Theorem fbfgss2 14937

Description: A condition for a filter to be finer than another filter. Compare fbfgss 10288.

Hypotheses

Ref	Expression
fbfgss2.1	|- X = U.F
fbfgss2.2	|- Y = U.G

Assertion

Ref	Expression
fbfgss2	|- ((F e. Fil /\ G e. Fil /\ X = Y) -> (F C_ G <-> A.x e. F E.y e. G y C_ x))

Distinct variable groups:   x,F,y   x,G,y   x,X,y   x,Y,y

Proof of Theorem fbfgss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 10276	. . 3 |- (F e. Fil -> F e. fBas)
2		filfbas 10276	. . 3 |- (G e. Fil -> G e. fBas)
3		id 73	. . 3 |- (X = Y -> X = Y)
4	1, 2, 3	3anim123i 1053	. 2 |- ((F e. Fil /\ G e. Fil /\ X = Y) -> (F e. fBas /\ G e. fBas /\ X = Y))
5		fgid 10289	. . . . . 6 |- (F e. Fil -> (filGen` F) = F)
6	5	3ad2ant1 897	. . . . 5 |- ((F e. Fil /\ G e. Fil /\ X = Y) -> (filGen` F) = F)
7		fgid 10289	. . . . . 6 |- (G e. Fil -> (filGen` G) = G)
8	7	3ad2ant2 898	. . . . 5 |- ((F e. Fil /\ G e. Fil /\ X = Y) -> (filGen` G) = G)
9	6, 8	sseq12d 2646	. . . 4 |- ((F e. Fil /\ G e. Fil /\ X = Y) -> ((filGen` F) C_ (filGen` G) <-> F C_ G))
10	9	bibi1d 681	. . 3 |- ((F e. Fil /\ G e. Fil /\ X = Y) -> (((filGen` F) C_ (filGen` G) <-> A.x e. F E.y e. G y C_ x) <-> (F C_ G <-> A.x e. F E.y e. G y C_ x)))
11		fbfgss2.1	. . . 4 |- X = U.F
12		fbfgss2.2	. . . 4 |- Y = U.G
13	11, 12	fbfgss 10288	. . 3 |- ((F e. fBas /\ G e. fBas /\ X = Y) -> ((filGen` F) C_ (filGen` G) <-> A.x e. F E.y e. G y C_ x))
14	10, 13	syl5cbi 226	. 2 |- ((F e. fBas /\ G e. fBas /\ X = Y) -> ((F e. Fil /\ G e. Fil /\ X = Y) -> (F C_ G <-> A.x e. F E.y e. G y C_ x)))
15	4, 14	mpcom 60	1 |- ((F e. Fil /\ G e. Fil /\ X = Y) -> (F C_ G <-> A.x e. F E.y e. G y C_ x))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  fBascfbas 10257  filGencfg 10258  Filcfil 10264

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265

Copyright terms: Public domain