Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fallfacfwd Structured version   Unicode version

Theorem fallfacfwd 27468
Description: The forward difference of a falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacfwd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 ) FallFac  N
)  -  ( A FallFac  N ) )  =  ( N  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )

Proof of Theorem fallfacfwd
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2cn 9537 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
2 nnnn0 10582 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 fallfacval 27441 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  + 
1 ) FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A  + 
1 )  -  k
) )
41, 2, 3syl2an 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 ) FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A  + 
1 )  -  k
) )
5 0p1e1 10429 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
65oveq1i 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
76prodeq1i 27360 . . . . . . 7  |-  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  - 
1 ) )
87oveq2i 6101 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  -u 1
)  x.  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( A  -  -u 1 )  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  - 
1 ) ) )
9 nnm1nn0 10617 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
109adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
11 nn0uz 10891 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1210, 11syl6eleq 2531 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
13 simpll 748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
14 elfzelz 11449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
1514adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
16 peano2zm 10684 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ZZ )
1817zcnd 10744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  CC )
1913, 18subcld 9715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  -  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
20 oveq1 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
21 df-neg 9594 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
2220, 21syl6eqr 2491 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  -u 1 )
2322oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( A  -  ( k  -  1 ) )  =  ( A  -  -u 1 ) )
2412, 19, 23fprod1p 27407 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) )  =  ( ( A  -  -u 1
)  x.  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  -  1 ) ) ) )
25 fallfacval2 27443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) ) )
269, 25sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) ) )
2726oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  -u 1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A  -  -u 1 )  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  - 
1 ) ) ) )
288, 24, 273eqtr4a 2499 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) )  =  ( ( A  -  -u 1
)  x.  ( A FallFac 
( N  -  1 ) ) ) )
29 elfznn0 11477 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
3029adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
32 ax-1cn 9336 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
3413, 31, 33subsub3d 9745 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  -  ( k  - 
1 ) )  =  ( ( A  + 
1 )  -  k
) )
3534prodeq2dv 27365 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A  +  1 )  -  k ) )
36 simpl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
3732a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
3836, 37subnegd 9722 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  -u 1
)  =  ( A  +  1 ) )
3938oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  -u 1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A  + 
1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
4028, 35, 393eqtr3d 2481 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A  + 
1 )  -  k
)  =  ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
414, 40eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 ) FallFac  N )  =  ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
42 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
4342nncnd 10334 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
4443, 37npcand 9719 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4544oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( A FallFac  N
) )
46 fallfacp1 27462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )
479, 46sylan2 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )
4845, 47eqtr3d 2475 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  N )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )
4941, 48oveq12d 6108 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 ) FallFac  N
)  -  ( A FallFac  N ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A FallFac  ( N  - 
1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) ) )
50 fallfaccl 27448 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
519, 50sylan2 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
5210nn0cnd 10634 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
5336, 52subcld 9715 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
5451, 53mulcomd 9403 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  x.  ( A  -  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
5554oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A FallFac  ( N  - 
1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A  -  ( N  -  1 ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) ) )
561adantr 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
5756, 53, 51subdird 9797 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  -  ( A  -  ( N  -  1 ) ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A  -  ( N  -  1 ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) ) )
5836, 37, 52pnncand 9754 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  ( A  -  ( N  -  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( N  - 
1 ) ) )
5937, 43pncan3d 9718 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  =  N )
6058, 59eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  ( A  -  ( N  -  1 ) ) )  =  N )
6160oveq1d 6105 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  -  ( A  -  ( N  -  1 ) ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  =  ( N  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
6255, 57, 613eqtr2d 2479 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A FallFac  ( N  - 
1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
6349, 62eqtrd 2473 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 ) FallFac  N
)  -  ( A FallFac  N ) )  =  ( N  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    - cmin 9591   -ucneg 9592   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   prod_cprod 27347   FallFac cfallfac 27436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-prod 27348  df-fallfac 27439
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator