MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallrisefac Structured version   Unicode version

Theorem fallrisefac 13970
Description: A relationship between falling and rising factorials. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallrisefac  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( X FallFac  N )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u X RiseFac  N ) ) )

Proof of Theorem fallrisefac
StepHypRef Expression
1 nn0cn 10846 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
212timesd 10822 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N
) )
32oveq2d 6294 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) ) )
4 nn0z 10928 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
5 m1expeven 12257 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  1 )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  1 )
7 neg1cn 10680 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
8 expadd 12252 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ ( N  +  N )
)  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) ) )
97, 8mp3an1 1313 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ ( N  +  N )
)  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) ) )
109anidms 643 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
113, 6, 103eqtr3rd 2452 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  =  1 )
1211adantl 464 . . . 4  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ N ) )  =  1 )
13 negneg 9905 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  -u -u X  =  X )
1413adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  -u -u X  =  X
)
1514oveq1d 6293 . . . 4  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -u -u X FallFac  N )  =  ( X FallFac  N
) )
1612, 15oveq12d 6296 . . 3  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( -u -u X FallFac  N ) )  =  ( 1  x.  ( X FallFac  N ) ) )
17 expcl 12228 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
187, 17mpan 668 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ N )  e.  CC )
1918adantl 464 . . . 4  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ N
)  e.  CC )
20 negcl 9856 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  -u X  e.  CC )
2120negcld 9954 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  -u -u X  e.  CC )
22 fallfaccl 13961 . . . . 5  |-  ( (
-u -u X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u -u X FallFac  N )  e.  CC )
2321, 22sylan 469 . . . 4  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -u -u X FallFac  N )  e.  CC )
2419, 19, 23mulassd 9649 . . 3  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( -u -u X FallFac  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u -u X FallFac  N ) ) ) )
25 fallfaccl 13961 . . . 4  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( X FallFac  N )  e.  CC )
2625mulid2d 9644 . . 3  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  x.  ( X FallFac  N ) )  =  ( X FallFac  N )
)
2716, 24, 263eqtr3rd 2452 . 2  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( X FallFac  N )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u -u X FallFac  N ) ) ) )
28 risefallfac 13969 . . . 4  |-  ( (
-u X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u X RiseFac  N
)  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u -u X FallFac  N ) ) )
2920, 28sylan 469 . . 3  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -u X RiseFac  N )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u -u X FallFac  N ) ) )
3029oveq2d 6294 . 2  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u X RiseFac  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u -u X FallFac  N ) ) ) )
3127, 30eqtr4d 2446 1  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( X FallFac  N )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u X RiseFac  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6278   CCcc 9520   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   -ucneg 9842   2c2 10626   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ^cexp 12210   FallFac cfallfac 13949   RiseFac crisefac 13950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-prod 13865  df-risefac 13951  df-fallfac 13952
This theorem is referenced by:  fallfac0  13973
  Copyright terms: Public domain W3C validator