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Theorem fbflim2 20923
Description: A condition for a filter base  B to converge to a point  A. Use neighborhoods instead of open neighborhoods. Compare fbflim 20922. (Contributed by FL, 4-Jul-2011.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fbflim.3  |-  F  =  ( X filGen B )
Assertion
Ref Expression
fbflim2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, n, x    n, J, x    n, X, x   
x, F
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem fbflim2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbflim.3 . . 3  |-  F  =  ( X filGen B )
21fbflim 20922 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y
) ) ) )
3 topontop 19872 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
43ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
5 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
6 toponuni 19873 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  X  =  U. J )
85, 7eleqtrd 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  U. J )
9 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
109isneip 20052 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  U. J )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( n  C_ 
U. J  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) ) ) )
114, 8, 10syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  <->  ( n  C_  U. J  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) ) ) )
12 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( n  C_  U. J  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )
1311, 12syl6bi 231 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) ) )
14 r19.29 2970 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y
)  /\  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) ) )
15 pm3.45 842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  -> 
( ( A  e.  y  /\  y  C_  n )  ->  ( E. x  e.  B  x  C_  y  /\  y  C_  n ) ) )
1615imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  ( E. x  e.  B  x  C_  y  /\  y  C_  n ) )
17 sstr2 3477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  y  ->  (
y  C_  n  ->  x 
C_  n ) )
1817com12 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  n  ->  (
x  C_  y  ->  x 
C_  n ) )
1918reximdv 2906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  n  ->  ( E. x  e.  B  x  C_  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
) )
2019impcom 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  B  x  C_  y  /\  y  C_  n )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
)
2116, 20syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
)
2221rexlimivw 2921 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  J  ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
)
2314, 22syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n )
2423ex 435 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x 
C_  y )  -> 
( E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
) )
2513, 24syl9 73 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  -> 
( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
) ) )
2625ralrimdv 2848 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  ->  A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) )
274adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  ->  J  e.  Top )
28 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  -> 
y  e.  J )
29 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  ->  A  e.  y )
30 opnneip 20066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J  /\  A  e.  y )  ->  y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  -> 
y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
32 sseq2 3492 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
x  C_  n  <->  x  C_  y
) )
3332rexbidv 2946 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  y  ->  ( E. x  e.  B  x  C_  n  <->  E. x  e.  B  x  C_  y
) )
3433rspcv 3184 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) )
3531, 34syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  -> 
( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) )
3635expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) ) )
3736com23 81 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  J )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) ) )
3837ralrimdva 2850 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) ) )
3926, 38impbid 193 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) )
4039pm5.32da 645 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) ) )
412, 40bitrd 256 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   {csn 4002   U.cuni 4222   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   fBascfbas 18893   filGencfg 18894   Topctop 19848  TopOnctopon 19849   neicnei 20044    fLim cflim 20880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-top 19852  df-topon 19854  df-ntr 19966  df-nei 20045  df-fil 20792  df-flim 20885
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