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Theorem fargshiftf1 24506
Description: If a function is 1-1, then also the shifted function is 1-1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
fargshiftf1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
Distinct variable groups:    x, F    x, E
Allowed substitution hints:    G( x)    N( x)

Proof of Theorem fargshiftf1
Dummy variables  k 
l  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5768 . . 3  |-  ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 1 ... N ) --> dom 
E )
2 fargshift.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  |->  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
32fargshiftf 24505 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E )
41, 3sylan2 474 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) --> dom 
E )
5 ffn 5718 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> dom  E  ->  F  Fn  ( 1 ... N ) )
6 fseq1hash 12420 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F  Fn  ( 1 ... N ) )  ->  ( # `  F
)  =  N )
75, 6sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> dom  E
)  ->  ( # `  F
)  =  N )
81, 7sylan2 474 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( # `  F
)  =  N )
9 eleq1 2513 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( (
# `  F )  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
10 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( 1 ... ( # `  F
) )  =  ( 1 ... N ) )
11 f1eq2 5764 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... ( # `  F ) )  =  ( 1 ... N
)  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
) )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
) )
139, 12anbi12d 710 . . . 4  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) -1-1-> dom  E ) ) )
14 dff13 6148 . . . . . 6  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) ) )
15 fargshiftlem 24503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
16 fargshiftlem 24503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
1715, 16anim12dan 835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( (
y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )
18 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) )
1918eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( F `
 l )  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  l ) ) )
20 eqeq1 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
k  =  l  <->  ( y  +  1 )  =  l ) )
2119, 20imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l )  <->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  l
)  ->  ( y  +  1 )  =  l ) ) )
22 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  ( F `  l )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) )
2322eqeq2d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  (
( F `  (
y  +  1 ) )  =  ( F `
 l )  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
24 eqeq2 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  (
( y  +  1 )  =  l  <->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )
2523, 24imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  ( z  +  1 )  ->  (
( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  l )  ->  ( y  +  1 )  =  l )  <->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) ) )
2621, 25rspc2v 3203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) ) )
282fargshiftfv 24504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( F `
 ( y  +  1 ) ) ) )
2928expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
3029com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
3231impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( G `  y
)  =  ( F `
 ( y  +  1 ) ) ) )
3332impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  =  ( F `  ( y  +  1 ) ) )
342fargshiftfv 24504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E
)  ->  ( z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) )
3534expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) )
3635com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) )
3837impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( G `  z
)  =  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  ( G `  z )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) )
4033, 39eqeq12d 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  (
( G `  y
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  <->  ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  /\  (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <-> 
( F `  (
y  +  1 ) )  =  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) )
43 elfzoelz 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  ZZ )
4443zcnd 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  y  e.  CC )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  y  e.  CC )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  y  e.  CC )
47 elfzoelz 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  z  e.  ZZ )
4847zcnd 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  z  e.  CC )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  z  e.  CC )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  z  e.  CC )
51 1cnd 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  1  e.  CC )
5246, 50, 513jca 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  ->  (
y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
55 addcan2 9765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( y  +  1 )  =  ( z  +  1 )  <->  y  =  z ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 )  <->  y  =  z ) )
5756imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )  <->  ( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  y  =  z ) ) )
5857biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  /\  (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )  -> 
( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  y  =  z ) )
5942, 58sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  (
( # `  F )  e.  NN0  /\  (
y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )  /\  (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( y  +  1 ) )  =  ( F `  (
z  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
6059ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( y  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) )
6127, 60syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 1 ... ( # `  F ) ) --> dom 
E  /\  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )  /\  ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
6261exp31 604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) ) ) )
6362com24 87 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) ( ( F `  k
)  =  ( F `
 l )  -> 
k  =  l )  ->  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) ) ) )
6463imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( ( ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
6564com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( (
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  /\  (
z  +  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  (
( G `  y
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y  =  z ) ) ) )
6617, 65mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )  ->  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
6766expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( ( F :
( 1 ... ( # `
 F ) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `
 F ) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  (
( G `  y
)  =  ( G `
 z )  -> 
y  =  z ) ) ) )
6867com13 80 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( ( y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  /\  z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
6968ralrimdvv 2864 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( # `  F ) ) A. l  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) ( ( F `  k )  =  ( F `  l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( G `  y
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 z )  -> 
y  =  z ) ) )
7014, 69sylbi 195 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( G `  y
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 z )  -> 
y  =  z ) ) )
7170impcom 430 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
7213, 71syl6bir 229 . . 3  |-  ( (
# `  F )  =  N  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) ) )
738, 72mpcom 36 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
74 dff13 6148 . 2  |-  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  ( G : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  /\  A. y  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) A. z  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( ( G `  y
)  =  ( G `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
754, 73, 74sylanbrc 664 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) -1-1-> dom  E
)  ->  G :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791    |-> cmpt 4492   dom cdm 4986    Fn wfn 5570   -->wf 5571   -1-1->wf1 5572   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495   NN0cn0 10798   ...cfz 11678  ..^cfzo 11800   #chash 12381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-hash 12382
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