Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fallfaccllem Structured version   Unicode version

Theorem fallfaccllem 27430
Description: Lemma for falling factorial closure laws. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
risefallfaccllem.1  |-  S  C_  CC
risefallfaccllem.2  |-  1  e.  S
risefallfaccllem.3  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( x  x.  y
)  e.  S )
fallfaccllem.4  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A  -  k
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
fallfaccllem  |-  ( ( A  e.  S  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  N )  e.  S )
Distinct variable groups:    A, k, x, y    k, N, x, y    S, k, x, y

Proof of Theorem fallfaccllem
StepHypRef Expression
1 risefallfaccllem.1 . . . 4  |-  S  C_  CC
21sseli 3349 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  CC )
3 fallfacval 27425 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  k
) )
42, 3sylan 468 . 2  |-  ( ( A  e.  S  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  k
) )
51a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  S  C_  CC )
6 risefallfaccllem.3 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( x  x.  y
)  e.  S )
76adantl 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x  x.  y )  e.  S )
8 fzfid 11791 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
9 elfznn0 11477 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
10 fallfaccllem.4 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A  -  k
)  e.  S )
119, 10sylan2 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( A  -  k )  e.  S
)
12 risefallfaccllem.2 . . . . 5  |-  1  e.  S
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  1  e.  S )
145, 7, 8, 11, 13fprodcllem 27377 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  -  k )  e.  S )
1514adantr 462 . 2  |-  ( ( A  e.  S  /\  N  e.  NN0 )  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( A  -  k )  e.  S )
164, 15eqeltrd 2515 1  |-  ( ( A  e.  S  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  N )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    C_ wss 3325  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    - cmin 9591   NN0cn0 10575   ...cfz 11433   prod_cprod 27331   FallFac cfallfac 27420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-prod 27332  df-fallfac 27423
This theorem is referenced by:  fallfaccl  27432  refallfaccl  27434  zfallfaccl  27437
  Copyright terms: Public domain W3C validator