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Theorem fbunfip 19441
Description: A helpful lemma for showing that certain sets generate filters. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbunfip  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, F, y    x, X, y    x, Y, y

Proof of Theorem fbunfip
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfiun 7679 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  G
) )  <->  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi
`  G )  \/ 
E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
21notbid 294 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  -.  ( (/) 
e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
3 3ioran 983 . . . 4  |-  ( -.  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
4 df-3an 967 . . . 4  |-  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
53, 4bitr2i 250 . . 3  |-  ( ( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <->  -.  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
62, 5syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
7 nesym 2646 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  ( x  i^i  y ) )
87ralbii 2738 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<-> 
A. y  e.  ( fi `  G )  -.  (/)  =  ( x  i^i  y ) )
9 ralnex 2724 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G )  -.  (/)  =  ( x  i^i  y )  <->  -.  E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )
108, 9bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<->  -.  E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
1110ralbii 2738 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  ( fi `  F
)  -.  E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
12 ralnex 2724 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F )  -.  E. y  e.  ( fi `  G ) (/)  =  ( x  i^i  y )  <->  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )
1311, 12bitri 249 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
14 fbasfip 19440 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  F ) )
15 fbasfip 19440 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )
1614, 15anim12i 566 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) ) )
1716biantrurd 508 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
1813, 17syl5rbb 258 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  (
( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
19 ssfii 7668 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( fi `  F ) )
20 ssralv 3415 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( fi `  F )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
22 ssfii 7668 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  G  C_  ( fi `  G ) )
23 ssralv 3415 . . . . . 6  |-  ( G 
C_  ( fi `  G )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
2524ralimdv 2794 . . . 4  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
2621, 25sylan9 657 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
27 ineq1 3544 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  i^i  y )  =  ( z  i^i  y ) )
2827neeq1d 2620 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  i^i  y
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  y )  =/=  (/) ) )
29 ineq2 3545 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  w ) )
3029neeq1d 2620 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  i^i  y
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  w )  =/=  (/) ) )
3128, 30cbvral2v 2954 . . . 4  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  (
x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/) )
32 fbssfi 19409 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  ( fi `  F
) )  ->  E. z  e.  F  z  C_  x )
33 fbssfi 19409 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  ( fi `  G
) )  ->  E. w  e.  G  w  C_  y
)
34 r19.29 2856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. z  e.  F  z  C_  x )  ->  E. z  e.  F  ( A. w  e.  G  (
z  i^i  w )  =/=  (/)  /\  z  C_  x ) )
35 r19.29 2856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  E. w  e.  G  ( (
z  i^i  w )  =/=  (/)  /\  w  C_  y ) )
36 ss2in 3576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( x  i^i  y ) )
37 sseq2 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( x  i^i  y )  <->  ( z  i^i  w )  C_  (/) ) )
38 ss0 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  (/)  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
3937, 38syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( x  i^i  y )  ->  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
4036, 39syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
4140necon3d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( ( z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  x  ->  (
w  C_  y  ->  ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) ) )
4342com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  ( w  C_  y  ->  ( z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) ) )
4443imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4544rexlimivw 2836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w  e.  G  ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4635, 45syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4746impancom 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4847rexlimivw 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  F  ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4934, 48syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. z  e.  F  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5049expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  (
z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  ( ( E. z  e.  F  z  C_  x  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5150com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z  e.  F  z  C_  x  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5232, 33, 51syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  x  e.  ( fi `  F ) )  /\  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  /\  y  e.  ( fi `  G ) ) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5352an4s 822 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( x  e.  ( fi `  F
)  /\  y  e.  ( fi `  G ) ) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5453ralrimdvva 2810 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( fi `  F
) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5531, 54syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( fi `  F
) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5626, 55impbid 191 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<-> 
A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
576, 18, 563bitrd 279 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   E.wrex 2715    u. cun 3325    i^i cin 3326    C_ wss 3327   (/)c0 3636   ` cfv 5417   ficfi 7659   fBascfbas 17803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-fin 7313  df-fi 7660  df-fbas 17813
This theorem is referenced by:  isufil2  19480  ufileu  19491  filufint  19492  fmfnfm  19530  hausflim  19553  flimclslem  19556  fclsfnflim  19599  flimfnfcls  19600
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