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Theorem fargshiftfo 23346
Description: If a function is onto, then also the shifted function is onto. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
fargshiftfo  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -onto-> dom 
E )
Distinct variable groups:    x, F    x, E    x, N
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem fargshiftfo
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fof 5608 . . 3  |-  ( F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E  ->  F : ( 1 ... N ) --> dom 
E )
2 fargshift.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
32fargshiftf 23344 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E )
41, 3sylan2 471 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E )
52rnmpt 5072 . . . 4  |-  ran  G  =  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) }
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ran  G  =  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) } )
7 fofn 5610 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... N ) )
8 fnrnfv 5726 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  ( 1 ... N )  ->  ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `
 z ) } )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E  ->  ran  F  =  {
y  |  E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z ) } )
109adantl 463 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) } )
11 df-fo 5412 . . . . . . 7  |-  ( F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E  <->  ( F  Fn  ( 1 ... N )  /\  ran  F  =  dom  E
) )
1211biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E  ->  ( F  Fn  (
1 ... N )  /\  ran  F  =  dom  E
) )
1312adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ( F  Fn  ( 1 ... N
)  /\  ran  F  =  dom  E ) )
14 eqeq1 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
F  =  dom  E  ->  ( ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) }  <->  dom  E  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) } ) )
15 eqcom 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
E  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z ) }  <->  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) }  =  dom  E )
1614, 15syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
F  =  dom  E  ->  ( ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) }  <->  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `
 z ) }  =  dom  E ) )
17 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... N ) )
18 fseq1hash 12122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F  Fn  ( 1 ... N ) )  ->  ( # `  F
)  =  N )
1917, 18sylan2 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  ( # `  F
)  =  N )
201, 19sylan2 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ( # `  F
)  =  N )
21 fargshiftlem 23342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( x  +  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
22 nn0z 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
23 fzval3 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
25 nn0cn 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
26 ax-1cn 9327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
2825, 27addcomd 9558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 1  +  N
) )
2928oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1..^ ( N  +  1 ) )  =  ( 1..^ ( 1  +  N ) ) )
3024, 29eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  =  ( 1..^ ( 1  +  N ) ) )
3130eleq2d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( z  e.  ( 1 ... N )  <->  z  e.  ( 1..^ ( 1  +  N ) ) ) )
3231biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  z  e.  ( 1..^ ( 1  +  N ) ) )
3322adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
34 fzosubel3 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( 1..^ ( 1  +  N
) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
z  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
3532, 33, 34syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( z  - 
1 )  e.  ( 0..^ N ) )
36 elfzelz 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  ( 1 ... N )  ->  z  e.  ZZ )
3736zcnd 10735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( 1 ... N )  ->  z  e.  CC )
3837adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  z  e.  CC )
3926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  1  e.  CC )
4038, 39npcand 9710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( z  -  1 )  +  1 )  =  z )
4140eqcomd 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  z  =  ( ( z  -  1 )  +  1 ) )
4241adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  ( z  -  1 ) )  ->  z  =  ( ( z  - 
1 )  +  1 ) )
43 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  1 ) )
4443eqeq2d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
z  =  ( x  +  1 )  <->  z  =  ( ( z  - 
1 )  +  1 ) ) )
4544adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  ( z  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( x  + 
1 )  <->  z  =  ( ( z  - 
1 )  +  1 ) ) )
4642, 45mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  ( z  -  1 ) )  ->  z  =  ( x  +  1
) )
4746a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  ( z  -  1 ) )  ->  ( z  e.  ( 1 ... N
)  ->  z  =  ( x  +  1
) ) )
4835, 47rspcimedv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( z  e.  ( 1 ... N
)  ->  E. x  e.  ( 0..^ N ) z  =  ( x  +  1 ) ) )
4948com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E. x  e.  ( 0..^ N ) z  =  ( x  + 
1 ) ) )
5049anabsi7 808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E. x  e.  ( 0..^ N ) z  =  ( x  + 
1 ) )
51 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( x  +  1
) ) )
5251eqeq2d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y  =  ( F `
 z )  <->  y  =  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
5352adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  =  ( x  +  1 ) )  ->  ( y  =  ( F `  z
)  <->  y  =  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
5421, 50, 53rexxfrd 4495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  ( 0..^ N ) y  =  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
5554adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  F )  =  N )  -> 
( E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  (
0..^ N ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) ) )
56 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ N ) )
5756rexeqdv 2914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) )  <->  E. x  e.  ( 0..^ N ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) ) )
5857bibi2d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( ( E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `
 z )  <->  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) )  <->  ( E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  ( 0..^ N ) y  =  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) ) ) )
5958adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  F )  =  N )  -> 
( ( E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  <->  ( E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  ( 0..^ N ) y  =  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) ) ) )
6055, 59mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  F )  =  N )  -> 
( E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) ) )
6120, 60syldan 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ( E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z )  <->  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) ) )
6261abbidv 2547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `
 z ) }  =  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) } )
6362eqeq1d 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ( {
y  |  E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z ) }  =  dom  E  <->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) }  =  dom  E ) )
6463biimpcd 224 . . . . . . . 8  |-  ( { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N
) y  =  ( F `  z ) }  =  dom  E  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) -onto-> dom  E )  ->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) }  =  dom  E ) )
6516, 64syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( ran 
F  =  dom  E  ->  ( ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) }  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom 
E )  ->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) }  =  dom  E ) ) )
6665com23 78 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  =  dom  E  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) -onto-> dom  E )  -> 
( ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `  z ) }  ->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) y  =  ( F `  ( x  +  1
) ) }  =  dom  E ) ) )
6766adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ( 1 ... N )  /\  ran  F  =  dom  E
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ( ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `
 z ) }  ->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) }  =  dom  E ) ) )
6813, 67mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ( ran  F  =  { y  |  E. z  e.  ( 1 ... N ) y  =  ( F `
 z ) }  ->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) }  =  dom  E ) )
6910, 68mpd 15 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  { y  |  E. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) y  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) }  =  dom  E )
706, 69eqtrd 2465 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  ran  G  =  dom  E )
71 dffo2 5612 . 2  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -onto-> dom  E  <->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  ran  G  =  dom  E
) )
724, 70, 71sylanbrc 657 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -onto-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -onto-> dom 
E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   {cab 2419   E.wrex 2706    e. cmpt 4338   dom cdm 4827   ran crn 4828    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -onto->wfo 5404   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    - cmin 9582   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ...cfz 11423  ..^cfzo 11531   #chash 12086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-hash 12087
This theorem is referenced by:  eupatrl  23411
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