MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth1 Structured version   Unicode version

Theorem facth1 22731
Description: The factor theorem and its converse. A polynomial  F has a root at  A iff  G  =  x  -  A is a factor of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1rem.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1rem.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ply1rem.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1rem.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1rem.a  |-  A  =  (algSc `  P )
ply1rem.g  |-  G  =  ( X  .-  ( A `  N )
)
ply1rem.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
ply1rem.1  |-  ( ph  ->  R  e. NzRing )
ply1rem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
ply1rem.3  |-  ( ph  ->  N  e.  K )
ply1rem.4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
facth1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
facth1.d  |-  .||  =  (
||r `  P )
Assertion
Ref Expression
facth1  |-  ( ph  ->  ( G  .||  F  <->  ( ( O `  F ) `  N )  =  .0.  ) )

Proof of Theorem facth1
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. NzRing )
2 nzrring 18104 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 ply1rem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
5 ply1rem.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 ply1rem.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 ply1rem.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
8 ply1rem.x . . . . . 6  |-  X  =  (var1 `  R )
9 ply1rem.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  P )
10 ply1rem.a . . . . . 6  |-  A  =  (algSc `  P )
11 ply1rem.g . . . . . 6  |-  G  =  ( X  .-  ( A `  N )
)
12 ply1rem.o . . . . . 6  |-  O  =  (eval1 `  R )
13 ply1rem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
14 ply1rem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  K )
15 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (Monic1p `  R
)  =  (Monic1p `  R
)
16 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
17 facth1.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 22729 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  (Monic1p `  R )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  G )  =  1  /\  ( `' ( O `  G )
" {  .0.  }
)  =  { N } ) )
1918simp1d 1006 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Monic1p `  R
) )
20 eqid 2454 . . . . 5  |-  (Unic1p `  R
)  =  (Unic1p `  R
)
2120, 15mon1puc1p 22717 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  (Monic1p `  R ) )  ->  G  e.  (Unic1p `  R ) )
223, 19, 21syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  (Unic1p `  R
) )
23 facth1.d . . . 4  |-  .||  =  (
||r `  P )
24 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
25 eqid 2454 . . . 4  |-  (rem1p `  R
)  =  (rem1p `  R
)
265, 23, 6, 20, 24, 25dvdsr1p 22728 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  (Unic1p `  R ) )  ->  ( G  .||  F 
<->  ( F (rem1p `  R
) G )  =  ( 0g `  P
) ) )
273, 4, 22, 26syl3anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  .||  F  <->  ( F
(rem1p `
 R ) G )  =  ( 0g
`  P ) ) )
285, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 4, 25ply1rem 22730 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F (rem1p `  R
) G )  =  ( A `  (
( O `  F
) `  N )
) )
295, 10, 17, 24ply1scl0 18526 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .0.  )  =  ( 0g `  P
) )
303, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A `  .0.  )  =  ( 0g `  P ) )
3130eqcomd 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( A `
 .0.  ) )
3228, 31eqeq12d 2476 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F (rem1p `  R ) G )  =  ( 0g `  P )  <->  ( A `  ( ( O `  F ) `  N
) )  =  ( A `  .0.  )
) )
335, 10, 7, 6ply1sclf1 18525 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  A : K -1-1-> B )
343, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A : K -1-1-> B
)
3512, 5, 7, 6, 13, 14, 4fveval1fvcl 18564 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  F ) `  N
)  e.  K )
367, 17ring0cl 17415 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
373, 36syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
38 f1fveq 6145 . . 3  |-  ( ( A : K -1-1-> B  /\  ( ( ( O `
 F ) `  N )  e.  K  /\  .0.  e.  K ) )  ->  ( ( A `  ( ( O `  F ) `  N ) )  =  ( A `  .0.  ) 
<->  ( ( O `  F ) `  N
)  =  .0.  )
)
3934, 35, 37, 38syl12anc 1224 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A `  ( ( O `  F ) `  N
) )  =  ( A `  .0.  )  <->  ( ( O `  F
) `  N )  =  .0.  ) )
4027, 32, 393bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( G  .||  F  <->  ( ( O `  F ) `  N )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1398    e. wcel 1823   {csn 4016   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   "cima 4991   -1-1->wf1 5567   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482   Basecbs 14716   0gc0g 14929   -gcsg 16254   Ringcrg 17393   CRingccrg 17394   ||rcdsr 17482  NzRingcnzr 18100  algSccascl 18155  var1cv1 18410  Poly1cpl1 18411  eval1ce1 18546   deg1 cdg1 22618  Monic1pcmn1 22692  Unic1pcuc1p 22693  rem1pcr1p 22695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-srg 17353  df-ring 17395  df-cring 17396  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-rnghom 17559  df-subrg 17622  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-nzr 18101  df-rlreg 18126  df-assa 18156  df-asp 18157  df-ascl 18158  df-psr 18200  df-mvr 18201  df-mpl 18202  df-opsr 18204  df-evls 18366  df-evl 18367  df-psr1 18414  df-vr1 18415  df-ply1 18416  df-coe1 18417  df-evl1 18548  df-cnfld 18616  df-mdeg 22619  df-deg1 22620  df-mon1 22697  df-uc1p 22698  df-q1p 22699  df-r1p 22700
This theorem is referenced by:  fta1glem1  22732  fta1glem2  22733
  Copyright terms: Public domain W3C validator