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Theorem fbunfip 20536
Description: A helpful lemma for showing that certain sets generate filters. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbunfip  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, F, y    x, X, y    x, Y, y

Proof of Theorem fbunfip
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfiun 7882 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  G
) )  <->  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi
`  G )  \/ 
E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
21notbid 292 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  -.  ( (/) 
e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
3 3ioran 989 . . . 4  |-  ( -.  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
4 df-3an 973 . . . 4  |-  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
53, 4bitr2i 250 . . 3  |-  ( ( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <->  -.  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
62, 5syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
7 nesym 2726 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  ( x  i^i  y ) )
87ralbii 2885 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<-> 
A. y  e.  ( fi `  G )  -.  (/)  =  ( x  i^i  y ) )
9 ralnex 2900 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G )  -.  (/)  =  ( x  i^i  y )  <->  -.  E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )
108, 9bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<->  -.  E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
1110ralbii 2885 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  ( fi `  F
)  -.  E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
12 ralnex 2900 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F )  -.  E. y  e.  ( fi `  G ) (/)  =  ( x  i^i  y )  <->  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )
1311, 12bitri 249 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
14 fbasfip 20535 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  F ) )
15 fbasfip 20535 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )
1614, 15anim12i 564 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) ) )
1716biantrurd 506 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
1813, 17syl5rbb 258 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  (
( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
19 ssfii 7871 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( fi `  F ) )
20 ssralv 3550 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( fi `  F )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
22 ssfii 7871 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  G  C_  ( fi `  G ) )
23 ssralv 3550 . . . . . 6  |-  ( G 
C_  ( fi `  G )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
2524ralimdv 2864 . . . 4  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
2621, 25sylan9 655 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
27 ineq1 3679 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  i^i  y )  =  ( z  i^i  y ) )
2827neeq1d 2731 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  i^i  y
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  y )  =/=  (/) ) )
29 ineq2 3680 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  w ) )
3029neeq1d 2731 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  i^i  y
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  w )  =/=  (/) ) )
3128, 30cbvral2v 3089 . . . 4  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  (
x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/) )
32 fbssfi 20504 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  ( fi `  F
) )  ->  E. z  e.  F  z  C_  x )
33 fbssfi 20504 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  ( fi `  G
) )  ->  E. w  e.  G  w  C_  y
)
34 r19.29 2989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. z  e.  F  z  C_  x )  ->  E. z  e.  F  ( A. w  e.  G  (
z  i^i  w )  =/=  (/)  /\  z  C_  x ) )
35 r19.29 2989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  E. w  e.  G  ( (
z  i^i  w )  =/=  (/)  /\  w  C_  y ) )
36 ss2in 3711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( x  i^i  y ) )
37 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( x  i^i  y )  <->  ( z  i^i  w )  C_  (/) ) )
38 ss0 3815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  (/)  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
3937, 38syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( x  i^i  y )  ->  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
4036, 39syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
4140necon3d 2678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( ( z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4241ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  x  ->  (
w  C_  y  ->  ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) ) )
4342com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  ( w  C_  y  ->  ( z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) ) )
4443imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4544rexlimivw 2943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w  e.  G  ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4635, 45syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4746impancom 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4847rexlimivw 2943 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  F  ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4934, 48syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. z  e.  F  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5049expimpd 601 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  (
z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  ( ( E. z  e.  F  z  C_  x  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5150com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z  e.  F  z  C_  x  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5232, 33, 51syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  x  e.  ( fi `  F ) )  /\  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  /\  y  e.  ( fi `  G ) ) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5352an4s 824 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( x  e.  ( fi `  F
)  /\  y  e.  ( fi `  G ) ) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5453ralrimdvva 2878 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( fi `  F
) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5531, 54syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( fi `  F
) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5626, 55impbid 191 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<-> 
A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
576, 18, 563bitrd 279 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    \/ w3o 970    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ` cfv 5570   ficfi 7862   fBascfbas 18601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-fbas 18611
This theorem is referenced by:  isufil2  20575  ufileu  20586  filufint  20587  fmfnfm  20625  hausflim  20648  flimclslem  20651  fclsfnflim  20694  flimfnfcls  20695
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