MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facp1 Structured version   Unicode version

Theorem facp1 12052
Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facp1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem facp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 10577 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 peano2nn 10330 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
3 facnn 12049 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
5 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
6 fvi 5745 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 )
87oveq2i 6101 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) )
9 seqp1 11817 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  +  1
) ) ) )
10 nnuz 10892 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10eleq2s 2533 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  +  1
) ) ) )
12 facnn 12049 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
1312oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
148, 11, 133eqtr4a 2499 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
154, 14eqtrd 2473 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
16 0p1e1 10429 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1716fveq2i 5691 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  ( ! `  1
)
18 fac1 12051 . . . . 5  |-  ( ! `
 1 )  =  1
1917, 18eqtri 2461 . . . 4  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  1
20 oveq1 6097 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
2120fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ! `  ( 0  +  1 ) ) )
22 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
2322, 20oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 0 )  x.  ( 0  +  1 ) ) )
24 fac0 12050 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2524, 16oveq12i 6102 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  x.  1 )
26 1t1e1 10465 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
2725, 26eqtri 2461 . . . . 5  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  1
2823, 27syl6eq 2489 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  1 )
2919, 21, 283eqtr4a 2499 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
3015, 29jaoi 379 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ! `  ( N  +  1
) )  =  ( ( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) ) )
311, 30sylbi 195 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    _I cid 4627   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857    seqcseq 11802   !cfa 12047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-seq 11803  df-fac 12048
This theorem is referenced by:  fac2  12053  fac3  12054  fac4  12055  facnn2  12056  faccl  12057  facdiv  12059  facwordi  12061  faclbnd  12062  faclbnd6  12071  facubnd  12072  bcm1k  12087  bcp1n  12088  efcllem  13359  ef01bndlem  13464  eirrlem  13482  dvdsfac  13584  prmfac1  13800  pcfac  13957  2expltfac  14115  aaliou3lem2  21768  aaliou3lem8  21770  dvtaylp  21794  advlogexp  22059  bcmono  22575  facgam  26982  subfacval2  27005  subfaclim  27006  4bc2eq6  27320  faclim  27481  faclim2  27483  wallispi2lem2  29792  stirlinglem4  29797
  Copyright terms: Public domain W3C validator