MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbasfip Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fbasfip 20895
Description: A filter base has the finite intersection property. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbasfip  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  F ) )

Proof of Theorem fbasfip
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3619 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P F  /\  y  e.  Fin ) )
2 elpwi 3962 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P F  -> 
y  C_  F )
32anim1i 572 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P F  /\  y  e.  Fin )  ->  ( y  C_  F  /\  y  e.  Fin ) )
41, 3sylbi 199 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )  ->  (
y  C_  F  /\  y  e.  Fin )
)
5 fbssint 20865 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  C_  F  /\  y  e. 
Fin )  ->  E. z  e.  F  z  C_  |^| y )
653expb 1210 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  (
y  C_  F  /\  y  e.  Fin )
)  ->  E. z  e.  F  z  C_  |^| y )
74, 6sylan2 477 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin ) )  ->  E. z  e.  F  z  C_  |^| y )
8 0nelfb 20858 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
98ad2antrr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  z  e.  F )  ->  -.  (/) 
e.  F )
10 eleq1 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( z  e.  F  <->  (/)  e.  F
) )
1110biimpcd 228 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  F  ->  (
z  =  (/)  ->  (/)  e.  F
) )
1211adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  z  e.  F )  ->  (
z  =  (/)  ->  (/)  e.  F
) )
139, 12mtod 181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  z  e.  F )  ->  -.  z  =  (/) )
14 ss0 3767 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  (/)  ->  z  =  (/) )
1513, 14nsyl 125 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  z  e.  F )  ->  -.  z  C_  (/) )
1615adantrr 724 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_ 
|^| y ) )  ->  -.  z  C_  (/) )
17 sseq2 3456 . . . . . . 7  |-  ( (/)  =  |^| y  ->  (
z  C_  (/)  <->  z  C_  |^| y ) )
1817biimprcd 229 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  |^| y  ->  ( (/)  =  |^| y  -> 
z  C_  (/) ) )
1918ad2antll 736 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_ 
|^| y ) )  ->  ( (/)  =  |^| y  ->  z  C_  (/) ) )
2016, 19mtod 181 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_ 
|^| y ) )  ->  -.  (/)  =  |^| y )
217, 20rexlimddv 2885 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin ) )  ->  -.  (/)  =  |^| y )
2221nrexdv 2845 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  E. y  e.  ( ~P F  i^i  Fin ) (/)  =  |^| y )
23 0ex 4538 . . 3  |-  (/)  e.  _V
24 elfi 7932 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  F  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( (/) 
e.  ( fi `  F )  <->  E. y  e.  ( ~P F  i^i  Fin ) (/)  =  |^| y ) )
2523, 24mpan 677 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( (/)  e.  ( fi `  F )  <->  E. y  e.  ( ~P F  i^i  Fin ) (/)  =  |^| y ) )
2622, 25mtbird 303 1  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   E.wrex 2740   _Vcvv 3047    i^i cin 3405    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953   |^|cint 4237   ` cfv 5585   Fincfn 7574   ficfi 7929   fBascfbas 18970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-fin 7578  df-fi 7930  df-fbas 18979
This theorem is referenced by:  fbunfip  20896
  Copyright terms: Public domain W3C validator