MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facp1 Structured version   Unicode version

Theorem facp1 12077
Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facp1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem facp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 10602 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 peano2nn 10355 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
3 facnn 12074 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
5 ovex 6137 . . . . . . 7  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
6 fvi 5769 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 )
87oveq2i 6123 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) )
9 seqp1 11842 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  +  1
) ) ) )
10 nnuz 10917 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10eleq2s 2535 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  +  1
) ) ) )
12 facnn 12074 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
1312oveq1d 6127 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
148, 11, 133eqtr4a 2501 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
154, 14eqtrd 2475 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
16 0p1e1 10454 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1716fveq2i 5715 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  ( ! `  1
)
18 fac1 12076 . . . . 5  |-  ( ! `
 1 )  =  1
1917, 18eqtri 2463 . . . 4  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  1
20 oveq1 6119 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
2120fveq2d 5716 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ! `  ( 0  +  1 ) ) )
22 fveq2 5712 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
2322, 20oveq12d 6130 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 0 )  x.  ( 0  +  1 ) ) )
24 fac0 12075 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2524, 16oveq12i 6124 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  x.  1 )
26 1t1e1 10490 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
2725, 26eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  1
2823, 27syl6eq 2491 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  1 )
2919, 21, 283eqtr4a 2501 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
3015, 29jaoi 379 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ! `  ( N  +  1
) )  =  ( ( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) ) )
311, 30sylbi 195 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2993    _I cid 4652   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308   NNcn 10343   NN0cn0 10600   ZZ>=cuz 10882    seqcseq 11827   !cfa 12072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-seq 11828  df-fac 12073
This theorem is referenced by:  fac2  12078  fac3  12079  fac4  12080  facnn2  12081  faccl  12082  facdiv  12084  facwordi  12086  faclbnd  12087  faclbnd6  12096  facubnd  12097  bcm1k  12112  bcp1n  12113  efcllem  13384  ef01bndlem  13489  eirrlem  13507  dvdsfac  13609  prmfac1  13825  pcfac  13982  2expltfac  14140  aaliou3lem2  21831  aaliou3lem8  21833  dvtaylp  21857  advlogexp  22122  bcmono  22638  facgam  27074  subfacval2  27097  subfaclim  27098  4bc2eq6  27413  faclim  27574  faclim2  27576  wallispi2lem2  29893  stirlinglem4  29898
  Copyright terms: Public domain W3C validator