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Theorem fbfinnfr 20508
Description: No filter base containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbfinnfr  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )

Proof of Theorem fbfinnfr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  F  <->  y  e.  F ) )
21anbi2d 701 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( F  e.  (
fBas `  B )  /\  x  e.  F
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  y  e.  F ) ) )
32imbi1d 315 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) )  <->  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
4 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  (
x  e.  F  <->  S  e.  F ) )
54anbi2d 701 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
( F  e.  (
fBas `  B )  /\  x  e.  F
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  S  e.  F ) ) )
65imbi1d 315 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  (
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) )  <->  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
7 ibar 502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  ( x  e.  F  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F ) ) )
87adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
x  e.  F  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F ) ) )
98imbi1d 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
( x  e.  F  ->  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <-> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) ) )
10 bi2.04 359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  (
fBas `  B )  /\  x  e.  F
)  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
119, 10syl6rbbr 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  ( x  e.  F  ->  ( x 
C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) ) )
1211albidv 1718 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  A. x
( x  e.  F  ->  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) ) )
13 df-ral 2809 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  F  (
x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  <->  A. x
( x  e.  F  ->  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
1412, 13syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
15 0nelfb 20498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
16 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  F  <->  (/)  e.  F
) )
1716notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -.  y  e.  F  <->  -.  (/)  e.  F
) )
1815, 17syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  ( y  =  (/)  ->  -.  y  e.  F ) )
1918necon2ad 2667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  ( y  e.  F  ->  y  =/=  (/) ) )
2019imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  y  =/=  (/) )
21 ssn0 3817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  |^| F  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) )
2221ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  |^| F  ->  (
y  =/=  (/)  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
2320, 22syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  C_  |^| F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
2423a1dd 46 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  C_  |^| F  -> 
( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
25 ssint 4287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  |^| F  <->  A. z  e.  F  y  C_  z )
2625notbii 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  C_  |^| F  <->  -.  A. z  e.  F  y  C_  z )
27 rexnal 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  F  -.  y  C_  z  <->  -.  A. z  e.  F  y  C_  z )
2826, 27bitr4i 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  C_  |^| F  <->  E. z  e.  F  -.  y  C_  z )
29 fbasssin 20503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
y  i^i  z )
)
30 nssinpss 3727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  y  C_  z  <->  ( y  i^i  z )  C.  y
)
31 sspsstr 3595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  ( y  i^i  z )  /\  (
y  i^i  z )  C.  y )  ->  x  C.  y )
3230, 31sylan2b 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  C_  ( y  i^i  z )  /\  -.  y  C_  z )  ->  x  C.  y )
3332expcom 433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  y  C_  z  ->  ( x  C_  ( y  i^i  z )  ->  x  C.  y ) )
3433reximdv 2928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  C_  z  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  ( y  i^i  z )  ->  E. x  e.  F  x  C.  y
) )
3529, 34syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  ( -.  y  C_  z  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
36353expia 1196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
z  e.  F  -> 
( -.  y  C_  z  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) ) )
3736rexlimdv 2944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( E. z  e.  F  -.  y  C_  z  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
3828, 37syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( -.  y  C_  |^| F  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
39 r19.29 2989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  F  x 
C.  y )  ->  E. x  e.  F  ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  x  C.  y ) )
40 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  -> 
( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4140imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  x  C.  y )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4241rexlimivw 2943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  F  ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  x  C.  y )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4339, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  F  x 
C.  y )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4443expcom 433 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  F  x 
C.  y  ->  ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4538, 44syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( -.  y  C_  |^| F  ->  ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
4624, 45pm2.61d 158 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4714, 46sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4847com12 31 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  -> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  y  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4948a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  -> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  y  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
503, 6, 49findcard3 7755 . . 3  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( F  e.  (
fBas `  B )  /\  S  e.  F
)  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
5150com12 31 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F )  ->  ( S  e.  Fin  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
52513impia 1191 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1396    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805    i^i cin 3460    C_ wss 3461    C. wpss 3462   (/)c0 3783   |^|cint 4271   ` cfv 5570   Fincfn 7509   fBascfbas 18601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-om 6674  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fbas 18611
This theorem is referenced by:  filfinnfr  20544
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