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Theorem fargshiftf1 21577
Description: If a function is 1-1, then also the shifted function is 1-1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
fargshiftf1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
Distinct variable groups:    x, F    x, E
Allowed substitution hints:    G( x)    N( x)

Proof of Theorem fargshiftf1
Dummy variables  k 
l  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5598 . . 3  |-  ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 1 ... N ) --> dom 
E )
2 fargshift.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
32fargshiftf 21576 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E )
41, 3sylan2 461 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E )
5 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... N ) )
6 fseq1hash 11605 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F  Fn  ( 1 ... N ) )  ->  ( # `  F
)  =  N )
75, 6sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  ( # `  F
)  =  N )
81, 7sylan2 461 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( # `  F
)  =  N )
9 eleq1 2464 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( (
# `  F )  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
10 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( 1 ... ( # `  F
) )  =  ( 1 ... N ) )
11 f1eq2 5594 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... ( # `  F ) )  =  ( 1 ... N
)  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
) )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
) )
139, 12anbi12d 692 . . . 4  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) -1-1-> dom  E ) ) )
14 dff13 5963 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) ) )
15 fargshiftlem 21574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
16 fargshiftlem 21574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
1715, 16anim12dan 811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( (
y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )
18 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) )
1918eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( F `
 l )  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  l ) ) )
20 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
k  =  l  <->  ( y  +  1 )  =  l ) )
2119, 20imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l )  <->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  l
)  ->  ( y  +  1 )  =  l ) ) )
22 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  ( F `  l )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) )
2322eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  (
( F `  (
y  +  1 ) )  =  ( F `
 l )  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
24 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  l  <->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )
2523, 24imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  (
( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  l )  ->  ( y  +  1 )  =  l )  <->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) ) )
2621, 25rspc2v 3018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) ) )
2726adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) ) )
282fargshiftfv 21575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( F `
 ( y  +  1 ) ) ) )
2928expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
3029com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
3130adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
3231impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( G `  y
)  =  ( F `
 ( y  +  1 ) ) ) )
3332impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) )
342fargshiftfv 21575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) )
3534expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) )
3635com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) )
3736adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) )
3837impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( G `  z
)  =  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) )
3938impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) )
4033, 39eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  (
( G `  y
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  /\  (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <-> 
( F `  (
y  +  1 ) )  =  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) )
43 elfzoelz 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ZZ )
4443zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  CC )
4544adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  y  e.  CC )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  y  e.  CC )
47 elfzoelz 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  z  e.  ZZ )
4847zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  z  e.  CC )
4948adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  z  e.  CC )
5049adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  z  e.  CC )
51 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  1  e.  CC )
5346, 50, 523jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
5453adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  (
y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
5554adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
56 addcan2 9207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( y  +  1 )  =  ( z  +  1 )  <->  y  =  z ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 )  <->  y  =  z ) )
5857imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )  <->  ( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  y  =  z ) ) )
5958biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  /\  (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )  -> 
( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  y  =  z ) )
6042, 59sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  /\  (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
6160ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) )
6227, 61syld 42 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
6362exp31 588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) ) ) )
6463com24 83 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) ) ) )
6564imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
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) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
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6665com13 76 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
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( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
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z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
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( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
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 F ) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  (
( G `  y
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y  =  z ) ) ) )
6717, 66mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
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6867expcom 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
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( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
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 F ) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  (
( G `  y
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y  =  z ) ) ) )
6968com13 76 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
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) ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
7069ralrimdvv 2760 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
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y  =  z ) ) )
7114, 70sylbi 188 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( G `  y
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y  =  z ) ) )
7271impcom 420 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F
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7313, 72syl6bir 221 . . 3  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F
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748, 73mpcom 34 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
75 dff13 5963 . 2  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( G `  y
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 z )  -> 
y  =  z ) ) )
764, 74, 75sylanbrc 646 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    e. cmpt 4226   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949   NN0cn0 10177   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   #chash 11573
This theorem is referenced by:  eupatrl  21643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574
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