Theorem fbfgfmeq 10315

Description: The image filter of a filter base is the same as the image filter of its generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Nov-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
fbfgfmeq.1	|- Y = U.B
fbfgfmeq.2	|- L = (filGen` B)

Assertion

Ref	Expression
fbfgfmeq	|- ((X e. C /\ B e. fBas /\ F:Y-->X) -> ((X FilMap B)` F) = ((X FilMap L)` F))

Proof of Theorem fbfgfmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbfgfmeq.1	. . . 4 |- Y = U.B
2		fbfgfmeq.2	. . . 4 |- L = (filGen` B)
3	1, 2	elfilmap2 10313	. . 3 |- ((X e. C /\ B e. fBas /\ F:Y-->X) -> (x e. ((X FilMap B)` F) <-> (x C_ X /\ E.s e. L (F"s) C_ x)))
4		simp1 876	. . . 4 |- ((X e. C /\ B e. fBas /\ F:Y-->X) -> X e. C)
5		fgfil 10290	. . . . . . 7 |- (B e. fBas -> (filGen` B) e. Fil)
6	5, 2	syl5eqel 1975	. . . . . 6 |- (B e. fBas -> L e. Fil)
7		filfbas 10276	. . . . . 6 |- (L e. Fil -> L e. fBas)
8	6, 7	syl 12	. . . . 5 |- (B e. fBas -> L e. fBas)
9	8	3ad2ant2 898	. . . 4 |- ((X e. C /\ B e. fBas /\ F:Y-->X) -> L e. fBas)
10	1	fgbas 10286	. . . . . . 7 |- (B e. fBas -> Y = U.(filGen` B))
11	10	feq2d 4557	. . . . . 6 |- (B e. fBas -> (F:Y-->X <-> F:U.(filGen` B)-->X))
12	11	adantl 424	. . . . 5 |- ((X e. C /\ B e. fBas) -> (F:Y-->X <-> F:U.(filGen` B)-->X))
13	12	biimp3a 1194	. . . 4 |- ((X e. C /\ B e. fBas /\ F:Y-->X) -> F:U.(filGen` B)-->X)
14	2	unieqi 3187	. . . . . 6 |- U.L = U.(filGen` B)
15	14	eqcomi 1888	. . . . 5 |- U.(filGen` B) = U.L
16	15	elfilmap 10312	. . . 4 |- ((X e. C /\ L e. fBas /\ F:U.(filGen` B)-->X) -> (x e. ((X FilMap L)` F) <-> (x C_ X /\ E.s e. L (F"s) C_ x)))
17	4, 9, 13, 16	syl111anc 1100	. . 3 |- ((X e. C /\ B e. fBas /\ F:Y-->X) -> (x e. ((X FilMap L)` F) <-> (x C_ X /\ E.s e. L (F"s) C_ x)))
18	3, 17	bitr4d 590	. 2 |- ((X e. C /\ B e. fBas /\ F:Y-->X) -> (x e. ((X FilMap B)` F) <-> x e. ((X FilMap L)` F)))
19	18	eqrdv 1882	1 |- ((X e. C /\ B e. fBas /\ F:Y-->X) -> ((X FilMap B)` F) = ((X FilMap L)` F))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177  "cima 3989  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  fBascfbas 10257  filGencfg 10258  Filcfil 10264   FilMap cfilmap 10304

This theorem is referenced by:  cnpfillim4 14947  fmufil 15599  fcluscnp 15618

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-filmap 10306

Copyright terms: Public domain