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Theorem fallfacfwd 25303
Description: The forward difference of a falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacfwd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 ) FallFac  N
)  -  ( A FallFac  N ) )  =  ( N  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )

Proof of Theorem fallfacfwd
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2cn 9194 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
2 nnnn0 10184 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 fallfacval 25278 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  + 
1 ) FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A  + 
1 )  -  k
) )
41, 2, 3syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 ) FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A  + 
1 )  -  k
) )
5 0p1e1 10049 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
65oveq1i 6050 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
76prodeq1i 25197 . . . . . . 7  |-  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  - 
1 ) )
87oveq2i 6051 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  -u 1
)  x.  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( A  -  -u 1 )  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  - 
1 ) ) )
9 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
109adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
11 nn0uz 10476 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1210, 11syl6eleq 2494 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
13 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
14 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
1514adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
16 peano2zm 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ZZ )
1817zcnd 10332 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  CC )
1913, 18subcld 9367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  -  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
20 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
21 df-neg 9250 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
2220, 21syl6eqr 2454 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  -u 1 )
2322oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( A  -  ( k  -  1 ) )  =  ( A  -  -u 1 ) )
2412, 19, 23fprod1p 25244 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) )  =  ( ( A  -  -u 1
)  x.  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  -  1 ) ) ) )
25 fallfacval2 25280 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) ) )
269, 25sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) ) )
2726oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  -u 1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A  -  -u 1 )  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  - 
1 ) ) ) )
288, 24, 273eqtr4a 2462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) )  =  ( ( A  -  -u 1
)  x.  ( A FallFac 
( N  -  1 ) ) ) )
29 elfznn0 11039 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
3029adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
32 ax-1cn 9004 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
3413, 31, 33subsub3d 9397 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  -  ( k  - 
1 ) )  =  ( ( A  + 
1 )  -  k
) )
3534prodeq2dv 25202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A  +  1 )  -  k ) )
36 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
3732a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
3836, 37subnegd 9374 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  -u 1
)  =  ( A  +  1 ) )
3938oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  -u 1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A  + 
1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
4028, 35, 393eqtr3d 2444 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A  + 
1 )  -  k
)  =  ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
414, 40eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 ) FallFac  N )  =  ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
42 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
4342nncnd 9972 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
4443, 37npcand 9371 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4544oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( A FallFac  N
) )
46 fallfacp1 25298 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )
479, 46sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )
4845, 47eqtr3d 2438 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  N )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )
4941, 48oveq12d 6058 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 ) FallFac  N
)  -  ( A FallFac  N ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A FallFac  ( N  - 
1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) ) )
50 fallfaccl 25284 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
519, 50sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
5210nn0cnd 10232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
5336, 52subcld 9367 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
5451, 53mulcomd 9065 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  x.  ( A  -  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
5554oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A FallFac  ( N  - 
1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A  -  ( N  -  1 ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) ) )
561adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
5756, 53, 51subdird 9446 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  -  ( A  -  ( N  -  1 ) ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A  -  ( N  -  1 ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) ) )
5836, 37, 52pnncand 9406 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  ( A  -  ( N  -  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( N  - 
1 ) ) )
5937, 43pncan3d 9370 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  =  N )
6058, 59eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  ( A  -  ( N  -  1 ) ) )  =  N )
6160oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  -  ( A  -  ( N  -  1 ) ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  =  ( N  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
6255, 57, 613eqtr2d 2442 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A FallFac  ( N  - 
1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
6349, 62eqtrd 2436 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 ) FallFac  N
)  -  ( A FallFac  N ) )  =  ( N  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   prod_cprod 25184   FallFac cfallfac 25273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-prod 25185  df-fallfac 25276
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