Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fallfacp1 Structured version   Unicode version

Theorem fallfacp1 27669
Description: The value of the falling factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacp1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  ( N  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac  N )  x.  ( A  -  N )
) )

Proof of Theorem fallfacp1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 10692 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
21adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
3 ax-1cn 9443 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
52, 4pncand 9823 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
65oveq2d 6208 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
76prodeq1d 27570 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( A  -  k )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... N ) ( A  -  k
) )
8 elnn0uz 11001 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
98biimpi 194 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
11 elfznn0 11584 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
1211nn0cnd 10741 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
13 subcl 9712 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  -  k
)  e.  CC )
1412, 13sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( A  -  k )  e.  CC )
1514adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( A  -  k )  e.  CC )
16 oveq2 6200 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  ( A  -  k )  =  ( A  -  N ) )
1710, 15, 16fprodm1 27613 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... N ) ( A  -  k )  =  ( prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  k )  x.  ( A  -  N )
) )
187, 17eqtrd 2492 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( A  -  k )  =  ( prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  k )  x.  ( A  -  N )
) )
19 peano2nn0 10723 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
20 fallfacval 27648 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  +  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( A  -  k
) )
2119, 20sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  ( N  +  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( A  -  k
) )
22 fallfacval 27648 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  k
) )
2322oveq1d 6207 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A FallFac  N
)  x.  ( A  -  N ) )  =  ( prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  k )  x.  ( A  -  N )
) )
2418, 21, 233eqtr4d 2502 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  ( N  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac  N )  x.  ( A  -  N )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388    x. cmul 9390    - cmin 9698   NN0cn0 10682   ZZ>=cuz 10964   ...cfz 11540   prod_cprod 27554   FallFac cfallfac 27643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-prod 27555  df-fallfac 27646
This theorem is referenced by:  fallfacp1d  27671  fallfac1  27673  fallfacfwd  27675  binomfallfaclem2  27679
  Copyright terms: Public domain W3C validator