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Theorem facndiv 12348
Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facndiv  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  -.  ( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem facndiv
StepHypRef Expression
1 nnre 10538 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 recnz 10934 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  -.  ( 1  /  N
)  e.  ZZ )
31, 2sylan 469 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  1  <  N )  ->  -.  ( 1  /  N
)  e.  ZZ )
43ad2ant2lr 745 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  -.  ( 1  /  N
)  e.  ZZ )
5 facdiv 12347 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  (
( ! `  M
)  /  N )  e.  NN )
653expa 1194 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  M
)  ->  ( ( ! `  M )  /  N )  e.  NN )
76nnzd 10964 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  M
)  ->  ( ( ! `  M )  /  N )  e.  ZZ )
87adantrl 713 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ! `  M
)  /  N )  e.  ZZ )
9 zsubcl 10902 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  M )  /  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ! `  M
)  +  1 )  /  N )  -  ( ( ! `  M )  /  N
) )  e.  ZZ )
109ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( ( ! `  M )  +  1 )  /  N )  e.  ZZ  ->  (
( ( ! `  M )  /  N
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  -  ( ( ! `  M )  /  N ) )  e.  ZZ ) )
118, 10syl5com 30 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  -  ( ( ! `  M )  /  N ) )  e.  ZZ ) )
12 faccl 12345 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
1312nncnd 10547 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  CC )
14 peano2cn 9741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  M )  e.  CC  ->  (
( ! `  M
)  +  1 )  e.  CC )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  +  1 )  e.  CC )
1615ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ! `  M
)  +  1 )  e.  CC )
1713ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  ( ! `  M )  e.  CC )
18 nncn 10539 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
19 nnne0 10564 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2018, 19jca 530 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
2120ad2antlr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
22 divsubdir 10236 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ! `  M )  +  1 )  e.  CC  /\  ( ! `  M )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( ! `  M )  +  1 )  -  ( ! `  M ) )  /  N )  =  ( ( ( ( ! `  M
)  +  1 )  /  N )  -  ( ( ! `  M )  /  N
) ) )
2316, 17, 21, 22syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ( ( ! `
 M )  +  1 )  -  ( ! `  M )
)  /  N )  =  ( ( ( ( ! `  M
)  +  1 )  /  N )  -  ( ( ! `  M )  /  N
) ) )
24 ax-1cn 9539 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
25 pncan2 9818 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ! `  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( ! `
 M )  +  1 )  -  ( ! `  M )
)  =  1 )
2613, 24, 25sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  M
)  +  1 )  -  ( ! `  M ) )  =  1 )
2726oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ! `  M )  +  1 )  -  ( ! `
 M ) )  /  N )  =  ( 1  /  N
) )
2827ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ( ( ! `
 M )  +  1 )  -  ( ! `  M )
)  /  N )  =  ( 1  /  N ) )
2923, 28eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  -  ( ( ! `  M )  /  N ) )  =  ( 1  /  N ) )
3029eleq1d 2523 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ( ( ( ! `  M )  +  1 )  /  N )  -  (
( ! `  M
)  /  N ) )  e.  ZZ  <->  ( 1  /  N )  e.  ZZ ) )
3111, 30sylibd 214 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  (
( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  e.  ZZ  ->  ( 1  /  N )  e.  ZZ ) )
324, 31mtod 177 1  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  ( 1  < 
N  /\  N  <_  M ) )  ->  -.  ( ( ( ! `
 M )  +  1 )  /  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   !cfa 12335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-seq 12090  df-fac 12336
This theorem is referenced by:  infpnlem1  14512
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