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Theorem facwordi 12061
Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facwordi  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )

Proof of Theorem facwordi
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4293 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  0 ) )
21anbi2d 698 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 ) ) )
3 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
43breq2d 4301 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  0 )
) )
52, 4imbi12d 320 . . . 4  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
0 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  0
) ) ) )
6 breq2 4293 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  k ) )
76anbi2d 698 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k ) ) )
8 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
98breq2d 4301 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
) )
107, 9imbi12d 320 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
k )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) ) ) )
11 breq2 4293 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
1211anbi2d 698 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1413breq2d 4301 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
1512, 14imbi12d 320 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16 breq2 4293 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  N ) )
1716anbi2d 698 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
18 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
1918breq2d 4301 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N )
) )
2017, 19imbi12d 320 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) ) ) )
21 nn0le0eq0 10604 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  0  <->  M  = 
0 ) )
2221biimpa 481 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  ->  M  =  0 )
2322fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  -> 
( ! `  M
)  =  ( ! `
 0 ) )
24 fac0 12050 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
25 1re 9381 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2624, 25eqeltri 2511 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  e.  RR
2726leidi 9870 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  <_ 
( ! `  0
)
2823, 27syl6eqbr 4326 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  0 ) )
29 impexp 444 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
) ) )
30 nn0re 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
31 nn0re 10584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
32 peano2re 9538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
34 leloe 9457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  <->  ( M  < 
( k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) ) ) )
3530, 33, 34syl2an 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( M  <  (
k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) ) ) )
36 nn0leltp1 10699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  k  <->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
37 faccl 12057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
3837nnred 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  RR )
3937nnnn0d 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e. 
NN0 )
4039nn0ge0d 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  k
) )
41 nn0p1nn 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
4241nnge1d 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  <_ 
( k  +  1 ) )
4338, 33, 40, 42lemulge11d 10266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  <_ 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
44 facp1 12052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
4543, 44breqtrrd 4315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  <_ 
( ! `  (
k  +  1 ) ) )
4645adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
47 faccl 12057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
4847nnred 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  RR )
4948adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  e.  RR )
5038adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  RR )
51 peano2nn0 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
52 faccl 12057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
5453nnred 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
5554adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
56 letr 9464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ! `  k )  e.  RR  /\  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  k
)  /\  ( ! `  k )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
5749, 50, 55, 56syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  k
)  /\  ( ! `  k )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
5846, 57mpan2d 669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
5958imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M  <_ 
k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
)  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6059com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  k  ->  ( ( M  <_ 
k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
)  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6136, 60sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <  (
k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
62 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
6348leidd 9902 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  M
) )
64 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  M )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
6563, 64syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
6662, 65syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
6766adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
6867a1dd 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
6961, 68jaod 380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M  < 
( k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) )  ->  (
( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7035, 69sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7170ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( M  <_  ( k  +  1 )  ->  (
( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7271com13 80 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  ( k  +  1 )  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7372com4l 84 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7473a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) ) )  ->  ( M  e. 
NN0  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7574imp4a 586 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7629, 75syl5bi 217 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  ( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
775, 10, 15, 20, 28, 76nn0ind 10734 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  N ) ) )
78773impib 1180 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )
79783com12 1186 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415   NNcn 10318   NN0cn0 10575   !cfa 12047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-seq 11803  df-fac 12048
This theorem is referenced by:  facavg  12073  aaliou3lem6  21773
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