Theorem fbaslim 10322

Description: A condition for a filter to converge to a point involving one of its bases. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
fbaslim.1	|- X = U.J
fbaslim.2	|- Y = U.B
fbaslim.3	|- F = (filGen` B)

Assertion

Ref	Expression
fbaslim	|- (((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) /\ A e. X) -> (A e. ((fLim1` J)` F) <-> A.o e. J (A e. o -> E.x e. B x C_ o)))

Distinct variable groups:   A,o   x,o,B   o,F   o,J   o,X   o,Y

Proof of Theorem fbaslim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fbaslim.1	. . . 4 |- X = U.J
2		eqid 1884	. . . 4 |- U.F = U.F
3	1, 2	flimopn 10321	. . 3 |- (((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = U.F) /\ A e. X) -> (A e. ((fLim1` J)` F) <-> A.o e. J (A e. o -> o e. F)))
4		simp1 876	. . . 4 |- ((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) -> J e. Top)
5		fgfil 10290	. . . . . 6 |- (B e. fBas -> (filGen` B) e. Fil)
6		fbaslim.3	. . . . . 6 |- F = (filGen` B)
7	5, 6	syl5eqel 1975	. . . . 5 |- (B e. fBas -> F e. Fil)
8	7	3ad2ant2 898	. . . 4 |- ((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) -> F e. Fil)
9		simp3 878	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) -> X = Y)
10		fbaslim.2	. . . . . . . 8 |- Y = U.B
11	10	fgbas 10286	. . . . . . 7 |- (B e. fBas -> Y = U.(filGen` B))
12	6	unieqi 3187	. . . . . . 7 |- U.F = U.(filGen` B)
13	11, 12	syl6eqr 1946	. . . . . 6 |- (B e. fBas -> Y = U.F)
14	13	3ad2ant2 898	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) -> Y = U.F)
15	9, 14	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) -> X = U.F)
16	4, 8, 15	3jca 1050	. . 3 |- ((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) -> (J e. Top /\ F e. Fil /\ X = U.F))
17	3, 16	sylan 497	. 2 |- (((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) /\ A e. X) -> (A e. ((fLim1` J)` F) <-> A.o e. J (A e. o -> o e. F)))
18	1	eltopss 8872	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ o e. J) -> o C_ X)
19	18	ex 402	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (o e. J -> o C_ X))
20	19	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) -> (o e. J -> o C_ X))
21	20	adantr 425	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) /\ A e. X) -> (o e. J -> o C_ X))
22		sseq2 2639	. . . . . . . . . . 11 |- (X = Y -> (o C_ X <-> o C_ Y))
23	22	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) -> (o C_ X <-> o C_ Y))
24	23	biimpa 460	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) /\ o C_ X) -> o C_ Y)
25	10	elfg 10284	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. fBas -> (o e. (filGen` B) <-> (o C_ Y /\ E.x e. B x C_ o)))
26	6	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . . 13 |- (o e. F <-> o e. (filGen` B))
27	25, 26	syl5bb 591	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. fBas -> (o e. F <-> (o C_ Y /\ E.x e. B x C_ o)))
28	27	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. fBas /\ o C_ Y) -> (o e. F <-> (o C_ Y /\ E.x e. B x C_ o)))
29		ibar 705	. . . . . . . . . . . 12 |- (o C_ Y -> (E.x e. B x C_ o <-> (o C_ Y /\ E.x e. B x C_ o)))
30	29	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. fBas /\ o C_ Y) -> (E.x e. B x C_ o <-> (o C_ Y /\ E.x e. B x C_ o)))
31	28, 30	bitr4d 590	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. fBas /\ o C_ Y) -> (o e. F <-> E.x e. B x C_ o))
32	31	3ad2antl2 1039	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) /\ o C_ Y) -> (o e. F <-> E.x e. B x C_ o))
33	24, 32	syldan 516	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) /\ o C_ X) -> (o e. F <-> E.x e. B x C_ o))
34	33	imbi2d 674	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) /\ o C_ X) -> ((A e. o -> o e. F) <-> (A e. o -> E.x e. B x C_ o)))
35	34	ex 402	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) -> (o C_ X -> ((A e. o -> o e. F) <-> (A e. o -> E.x e. B x C_ o))))
36	35	adantr 425	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) /\ A e. X) -> (o C_ X -> ((A e. o -> o e. F) <-> (A e. o -> E.x e. B x C_ o))))
37	21, 36	syld 30	. . . 4 |- (((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) /\ A e. X) -> (o e. J -> ((A e. o -> o e. F) <-> (A e. o -> E.x e. B x C_ o))))
38	37	pm5.74d 645	. . 3 |- (((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) /\ A e. X) -> ((o e. J -> (A e. o -> o e. F)) <-> (o e. J -> (A e. o -> E.x e. B x C_ o))))
39	38	ralbidv2 2125	. 2 |- (((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) /\ A e. X) -> (A.o e. J (A e. o -> o e. F) <-> A.o e. J (A e. o -> E.x e. B x C_ o)))
40	17, 39	bitrd 587	1 |- (((J e. Top /\ B e. fBas /\ X = Y) /\ A e. X) -> (A e. ((fLim1` J)` F) <-> A.o e. J (A e. o -> E.x e. B x C_ o)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  fBascfbas 10257  filGencfg 10258  Filcfil 10264  fLim1cflim1 10294

This theorem is referenced by:  fbaslim2 14936

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-nei 8989  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-flim1 10295

Copyright terms: Public domain