, 25sylan9 661 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
27 ineq1 3663 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  i^i  y )  =  ( z  i^i  y ) )
2827neeq1d 2708 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  i^i  y
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  y )  =/=  (/) ) )
29 ineq2 3664 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  w ) )
3029neeq1d 2708 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  i^i  y
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  w )  =/=  (/) ) )
3128, 30cbvral2v 3070 . . . 4  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  (
x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/) )
32 fbssfi 20783 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  ( fi `  F
) )  ->  E. z  e.  F  z  C_  x )
33 fbssfi 20783 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  ( fi `  G
) )  ->  E. w  e.  G  w  C_  y
)
34 r19.29 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. z  e.  F  z  C_  x )  ->  E. z  e.  F  ( A. w  e.  G  (
z  i^i  w )  =/=  (/)  /\  z  C_  x ) )
35 r19.29 2970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  E. w  e.  G  ( (
z  i^i  w )  =/=  (/)  /\  w  C_  y ) )
36 ss2in 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( x  i^i  y ) )
37 sseq2 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( x  i^i  y )  <->  ( z  i^i  w )  C_  (/) ) )
38 ss0 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  (/)  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
3937, 38syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( x  i^i  y )  ->  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
4036, 39syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
4140necon3d 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( ( z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4241ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  x  ->  (
w  C_  y  ->  ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) ) )
4342com13 83 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  ( w  C_  y  ->  ( z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) ) )
4443imp 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4544rexlimivw 2921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w  e.  G  ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4635, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4746impancom 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4847rexlimivw 2921 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  F  ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4934, 48syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. z  e.  F  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5049expimpd 606 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  (
z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  ( ( E. z  e.  F  z  C_  x  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5150com12 32 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z  e.  F  z  C_  x  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5232, 33, 51syl2an 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  x  e.  ( fi `  F ) )  /\  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  /\  y  e.  ( fi `  G ) ) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5352an4s 833 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( x  e.  ( fi `  F
)  /\  y  e.  ( fi `  G ) ) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5453ralrimdvva 2856 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( fi `  F
) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5531, 54syl5bi 220 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( fi `  F
) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5626, 55impbid 193 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<-> 
A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
576, 18, 563bitrd 282 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ` cfv 5601   ficfi 7930   fBascfbas 18893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-fin 7581  df-fi 7931  df-fbas 18902
This theorem is referenced by:  isufil2  20854  ufileu  20865  filufint  20866  fmfnfm  20904  hausflim  20927  flimclslem  20930  fclsfnflim  20973  flimfnfcls  20974
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