Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth Structured version   Unicode version

Theorem facth 22994
 Description: The factor theorem. If a polynomial has a root at , then is a factor of (and the other factor is quot ). This is part of Metamath 100 proof #89. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
facth.1
Assertion
Ref Expression
facth Poly quot

Proof of Theorem facth
StepHypRef Expression
1 facth.1 . . . . 5
2 eqid 2402 . . . . 5 quot quot
31, 2plyrem 22993 . . . 4 Poly quot
433adant3 1017 . . 3 Poly quot
5 simp3 999 . . . . 5 Poly
65sneqd 3984 . . . 4 Poly
76xpeq2d 4847 . . 3 Poly
84, 7eqtrd 2443 . 2 Poly quot
9 cnex 9603 . . . 4
109a1i 11 . . 3 Poly
11 simp1 997 . . . 4 Poly Poly
12 plyf 22887 . . . 4 Poly
1311, 12syl 17 . . 3 Poly
141plyremlem 22992 . . . . . . 7 Poly deg
15143ad2ant2 1019 . . . . . 6 Poly Poly deg
1615simp1d 1009 . . . . 5 Poly Poly
17 plyssc 22889 . . . . . . 7 Poly Poly
1817, 11sseldi 3440 . . . . . 6 Poly Poly
1915simp2d 1010 . . . . . . . 8 Poly deg
20 ax-1ne0 9591 . . . . . . . . 9
2120a1i 11 . . . . . . . 8 Poly
2219, 21eqnetrd 2696 . . . . . . 7 Poly deg
23 fveq2 5849 . . . . . . . . 9 deg deg
24 dgr0 22951 . . . . . . . . 9 deg
2523, 24syl6eq 2459 . . . . . . . 8 deg
2625necon3i 2643 . . . . . . 7 deg
2722, 26syl 17 . . . . . 6 Poly
28 quotcl2 22990 . . . . . 6 Poly Poly quot Poly
2918, 16, 27, 28syl3anc 1230 . . . . 5 Poly quot Poly
30 plymulcl 22910 . . . . 5 Poly quot Poly quot Poly
3116, 29, 30syl2anc 659 . . . 4 Poly quot Poly
32 plyf 22887 . . . 4 quot Poly quot
3331, 32syl 17 . . 3 Poly quot
34 ofsubeq0 10573 . . 3 quot quot quot
3510, 13, 33, 34syl3anc 1230 . 2 Poly quot quot
368, 35mpbid 210 1 Poly quot
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  cvv 3059  csn 3972   cxp 4821  ccnv 4822  cima 4826  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278   cof 6519  cc 9520  cc0 9522  c1 9523   cmul 9527   cmin 9841  c0p 22368  Polycply 22873  cidp 22874  degcdgr 22876   quot cquot 22978 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-0p 22369  df-ply 22877  df-idp 22878  df-coe 22879  df-dgr 22880  df-quot 22979 This theorem is referenced by:  fta1lem  22995  vieta1lem1  22998  vieta1lem2  22999
 Copyright terms: Public domain W3C validator