MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbelss Structured version   Unicode version

Theorem fbelss 20062
Description: An element of the filter base is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbelss  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  X  e.  F )  ->  X  C_  B )

Proof of Theorem fbelss
StepHypRef Expression
1 fbsspw 20061 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  F  C_  ~P B )
21sselda 3497 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  X  e.  F )  ->  X  e.  ~P B )
32elpwid 4013 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  X  e.  F )  ->  X  C_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   ` cfv 5579   fBascfbas 18170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-fbas 18180
This theorem is referenced by:  fbdmn0  20063  filelss  20081  ssfg  20101  fgcl  20107  fbasrn  20113  fmfnfmlem4  20186  fmfnfm  20187  fmucnd  20523  cfilucfilOLD  20800  cfilucfil  20801  fmcfil  21439
  Copyright terms: Public domain W3C validator