MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacval3 Structured version   Unicode version

Theorem fallfacval3 14032
Description: A product representation of falling factorial when  A is a nonnegative integer. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  ( A FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) ) ... A ) k )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem fallfacval3
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz3nn0 11875 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  A  e.  NN0 )
21nn0cnd 10916 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  A  e.  CC )
3 elfznn0 11874 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  N  e.  NN0 )
4 fallfacval 14029 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  N )  =  prod_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  j
) )
52, 3, 4syl2anc 665 . 2  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  ( A FallFac  N )  =  prod_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  j ) )
6 elfzel2 11785 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  A  e.  ZZ )
7 elfzel1 11786 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  0  e.  ZZ )
8 elfzelz 11787 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  N  e.  ZZ )
9 peano2zm 10969 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
11 elfzelz 11787 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
1211zcnd 11030 . . . 4  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  CC )
13 subcl 9863 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( A  -  j
)  e.  CC )
142, 12, 13syl2an 479 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... A )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( A  -  j )  e.  CC )
15 oveq2 6304 . . 3  |-  ( j  =  ( A  -  k )  ->  ( A  -  j )  =  ( A  -  ( A  -  k
) ) )
166, 7, 10, 14, 15fprodrev 13998 . 2  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  j )  = 
prod_ k  e.  (
( A  -  ( N  -  1 ) ) ... ( A  -  0 ) ) ( A  -  ( A  -  k )
) )
172subid1d 9964 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  ( A  -  0 )  =  A )
1817oveq2d 6312 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  (
( A  -  ( N  -  1 ) ) ... ( A  -  0 ) )  =  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) ) ... A ) )
192adantr 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... A )  /\  k  e.  ( ( A  -  ( N  -  1 ) ) ... ( A  - 
0 ) ) )  ->  A  e.  CC )
20 elfzelz 11787 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) ) ... ( A  -  0 ) )  ->  k  e.  ZZ )
2120zcnd 11030 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) ) ... ( A  -  0 ) )  ->  k  e.  CC )
2221adantl 467 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... A )  /\  k  e.  ( ( A  -  ( N  -  1 ) ) ... ( A  - 
0 ) ) )  ->  k  e.  CC )
2319, 22nncand 9980 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... A )  /\  k  e.  ( ( A  -  ( N  -  1 ) ) ... ( A  - 
0 ) ) )  ->  ( A  -  ( A  -  k
) )  =  k )
2418, 23prodeq12dv 13947 . 2  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  prod_ k  e.  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) ) ... ( A  -  0 ) ) ( A  -  ( A  -  k ) )  = 
prod_ k  e.  (
( A  -  ( N  -  1 ) ) ... A ) k )
255, 16, 243eqtrd 2465 1  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  ( A FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) ) ... A ) k )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867  (class class class)co 6296   CCcc 9526   0cc0 9528   1c1 9529    - cmin 9849   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ...cfz 11771   prod_cprod 13926   FallFac cfallfac 14024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519  df-prod 13927  df-fallfac 14027
This theorem is referenced by:  fallfacval4  14063
  Copyright terms: Public domain W3C validator