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Theorem fbun 20104
Description: A necessary and sufficient condition for the union of two filter bases to also be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbun  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, F, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem fbun
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun1 3671 . . . . 5  |-  ( x  e.  F  ->  x  e.  ( F  u.  G
) )
2 elun2 3672 . . . . 5  |-  ( y  e.  G  ->  y  e.  ( F  u.  G
) )
31, 2anim12i 566 . . . 4  |-  ( ( x  e.  F  /\  y  e.  G )  ->  ( x  e.  ( F  u.  G )  /\  y  e.  ( F  u.  G ) ) )
4 fbasssin 20100 . . . . 5  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  ( F  u.  G
)  /\  y  e.  ( F  u.  G
) )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
543expb 1197 . . . 4  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  /\  (
x  e.  ( F  u.  G )  /\  y  e.  ( F  u.  G ) ) )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) )
63, 5sylan2 474 . . 3  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  G )
)  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
76ralrimivva 2885 . 2  |-  ( ( F  u.  G )  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
8 fbsspw 20096 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  F  C_ 
~P X )
10 fbsspw 20096 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  G  C_  ~P X )
1110adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  G  C_ 
~P X )
129, 11unssd 3680 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( F  u.  G )  C_ 
~P X )
1312a1d 25 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( F  u.  G )  C_ 
~P X ) )
14 ssun1 3667 . . . . . . . 8  |-  F  C_  ( F  u.  G
)
15 fbasne0 20094 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
16 ssn0 3818 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( F  u.  G )  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( F  u.  G )  =/=  (/) )
1714, 15, 16sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( F  u.  G )  =/=  (/) )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( F  u.  G )  =/=  (/) )
1918a1d 25 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( F  u.  G )  =/=  (/) ) )
20 0nelfb 20095 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
21 0nelfb 20095 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  G
)
22 df-nel 2665 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e/  ( F  u.  G
)  <->  -.  (/)  e.  ( F  u.  G ) )
23 elun 3645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  ( F  u.  G
)  <->  ( (/)  e.  F  \/  (/)  e.  G ) )
2423notbii 296 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  (/)  e.  ( F  u.  G )  <->  -.  ( (/) 
e.  F  \/  (/)  e.  G
) )
25 ioran 490 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( (/)  e.  F  \/  (/)  e.  G )  <-> 
( -.  (/)  e.  F  /\  -.  (/)  e.  G ) )
2622, 24, 253bitri 271 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e/  ( F  u.  G
)  <->  ( -.  (/)  e.  F  /\  -.  (/)  e.  G ) )
2726biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  (/)  e.  F  /\  -.  (/)  e.  G )  ->  (/)  e/  ( F  u.  G ) )
2820, 21, 27syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (/)  e/  ( F  u.  G )
)
2928a1d 25 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  (/)  e/  ( F  u.  G )
) )
30 fbasssin 20100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
31 ssrexv 3565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F 
C_  ( F  u.  G )  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
3214, 30, 31mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
33323expb 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
3433ralrimivva 2885 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
3534adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
36 pm3.2 447 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
38 r19.26 2989 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  F  ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
39 ralun 3686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
4039ralimi 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  F  ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
4138, 40sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
4237, 41syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
43 ralcom 3022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  <->  A. y  e.  G  A. x  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y ) )
44 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
x  i^i  y )  =  ( w  i^i  y ) )
4544sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
z  C_  ( x  i^i  y )  <->  z  C_  ( w  i^i  y
) ) )
4645rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  <->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
w  i^i  y )
) )
4746cbvralv 3088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  <->  A. w  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( w  i^i  y ) )
4847ralbii 2895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  G  A. x  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  <->  A. y  e.  G  A. w  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( w  i^i  y ) )
49 ineq2 3694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
w  i^i  y )  =  ( w  i^i  x ) )
5049sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
z  C_  ( w  i^i  y )  <->  z  C_  ( w  i^i  x
) ) )
5150rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( w  i^i  y )  <->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
w  i^i  x )
) )
52 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  y  ->  (
w  i^i  x )  =  ( y  i^i  x ) )
53 incom 3691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  i^i  x )  =  ( x  i^i  y
)
5452, 53syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  (
w  i^i  x )  =  ( x  i^i  y ) )
5554sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  (
z  C_  ( w  i^i  x )  <->  z  C_  ( x  i^i  y
) ) )
5655rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  ( E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( w  i^i  x )  <->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
5751, 56cbvral2v 3096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  G  A. w  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( w  i^i  y
)  <->  A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y ) )
5843, 48, 573bitri 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  <->  A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y ) )
5958biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
60 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  C_  ( F  u.  G
)
61 fbasssin 20100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  G  /\  y  e.  G )  ->  E. z  e.  G  z  C_  ( x  i^i  y
) )
62 ssrexv 3565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G 
C_  ( F  u.  G )  ->  ( E. z  e.  G  z  C_  ( x  i^i  y )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
6360, 61, 62mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  G  /\  y  e.  G )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
64633expb 1197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  X )  /\  (
x  e.  G  /\  y  e.  G )
)  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
6564ralrimivva 2885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
6665adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
6759, 66anim12i 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) ) )  -> 
( A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
6867expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
69 r19.26 2989 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  G  ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  ( A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
7039ralimi 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  G  ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
7169, 70sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
7268, 71syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
7342, 72jcad 533 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
74 ralun 3686 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)  ->  A. x  e.  ( F  u.  G
) A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
7573, 74syl6 33 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  A. x  e.  ( F  u.  G
) A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
7619, 29, 753jcad 1177 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  (
( F  u.  G
)  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( F  u.  G )  /\  A. x  e.  ( F  u.  G ) A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
7713, 76jcad 533 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  (
( F  u.  G
)  C_  ~P X  /\  ( ( F  u.  G )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( F  u.  G )  /\  A. x  e.  ( F  u.  G ) A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
78 elfvdm 5892 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  X  e.  dom  fBas )
7978adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  X  e.  dom  fBas )
80 isfbas2 20099 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  fBas  ->  ( ( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  G )  C_ 
~P X  /\  (
( F  u.  G
)  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( F  u.  G )  /\  A. x  e.  ( F  u.  G ) A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
8179, 80syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  G )  C_ 
~P X  /\  (
( F  u.  G
)  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( F  u.  G )  /\  A. x  e.  ( F  u.  G ) A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
8277, 81sylibrd 234 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( F  u.  G )  e.  ( fBas `  X
) ) )
837, 82impbid2 204 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    =/= wne 2662    e/ wnel 2663   A.wral 2814   E.wrex 2815    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   dom cdm 4999   ` cfv 5588   fBascfbas 18205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-fbas 18215
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