MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facp1 Structured version   Unicode version

Theorem facp1 12327
Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facp1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem facp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 10798 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 peano2nn 10549 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
3 facnn 12324 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
5 ovex 6310 . . . . . . 7  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
6 fvi 5925 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 )
87oveq2i 6296 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) )
9 seqp1 12091 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  +  1
) ) ) )
10 nnuz 11118 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10eleq2s 2575 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  +  1
) ) ) )
12 facnn 12324 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
1312oveq1d 6300 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
148, 11, 133eqtr4a 2534 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
154, 14eqtrd 2508 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
16 0p1e1 10648 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1716fveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  ( ! `  1
)
18 fac1 12326 . . . . 5  |-  ( ! `
 1 )  =  1
1917, 18eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  1
20 oveq1 6292 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
2120fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ! `  ( 0  +  1 ) ) )
22 fveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
2322, 20oveq12d 6303 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 0 )  x.  ( 0  +  1 ) ) )
24 fac0 12325 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2524, 16oveq12i 6297 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  x.  1 )
26 1t1e1 10684 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
2725, 26eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  1
2823, 27syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  1 )
2919, 21, 283eqtr4a 2534 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
3015, 29jaoi 379 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ! `  ( N  +  1
) )  =  ( ( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) ) )
311, 30sylbi 195 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    _I cid 4790   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ZZ>=cuz 11083    seqcseq 12076   !cfa 12322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-seq 12077  df-fac 12323
This theorem is referenced by:  fac2  12328  fac3  12329  fac4  12330  facnn2  12331  faccl  12332  facdiv  12334  facwordi  12336  faclbnd  12337  faclbnd6  12346  facubnd  12347  bcm1k  12362  bcp1n  12363  efcllem  13678  ef01bndlem  13783  eirrlem  13801  dvdsfac  13903  prmfac1  14121  pcfac  14280  2expltfac  14438  aaliou3lem2  22565  aaliou3lem8  22567  dvtaylp  22591  advlogexp  22861  bcmono  23377  facgam  28359  subfacval2  28382  subfaclim  28383  4bc2eq6  28863  faclim  29024  faclim2  29026  wallispi2lem2  31599  stirlinglem4  31604
  Copyright terms: Public domain W3C validator