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Theorem fbunfip 20933
Description: A helpful lemma for showing that certain sets generate filters. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbunfip  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, F, y    x, X, y    x, Y, y

Proof of Theorem fbunfip
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfiun 7970 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  G
) )  <->  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi
`  G )  \/ 
E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
21notbid 300 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  -.  ( (/) 
e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
3 3ioran 1009 . . . 4  |-  ( -.  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
4 df-3an 993 . . . 4  |-  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
53, 4bitr2i 258 . . 3  |-  ( ( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <->  -.  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
62, 5syl6bbr 271 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
7 nesym 2692 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  ( x  i^i  y ) )
87ralbii 2831 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<-> 
A. y  e.  ( fi `  G )  -.  (/)  =  ( x  i^i  y ) )
9 ralnex 2846 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G )  -.  (/)  =  ( x  i^i  y )  <->  -.  E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )
108, 9bitri 257 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<->  -.  E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
1110ralbii 2831 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  ( fi `  F
)  -.  E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
12 ralnex 2846 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F )  -.  E. y  e.  ( fi `  G ) (/)  =  ( x  i^i  y )  <->  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )
1311, 12bitri 257 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
14 fbasfip 20932 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  F ) )
15 fbasfip 20932 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )
1614, 15anim12i 574 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) ) )
1716biantrurd 515 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
1813, 17syl5rbb 266 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  (
( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
19 ssfii 7959 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( fi `  F ) )
20 ssralv 3505 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( fi `  F )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
2119, 20syl 17 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
22 ssfii 7959 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  G  C_  ( fi `  G ) )
23 ssralv 3505 . . . . . 6  |-  ( G 
C_  ( fi `  G )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
2524ralimdv 2810 . . . 4  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
2621, 25sylan9 667 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
27 ineq1 3639 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  i^i  y )  =  ( z  i^i  y ) )
2827neeq1d 2695 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  i^i  y
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  y )  =/=  (/) ) )
29 ineq2 3640 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  w ) )
3029neeq1d 2695 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  i^i  y
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  w )  =/=  (/) ) )
3128, 30cbvral2v 3039 . . . 4  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  (
x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/) )
32 fbssfi 20901 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  ( fi `  F
) )  ->  E. z  e.  F  z  C_  x )
33 fbssfi 20901 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  ( fi `  G
) )  ->  E. w  e.  G  w  C_  y
)
34 r19.29 2937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. z  e.  F  z  C_  x )  ->  E. z  e.  F  ( A. w  e.  G  (
z  i^i  w )  =/=  (/)  /\  z  C_  x ) )
35 r19.29 2937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  E. w  e.  G  ( (
z  i^i  w )  =/=  (/)  /\  w  C_  y ) )
36 ss2in 3671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( x  i^i  y ) )
37 sseq2 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( x  i^i  y )  <->  ( z  i^i  w )  C_  (/) ) )
38 ss0 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  (/)  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
3937, 38syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( x  i^i  y )  ->  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
4036, 39syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
4140necon3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( ( z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4241ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  x  ->  (
w  C_  y  ->  ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) ) )
4342com13 83 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  ( w  C_  y  ->  ( z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) ) )
4443imp 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4544rexlimivw 2888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w  e.  G  ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4635, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4746impancom 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4847rexlimivw 2888 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  F  ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4934, 48syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. z  e.  F  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5049expimpd 612 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  (
z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  ( ( E. z  e.  F  z  C_  x  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5150com12 32 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z  e.  F  z  C_  x  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5232, 33, 51syl2an 484 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  x  e.  ( fi `  F ) )  /\  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  /\  y  e.  ( fi `  G ) ) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5352an4s 840 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( x  e.  ( fi `  F
)  /\  y  e.  ( fi `  G ) ) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5453ralrimdvva 2824 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( fi `  F
) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5531, 54syl5bi 225 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( fi `  F
) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5626, 55impbid 195 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<-> 
A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
576, 18, 563bitrd 287 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    \/ w3o 990    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ` cfv 5601   ficfi 7950   fBascfbas 19007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-fin 7599  df-fi 7951  df-fbas 19016
This theorem is referenced by:  isufil2  20972  ufileu  20983  filufint  20984  fmfnfm  21022  hausflim  21045  flimclslem  21048  fclsfnflim  21091  flimfnfcls  21092
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