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Theorem fargshiftfo 23546
Description: If a function is onto, then also the shifted function is onto. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
fargshiftfo  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -onto-> dom 
E )
Distinct variable groups:    x, F    x, E    x, N
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem fargshiftfo
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fof 5641 . . 3  |-  ( F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... N ) --> dom 
E )
2 fargshift.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
32fargshiftf 23544 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E )
41, 3sylan2 474 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E )
52rnmpt 5106 . . . 4  |-  ran  G  =  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) }
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ran  G  =  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) } )
7 fofn 5643 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... N ) )
8 fnrnfv 5759 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  ( 1 ... N )  ->  ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `
 z ) } )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E  ->  ran  F  =  {
y  |  E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z ) } )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) } )
11 df-fo 5445 . . . . . . 7  |-  ( F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E  <->  ( F  Fn  ( 1 ... N )  /\  ran  F  =  dom  E
) )
1211biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E  ->  ( F  Fn  (
1 ... N )  /\  ran  F  =  dom  E
) )
1312adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ( F  Fn  ( 1 ... N
)  /\  ran  F  =  dom  E ) )
14 eqeq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
F  =  dom  E  ->  ( ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) }  <->  dom  E  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) } ) )
15 eqcom 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
E  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z ) }  <->  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) }  =  dom  E )
1614, 15syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
F  =  dom  E  ->  ( ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) }  <->  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `
 z ) }  =  dom  E ) )
17 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... N ) )
18 fseq1hash 12160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F  Fn  ( 1 ... N ) )  ->  ( # `  F
)  =  N )
1917, 18sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  ( # `  F
)  =  N )
201, 19sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ( # `  F
)  =  N )
21 fargshiftlem 23542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( x  +  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
22 nn0z 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
23 fzval3 11626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
25 nn0cn 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
26 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
2825, 27addcomd 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 1  +  N
) )
2928oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1..^ ( N  +  1 ) )  =  ( 1..^ ( 1  +  N ) ) )
3024, 29eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  =  ( 1..^ ( 1  +  N ) ) )
3130eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( z  e.  ( 1 ... N )  <->  z  e.  ( 1..^ ( 1  +  N ) ) ) )
3231biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  z  e.  ( 1..^ ( 1  +  N ) ) )
3322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
34 fzosubel3 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( 1..^ ( 1  +  N
) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
z  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
3532, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( z  - 
1 )  e.  ( 0..^ N ) )
36 elfzelz 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  ( 1 ... N )  ->  z  e.  ZZ )
3736zcnd 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( 1 ... N )  ->  z  e.  CC )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  z  e.  CC )
3926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  1  e.  CC )
4038, 39npcand 9744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( z  -  1 )  +  1 )  =  z )
4140eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  z  =  ( ( z  -  1 )  +  1 ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  ( z  -  1 ) )  ->  z  =  ( ( z  - 
1 )  +  1 ) )
43 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  1 ) )
4443eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
z  =  ( x  +  1 )  <->  z  =  ( ( z  - 
1 )  +  1 ) ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  ( z  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( x  + 
1 )  <->  z  =  ( ( z  - 
1 )  +  1 ) ) )
4642, 45mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  ( z  -  1 ) )  ->  z  =  ( x  +  1
) )
4746a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  ( z  -  1 ) )  ->  ( z  e.  ( 1 ... N
)  ->  z  =  ( x  +  1
) ) )
4835, 47rspcimedv 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( z  e.  ( 1 ... N
)  ->  E. x  e.  ( 0..^ N ) z  =  ( x  +  1 ) ) )
4948com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E. x  e.  ( 0..^ N ) z  =  ( x  + 
1 ) ) )
5049anabsi7 815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E. x  e.  ( 0..^ N ) z  =  ( x  + 
1 ) )
51 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( x  +  1
) ) )
5251eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y  =  ( F `
 z )  <->  y  =  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( y  =  ( F `  z
)  <->  y  =  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
5421, 50, 53rexxfrd 4528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  ( 0..^ N ) y  =  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  F )  =  N )  -> 
( E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  (
0..^ N ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) ) )
56 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ N ) )
5756rexeqdv 2945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) )  <->  E. x  e.  ( 0..^ N ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) ) )
5857bibi2d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( ( E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `
 z )  <->  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) )  <->  ( E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  ( 0..^ N ) y  =  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) ) ) )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  F )  =  N )  -> 
( ( E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  <->  ( E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  ( 0..^ N ) y  =  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) ) ) )
6055, 59mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  F )  =  N )  -> 
( E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) ) )
6120, 60syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ( E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) ) )
6261abbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `
 z ) }  =  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) } )
6362eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ( {
y  |  E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z ) }  =  dom  E  <->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) }  =  dom  E ) )
6463biimpcd 224 . . . . . . . 8  |-  ( { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z ) }  =  dom  E  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) -onto-> dom  E )  ->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) }  =  dom  E ) )
6516, 64syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( ran 
F  =  dom  E  ->  ( ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) }  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom 
E )  ->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) }  =  dom  E ) ) )
6665com23 78 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  =  dom  E  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) -onto-> dom  E )  -> 
( ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) }  ->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) }  =  dom  E ) ) )
6766adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ( 1 ... N )  /\  ran  F  =  dom  E
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ( ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `
 z ) }  ->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) }  =  dom  E ) ) )
6813, 67mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ( ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `
 z ) }  ->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) }  =  dom  E ) )
6910, 68mpd 15 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) }  =  dom  E )
706, 69eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ran  G  =  dom  E )
71 dffo2 5645 . 2  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -onto-> dom  E  <->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  ran  G  =  dom  E
) )
724, 70, 71sylanbrc 664 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -onto-> dom 
E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2737    e. cmpt 4371   dom cdm 4861   ran crn 4862    Fn wfn 5434   -->wf 5435   -onto->wfo 5437   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    - cmin 9616   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ...cfz 11458  ..^cfzo 11569   #chash 12124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-hash 12125
This theorem is referenced by:  eupatrl  23611
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