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Theorem fallfacfwd 29324
Description: The forward difference of a falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacfwd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 ) FallFac  N
)  -  ( A FallFac  N ) )  =  ( N  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )

Proof of Theorem fallfacfwd
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2cn 9663 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
2 nnnn0 10719 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 fallfacval 29297 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  + 
1 ) FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A  + 
1 )  -  k
) )
41, 2, 3syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 ) FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A  + 
1 )  -  k
) )
5 0p1e1 10564 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
65oveq1i 6206 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
76prodeq1i 13727 . . . . . . 7  |-  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  - 
1 ) )
87oveq2i 6207 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  -u 1
)  x.  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( A  -  -u 1 )  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  - 
1 ) ) )
9 nnm1nn0 10754 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
109adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
11 nn0uz 11035 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1210, 11syl6eleq 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
13 simpll 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
14 elfzelz 11609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
1514adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
16 peano2zm 10824 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ZZ )
1817zcnd 10885 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  CC )
1913, 18subcld 9844 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  -  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
20 oveq1 6203 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
21 df-neg 9721 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
2220, 21syl6eqr 2441 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  -u 1 )
2322oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  ( A  -  ( k  -  1 ) )  =  ( A  -  -u 1 ) )
2412, 19, 23fprod1p 13774 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) )  =  ( ( A  -  -u 1
)  x.  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  -  1 ) ) ) )
25 fallfacval2 29299 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) ) )
269, 25sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) ) )
2726oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  -u 1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A  -  -u 1 )  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  ( k  - 
1 ) ) ) )
288, 24, 273eqtr4a 2449 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) )  =  ( ( A  -  -u 1
)  x.  ( A FallFac 
( N  -  1 ) ) ) )
29 elfznn0 11693 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
3029adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10771 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
32 1cnd 9523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
3313, 31, 32subsub3d 9874 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  -  ( k  - 
1 ) )  =  ( ( A  + 
1 )  -  k
) )
3433prodeq2dv 13732 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  (
k  -  1 ) )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A  +  1 )  -  k ) )
35 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
36 1cnd 9523 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
3735, 36subnegd 9851 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  -u 1
)  =  ( A  +  1 ) )
3837oveq1d 6211 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  -u 1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A  + 
1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
3928, 34, 383eqtr3d 2431 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A  + 
1 )  -  k
)  =  ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
404, 39eqtrd 2423 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 ) FallFac  N )  =  ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
41 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
4241nncnd 10468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
4342, 36npcand 9848 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4443oveq2d 6212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( A FallFac  N
) )
45 fallfacp1 29318 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )
469, 45sylan2 472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )
4744, 46eqtr3d 2425 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  N )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )
4840, 47oveq12d 6214 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 ) FallFac  N
)  -  ( A FallFac  N ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A FallFac  ( N  - 
1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) ) )
49 fallfaccl 29304 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
509, 49sylan2 472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
5110nn0cnd 10771 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
5235, 51subcld 9844 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
5350, 52mulcomd 9528 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A FallFac  ( N  -  1 ) )  x.  ( A  -  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( A  -  ( N  - 
1 ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
5453oveq2d 6212 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A FallFac  ( N  - 
1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A  -  ( N  -  1 ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) ) )
551adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
5655, 52, 50subdird 9931 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  -  ( A  -  ( N  -  1 ) ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A  -  ( N  -  1 ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) ) )
5735, 36, 51pnncand 9883 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  ( A  -  ( N  -  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( N  - 
1 ) ) )
5836, 42pncan3d 9847 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  =  N )
5957, 58eqtrd 2423 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  ( A  -  ( N  -  1 ) ) )  =  N )
6059oveq1d 6211 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  -  ( A  -  ( N  -  1 ) ) )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  =  ( N  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
6154, 56, 603eqtr2d 2429 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 )  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) )  -  ( ( A FallFac  ( N  - 
1 ) )  x.  ( A  -  ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
6248, 61eqtrd 2423 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  1 ) FallFac  N
)  -  ( A FallFac  N ) )  =  ( N  x.  ( A FallFac  ( N  -  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    - cmin 9718   -ucneg 9719   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593   prod_cprod 13714   FallFac cfallfac 29292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-prod 13715  df-fallfac 29295
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