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Theorem fbfinnfr 19541
Description: No filter base containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbfinnfr  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )

Proof of Theorem fbfinnfr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2524 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  F  <->  y  e.  F ) )
21anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( F  e.  (
fBas `  B )  /\  x  e.  F
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  y  e.  F ) ) )
32imbi1d 317 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) )  <->  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
4 eleq1 2524 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  (
x  e.  F  <->  S  e.  F ) )
54anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
( F  e.  (
fBas `  B )  /\  x  e.  F
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  S  e.  F ) ) )
65imbi1d 317 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  (
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) )  <->  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
7 ibar 504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  ( x  e.  F  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F ) ) )
87adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
x  e.  F  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F ) ) )
98imbi1d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
( x  e.  F  ->  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <-> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) ) )
10 bi2.04 361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  (
fBas `  B )  /\  x  e.  F
)  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
119, 10syl6rbbr 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  ( x  e.  F  ->  ( x 
C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) ) )
1211albidv 1680 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  A. x
( x  e.  F  ->  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) ) )
13 df-ral 2801 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  F  (
x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  <->  A. x
( x  e.  F  ->  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
1412, 13syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
15 0nelfb 19531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
16 eleq1 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  F  <->  (/)  e.  F
) )
1716notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -.  y  e.  F  <->  -.  (/)  e.  F
) )
1815, 17syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  ( y  =  (/)  ->  -.  y  e.  F ) )
1918necon2ad 2662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  ( y  e.  F  ->  y  =/=  (/) ) )
2019imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  y  =/=  (/) )
21 ssn0 3773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  |^| F  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) )
2221ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  |^| F  ->  (
y  =/=  (/)  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
2320, 22syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  C_  |^| F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
2423a1dd 46 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  C_  |^| F  -> 
( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
25 ssint 4247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  |^| F  <->  A. z  e.  F  y  C_  z )
2625notbii 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  C_  |^| F  <->  -.  A. z  e.  F  y  C_  z )
27 rexnal 2849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  F  -.  y  C_  z  <->  -.  A. z  e.  F  y  C_  z )
2826, 27bitr4i 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  C_  |^| F  <->  E. z  e.  F  -.  y  C_  z )
29 fbasssin 19536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
y  i^i  z )
)
30 nssinpss 3685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  y  C_  z  <->  ( y  i^i  z )  C.  y
)
31 sspsstr 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  ( y  i^i  z )  /\  (
y  i^i  z )  C.  y )  ->  x  C.  y )
3230, 31sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  C_  ( y  i^i  z )  /\  -.  y  C_  z )  ->  x  C.  y )
3332expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  y  C_  z  ->  ( x  C_  ( y  i^i  z )  ->  x  C.  y ) )
3433reximdv 2927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  C_  z  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  ( y  i^i  z )  ->  E. x  e.  F  x  C.  y
) )
3529, 34syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  ( -.  y  C_  z  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
36353expia 1190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
z  e.  F  -> 
( -.  y  C_  z  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) ) )
3736rexlimdv 2940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( E. z  e.  F  -.  y  C_  z  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
3828, 37syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( -.  y  C_  |^| F  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
39 r19.29 2957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  F  x 
C.  y )  ->  E. x  e.  F  ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  x  C.  y ) )
40 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  -> 
( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4140imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  x  C.  y )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4241rexlimivw 2937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  F  ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  x  C.  y )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4339, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  F  x 
C.  y )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4443expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  F  x 
C.  y  ->  ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4538, 44syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( -.  y  C_  |^| F  ->  ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
4624, 45pm2.61d 158 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4714, 46sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4847com12 31 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  -> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  y  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4948a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  -> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  y  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
503, 6, 49findcard3 7661 . . 3  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( F  e.  (
fBas `  B )  /\  S  e.  F
)  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
5150com12 31 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F )  ->  ( S  e.  Fin  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
52513impia 1185 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797    i^i cin 3430    C_ wss 3431    C. wpss 3432   (/)c0 3740   |^|cint 4231   ` cfv 5521   Fincfn 7415   fBascfbas 17924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-om 6582  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fbas 17934
This theorem is referenced by:  filfinnfr  19577
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