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Theorem fargshiftf1 24313
Description: If a function is 1-1, then also the shifted function is 1-1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
fargshiftf1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
Distinct variable groups:    x, F    x, E
Allowed substitution hints:    G( x)    N( x)

Proof of Theorem fargshiftf1
Dummy variables  k 
l  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5779 . . 3  |-  ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 1 ... N ) --> dom 
E )
2 fargshift.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
32fargshiftf 24312 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E )
41, 3sylan2 474 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E )
5 ffn 5729 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... N ) )
6 fseq1hash 12408 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F  Fn  ( 1 ... N ) )  ->  ( # `  F
)  =  N )
75, 6sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  ( # `  F
)  =  N )
81, 7sylan2 474 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( # `  F
)  =  N )
9 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( (
# `  F )  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
10 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( 1 ... ( # `  F
) )  =  ( 1 ... N ) )
11 f1eq2 5775 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... ( # `  F ) )  =  ( 1 ... N
)  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
) )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
) )
139, 12anbi12d 710 . . . 4  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) -1-1-> dom  E ) ) )
14 dff13 6152 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) ) )
15 fargshiftlem 24310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
16 fargshiftlem 24310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
1715, 16anim12dan 835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( (
y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )
18 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) )
1918eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( F `
 l )  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  l ) ) )
20 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
k  =  l  <->  ( y  +  1 )  =  l ) )
2119, 20imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l )  <->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  l
)  ->  ( y  +  1 )  =  l ) ) )
22 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  ( F `  l )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) )
2322eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  (
( F `  (
y  +  1 ) )  =  ( F `
 l )  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
24 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  l  <->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )
2523, 24imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  (
( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  l )  ->  ( y  +  1 )  =  l )  <->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) ) )
2621, 25rspc2v 3223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) ) )
282fargshiftfv 24311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( F `
 ( y  +  1 ) ) ) )
2928expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
3029com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
3231impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( G `  y
)  =  ( F `
 ( y  +  1 ) ) ) )
3332impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) )
342fargshiftfv 24311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) )
3534expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) )
3635com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) )
3837impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( G `  z
)  =  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) )
4033, 39eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  (
( G `  y
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  /\  (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <-> 
( F `  (
y  +  1 ) )  =  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) )
43 elfzoelz 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ZZ )
4443zcnd 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  CC )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  y  e.  CC )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  y  e.  CC )
47 elfzoelz 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  z  e.  ZZ )
4847zcnd 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  z  e.  CC )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  z  e.  CC )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  z  e.  CC )
51 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  1  e.  CC )
5346, 50, 523jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  (
y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
56 addcan2 9760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( y  +  1 )  =  ( z  +  1 )  <->  y  =  z ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 )  <->  y  =  z ) )
5857imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )  <->  ( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  y  =  z ) ) )
5958biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  /\  (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )  -> 
( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  y  =  z ) )
6042, 59sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  /\  (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) )
6227, 61syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
6362exp31 604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) ) ) )
6463com24 87 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) ) ) )
6564imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
6665com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  (
( G `  y
)  =  ( G `
 z )  -> 
y  =  z ) ) ) )
6717, 66mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
6867expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  (
( G `  y
)  =  ( G `
 z )  -> 
y  =  z ) ) ) )
6968com13 80 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
7069ralrimdvv 2887 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( G `  y
)  =  ( G `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
7114, 70sylbi 195 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( G `  y
)  =  ( G `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
7271impcom 430 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
7313, 72syl6bir 229 . . 3  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) )
748, 73mpcom 36 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
75 dff13 6152 . 2  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( G `  y
)  =  ( G `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
764, 74, 75sylanbrc 664 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491   NN0cn0 10791   ...cfz 11668  ..^cfzo 11788   #chash 12369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12370
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