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Theorem fargshiftf1 23474
Description: If a function is 1-1, then also the shifted function is 1-1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
fargshiftf1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
Distinct variable groups:    x, F    x, E
Allowed substitution hints:    G( x)    N( x)

Proof of Theorem fargshiftf1
Dummy variables  k 
l  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5601 . . 3  |-  ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 1 ... N ) --> dom 
E )
2 fargshift.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
32fargshiftf 23473 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E )
41, 3sylan2 474 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E )
5 ffn 5554 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... N ) )
6 fseq1hash 12131 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F  Fn  ( 1 ... N ) )  ->  ( # `  F
)  =  N )
75, 6sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  ( # `  F
)  =  N )
81, 7sylan2 474 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( # `  F
)  =  N )
9 eleq1 2498 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( (
# `  F )  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
10 oveq2 6094 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( 1 ... ( # `  F
) )  =  ( 1 ... N ) )
11 f1eq2 5597 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... ( # `  F ) )  =  ( 1 ... N
)  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
) )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
) )
139, 12anbi12d 710 . . . 4  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) -1-1-> dom  E ) ) )
14 dff13 5966 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) ) )
15 fargshiftlem 23471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
16 fargshiftlem 23471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
1715, 16anim12dan 833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( (
y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )
18 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) )
1918eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( F `
 l )  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  l ) ) )
20 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
k  =  l  <->  ( y  +  1 )  =  l ) )
2119, 20imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l )  <->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  l
)  ->  ( y  +  1 )  =  l ) ) )
22 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  ( F `  l )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) )
2322eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  (
( F `  (
y  +  1 ) )  =  ( F `
 l )  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
24 eqeq2 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  l  <->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )
2523, 24imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  (
( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  l )  ->  ( y  +  1 )  =  l )  <->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) ) )
2621, 25rspc2v 3074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) ) )
282fargshiftfv 23472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( F `
 ( y  +  1 ) ) ) )
2928expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
3029com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
3231impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( G `  y
)  =  ( F `
 ( y  +  1 ) ) ) )
3332impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) )
342fargshiftfv 23472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) )
3534expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) )
3635com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) )
3837impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( G `  z
)  =  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) )
4033, 39eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  (
( G `  y
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  /\  (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <-> 
( F `  (
y  +  1 ) )  =  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) )
43 elfzoelz 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ZZ )
4443zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  CC )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  y  e.  CC )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  y  e.  CC )
47 elfzoelz 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  z  e.  ZZ )
4847zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  z  e.  CC )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  z  e.  CC )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  z  e.  CC )
51 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  1  e.  CC )
5346, 50, 523jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  (
y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
56 addcan2 9546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( y  +  1 )  =  ( z  +  1 )  <->  y  =  z ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 )  <->  y  =  z ) )
5857imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )  <->  ( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  y  =  z ) ) )
5958biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  /\  (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )  -> 
( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  y  =  z ) )
6042, 59sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  /\  (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) )
6227, 61syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
6362exp31 604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) ) ) )
6463com24 87 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) ) ) )
6564imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
6665com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  (
( G `  y
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y  =  z ) ) ) )
6717, 66mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
6867expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  (
( G `  y
)  =  ( G `
 z )  -> 
y  =  z ) ) ) )
6968com13 80 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
7069ralrimdvv 2805 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( G `  y
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 z )  -> 
y  =  z ) ) )
7114, 70sylbi 195 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( G `  y
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 z )  -> 
y  =  z ) ) )
7271impcom 430 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
7313, 72syl6bir 229 . . 3  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) )
748, 73mpcom 36 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
75 dff13 5966 . 2  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( G `  y
)  =  ( G `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
764, 74, 75sylanbrc 664 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    e. cmpt 4345   dom cdm 4835    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277   NN0cn0 10571   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540   #chash 12095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096
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