MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fargshiftfv Structured version   Unicode version

Theorem fargshiftfv 23536
Description: If a class is a function, then the values of the "shifted function" correspond to the function values of the class. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
fargshiftfv  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  ( X  e.  ( 0..^ N )  ->  ( G `  X )  =  ( F `  ( X  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, E    x, X
Allowed substitution hints:    G( x)    N( x)

Proof of Theorem fargshiftfv
StepHypRef Expression
1 ffn 5574 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... N ) )
2 fseq1hash 12154 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F  Fn  ( 1 ... N ) )  ->  ( # `  F
)  =  N )
3 oveq2 6114 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  ( # `  F
)  ->  ( 0..^ N )  =  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
43eqcoms 2446 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( 0..^ N )  =  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
54eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( X  e.  ( 0..^ N )  <->  X  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ) )
65biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( X  e.  ( 0..^ N )  ->  X  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
72, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F  Fn  ( 1 ... N ) )  ->  ( X  e.  ( 0..^ N )  ->  X  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
81, 7sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  ( X  e.  ( 0..^ N )  ->  X  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
98imp 429 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom 
E )  /\  X  e.  ( 0..^ N ) )  ->  X  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
10 fvex 5716 . . 3  |-  ( F `
 ( X  + 
1 ) )  e. 
_V
11 oveq1 6113 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  +  1 )  =  ( X  + 
1 ) )
1211fveq2d 5710 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  ( x  +  1 ) )  =  ( F `  ( X  +  1
) ) )
13 fargshift.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
1412, 13fvmptg 5787 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  ( F `  ( X  +  1 ) )  e.  _V )  -> 
( G `  X
)  =  ( F `
 ( X  + 
1 ) ) )
159, 10, 14sylancl 662 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom 
E )  /\  X  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( G `  X )  =  ( F `  ( X  +  1 ) ) )
1615ex 434 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  ( X  e.  ( 0..^ N )  ->  ( G `  X )  =  ( F `  ( X  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987    e. cmpt 4365   dom cdm 4855    Fn wfn 5428   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   0cc0 9297   1c1 9298    + caddc 9300   NN0cn0 10594   ...cfz 11452  ..^cfzo 11563   #chash 12118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-card 8124  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453  df-hash 12119
This theorem is referenced by:  fargshiftf1  23538  fargshiftfva  23540  eupatrl  23604
  Copyright terms: Public domain W3C validator