Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fallfacval3 Structured version   Unicode version

Theorem fallfacval3 28987
Description: A product representation of falling factorial when  A is a nonnegative integer. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  ( A FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) ) ... A ) k )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem fallfacval3
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz3nn0 11772 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  A  e.  NN0 )
21nn0cnd 10855 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  A  e.  CC )
3 elfznn0 11771 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  N  e.  NN0 )
4 fallfacval 28984 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  N )  =  prod_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  j
) )
52, 3, 4syl2anc 661 . 2  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  ( A FallFac  N )  =  prod_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  j ) )
6 elfzel2 11687 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  A  e.  ZZ )
7 elfzel1 11688 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  0  e.  ZZ )
8 elfzelz 11689 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  N  e.  ZZ )
9 peano2zm 10907 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
11 elfzelz 11689 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
1211zcnd 10968 . . . 4  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  CC )
13 subcl 9820 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( A  -  j
)  e.  CC )
142, 12, 13syl2an 477 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... A )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( A  -  j )  e.  CC )
15 oveq2 6293 . . 3  |-  ( j  =  ( A  -  k )  ->  ( A  -  j )  =  ( A  -  ( A  -  k
) ) )
166, 7, 10, 14, 15fprodrev 28960 . 2  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  prod_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  j )  = 
prod_ k  e.  (
( A  -  ( N  -  1 ) ) ... ( A  -  0 ) ) ( A  -  ( A  -  k )
) )
172subid1d 9920 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  ( A  -  0 )  =  A )
1817oveq2d 6301 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  (
( A  -  ( N  -  1 ) ) ... ( A  -  0 ) )  =  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) ) ... A ) )
192adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... A )  /\  k  e.  ( ( A  -  ( N  -  1 ) ) ... ( A  - 
0 ) ) )  ->  A  e.  CC )
20 elfzelz 11689 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) ) ... ( A  -  0 ) )  ->  k  e.  ZZ )
2120zcnd 10968 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) ) ... ( A  -  0 ) )  ->  k  e.  CC )
2221adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... A )  /\  k  e.  ( ( A  -  ( N  -  1 ) ) ... ( A  - 
0 ) ) )  ->  k  e.  CC )
2319, 22nncand 9936 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... A )  /\  k  e.  ( ( A  -  ( N  -  1 ) ) ... ( A  - 
0 ) ) )  ->  ( A  -  ( A  -  k
) )  =  k )
2418, 23prodeq12dv 28911 . 2  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  prod_ k  e.  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) ) ... ( A  -  0 ) ) ( A  -  ( A  -  k ) )  = 
prod_ k  e.  (
( A  -  ( N  -  1 ) ) ... A ) k )
255, 16, 243eqtrd 2512 1  |-  ( N  e.  ( 0 ... A )  ->  ( A FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) ) ... A ) k )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493   1c1 9494    - cmin 9806   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ...cfz 11673   prod_cprod 28890   FallFac cfallfac 28979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-prod 28891  df-fallfac 28982
This theorem is referenced by:  fallfacval4  29018
  Copyright terms: Public domain W3C validator