Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fallfacval2 Structured version   Unicode version

Theorem fallfacval2 29339
Description: One-based value of falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  -  (
k  -  1 ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem fallfacval2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fallfacval 29337 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  N )  =  prod_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  n
) )
2 1zzd 10834 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  ZZ )
3 0zd 10815 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  e.  ZZ )
4 nn0z 10826 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
5 peano2zm 10846 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
76adantl 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  -  1 )  e.  ZZ )
8 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
9 elfznn0 11715 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
109nn0cnd 10793 . . . 4  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  CC )
11 subcl 9754 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( A  -  n
)  e.  CC )
128, 10, 11syl2an 475 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( A  -  n )  e.  CC )
13 oveq2 6226 . . 3  |-  ( n  =  ( k  - 
1 )  ->  ( A  -  n )  =  ( A  -  ( k  -  1 ) ) )
142, 3, 7, 12, 13fprodshft 13805 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  prod_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( A  -  n )  =  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) ) )
15 0p1e1 10586 . . . . 5  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  +  1 )  =  1 )
17 nn0cn 10744 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
18 1cnd 9545 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
1917, 18npcand 9870 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
2019adantl 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2116, 20oveq12d 6236 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  +  1 ) ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... N ) )
2221prodeq1d 13753 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) ( A  -  ( k  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  -  (
k  -  1 ) ) )
231, 14, 223eqtrd 2441 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  -  (
k  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836  (class class class)co 6218   CCcc 9423   0cc0 9425   1c1 9426    + caddc 9428    - cmin 9740   NN0cn0 10734   ZZcz 10803   ...cfz 11615   prod_cprod 13737   FallFac cfallfac 29332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-sup 7838  df-oi 7872  df-card 8255  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-rp 11162  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-seq 12034  df-exp 12093  df-hash 12331  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-clim 13336  df-prod 13738  df-fallfac 29335
This theorem is referenced by:  risefallfac  29352  fallfacfwd  29364
  Copyright terms: Public domain W3C validator