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Theorem fbssfi 19413
Description: A filter base contains subsets of its finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbssfi  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  ( fi `  F
) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  A
)
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, X

Proof of Theorem fbssfi
Dummy variables  t  u  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffi2 7676 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( fi `  F )  =  |^| { z  |  ( F 
C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
u  i^i  v )  e.  z ) } )
2 inss1 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
3 simp1r 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  u  e.  ~P U. F )
43elpwid 3873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  u  C_  U. F
)
52, 4syl5ss 3370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  C_  U. F
)
6 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  u  e. 
_V
76inex1 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  i^i  v )  e. 
_V
87elpw 3869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  i^i  v )  e.  ~P U. F  <->  ( u  i^i  v ) 
C_  U. F )
95, 8sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  e.  ~P U. F )
10 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  ->  F  e.  (
fBas `  X )
)
11 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  F  /\  y  C_  u )  -> 
y  e.  F )
12 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  v )  -> 
z  e.  F )
13 fbasssin 19412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
y  i^i  z )
)
1410, 11, 12, 13syl3an 1260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
y  i^i  z )
)
15 ss2in 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  C_  u  /\  z  C_  v )  -> 
( y  i^i  z
)  C_  ( u  i^i  v ) )
1615ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  -> 
( y  i^i  z
)  C_  ( u  i^i  v ) )
17163adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  (
u  i^i  v )
)
18 sstr 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  C_  ( y  i^i  z )  /\  (
y  i^i  z )  C_  ( u  i^i  v
) )  ->  x  C_  ( u  i^i  v
) )
1918expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  i^i  z ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
x  C_  ( y  i^i  z )  ->  x  C_  ( u  i^i  v
) ) )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( x  C_  ( y  i^i  z
)  ->  x  C_  (
u  i^i  v )
) )
2120reximdv 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  ( y  i^i  z
)  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
u  i^i  v )
) )
2214, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
u  i^i  v )
)
23 sseq2 3381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  ( u  i^i  v )  ->  (
x  C_  t  <->  x  C_  (
u  i^i  v )
) )
2423rexbidv 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( u  i^i  v )  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. x  e.  F  x  C_  (
u  i^i  v )
) )
2524elrab 3120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  i^i  v )  e.  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  <->  ( (
u  i^i  v )  e.  ~P U. F  /\  E. x  e.  F  x 
C_  ( u  i^i  v ) ) )
269, 22, 25sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
27263expa 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  -> 
( u  i^i  v
)  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
2827rexlimdvaa 2845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  v  ->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
2928ralrimivw 2803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  ->  A. v  e.  ~P  U. F ( E. z  e.  F  z  C_  v  ->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
30 sseq2 3381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  v  ->  (
x  C_  t  <->  x  C_  v
) )
3130rexbidv 2739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  v  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. x  e.  F  x  C_  v
) )
32 sseq1 3380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
x  C_  v  <->  z  C_  v ) )
3332cbvrexv 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  F  x 
C_  v  <->  E. z  e.  F  z  C_  v )
3431, 33syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. z  e.  F  z  C_  v ) )
3534ralrab 3124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  (
u  i^i  v )  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } 
<-> 
A. v  e.  ~P  U. F ( E. z  e.  F  z  C_  v  ->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
3629, 35sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  ->  A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
3736rexlimdvaa 2845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  u  ->  A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
3837ralrimiva 2802 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. u  e.  ~P  U. F ( E. y  e.  F  y  C_  u  ->  A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
39 sseq2 3381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  u  ->  (
x  C_  t  <->  x  C_  u
) )
4039rexbidv 2739 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  u  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. x  e.  F  x  C_  u
) )
41 sseq1 3380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  u  <->  y  C_  u ) )
4241cbvrexv 2951 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  F  x 
C_  u  <->  E. y  e.  F  y  C_  u )
4340, 42syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  u  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. y  e.  F  y  C_  u ) )
4443ralrab 3124 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  (
u  i^i  v )  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } 
<-> 
A. u  e.  ~P  U. F ( E. y  e.  F  y  C_  u  ->  A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
4538, 44sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. u  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
46 pwuni 4526 . . . . . . . 8  |-  F  C_  ~P U. F
47 ssid 3378 . . . . . . . . . 10  |-  t  C_  t
48 sseq1 3380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  (
x  C_  t  <->  t  C_  t ) )
4948rspcev 3076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  F  /\  t  C_  t )  ->  E. x  e.  F  x  C_  t )
5047, 49mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
)
5150rgen 2784 . . . . . . . 8  |-  A. t  e.  F  E. x  e.  F  x  C_  t
52 ssrab 3433 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  <->  ( F  C_ 
~P U. F  /\  A. t  e.  F  E. x  e.  F  x  C_  t ) )
5346, 51, 52mpbir2an 911 . . . . . . 7  |-  F  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }
5445, 53jctil 537 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( F  C_ 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  /\  A. u  e. 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
55 uniexg 6380 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  U. F  e. 
_V )
56 pwexg 4479 . . . . . . 7  |-  ( U. F  e.  _V  ->  ~P
U. F  e.  _V )
57 rabexg 4445 . . . . . . 7  |-  ( ~P
U. F  e.  _V  ->  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  _V )
58 sseq2 3381 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  ( F  C_  z  <->  F  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
59 eleq2 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  (
( u  i^i  v
)  e.  z  <->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
6059raleqbi1dv 2928 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  ( A. v  e.  z 
( u  i^i  v
)  e.  z  <->  A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
6160raleqbi1dv 2928 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  ( A. u  e.  z  A. v  e.  z 
( u  i^i  v
)  e.  z  <->  A. u  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
6258, 61anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  (
( F  C_  z  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  z  ( u  i^i  v
)  e.  z )  <-> 
( F  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  /\  A. u  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  (
u  i^i  v )  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) ) )
6362elabg 3110 . . . . . . 7  |-  ( { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  _V  ->  ( { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  <->  ( F  C_ 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  /\  A. u  e. 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) ) )
6455, 56, 57, 634syl 21 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  <->  ( F  C_ 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  /\  A. u  e. 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) ) )
6554, 64mpbird 232 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  { z  |  ( F 
C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
u  i^i  v )  e.  z ) } )
66 intss1 4146 . . . . 5  |-  ( { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  ->  |^| { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
6765, 66syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  |^| { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
681, 67eqsstrd 3393 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( fi `  F )  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
6968sselda 3359 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  ( fi `  F
) )  ->  A  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
70 sseq2 3381 . . . . 5  |-  ( t  =  A  ->  (
x  C_  t  <->  x  C_  A
) )
7170rexbidv 2739 . . . 4  |-  ( t  =  A  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. x  e.  F  x  C_  A
) )
7271elrab 3120 . . 3  |-  ( A  e.  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  <->  ( A  e.  ~P U. F  /\  E. x  e.  F  x 
C_  A ) )
7372simprbi 464 . 2  |-  ( A  e.  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  E. x  e.  F  x  C_  A
)
7469, 73syl 16 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  ( fi `  F
) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   E.wrex 2719   {crab 2722   _Vcvv 2975    i^i cin 3330    C_ wss 3331   ~Pcpw 3863   U.cuni 4094   |^|cint 4131   ` cfv 5421   ficfi 7663   fBascfbas 17807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-fin 7317  df-fi 7664  df-fbas 17817
This theorem is referenced by:  fbssint  19414  fbunfip  19445  fmfnfmlem1  19530  fmfnfmlem4  19533
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