MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facnn2 Structured version   Unicode version

Theorem facnn2 12060
Description: Value of the factorial function expressed recursively. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
facnn2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )

Proof of Theorem facnn2
StepHypRef Expression
1 elnnnn0 10623 . 2  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
2 facp1 12056 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
32adantl 466 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ! `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
4 ax-1cn 9340 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
5 npcan 9619 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
64, 5mpan2 671 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
76fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  ( ! `  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ! `  N ) )
87adantr 465 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ! `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ! `
 N ) )
96oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) )
113, 8, 103eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) )
121, 11sylbi 195 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    - cmin 9595   NNcn 10322   NN0cn0 10579   !cfa 12051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-seq 11807  df-fac 12052
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  12069  bcn1  12089  bcm1k  12091  hashf1  12210  dvdsfac  13588  chtublem  22550  bcmono  22616
  Copyright terms: Public domain W3C validator