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Theorem facndiv 8195
Description: No natural number (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number.
Assertion
Ref Expression
facndiv |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> -. (((!` M) + 1) / N) e. ZZ)
Proof of Theorem facndiv
StepHypRef Expression
1 recnz 7403 . . . 4 |- ((N e. RR /\ 1 < N) -> -. (1 / N) e. ZZ)
2 nnre 7112 . . . 4 |- (N e. NN -> N e. RR)
31, 2sylan 497 . . 3 |- ((N e. NN /\ 1 < N) -> -. (1 / N) e. ZZ)
43ad2ant2lr 446 . 2 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> -. (1 / N) e. ZZ)
5 zsubcl 7377 . . . . 5 |- (((((!` M) + 1) / N) e. ZZ /\ ((!` M) / N) e. ZZ) -> ((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)) e. ZZ)
65ex 402 . . . 4 |- ((((!` M) + 1) / N) e. ZZ -> (((!` M) / N) e. ZZ -> ((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)) e. ZZ))
7 facdiv 8194 . . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M) -> ((!` M) / N) e. NN)
873expa 1067 . . . . . 6 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ N <_ M) -> ((!` M) / N) e. NN)
9 nnz 7362 . . . . . 6 |- (((!` M) / N) e. NN -> ((!` M) / N) e. ZZ)
108, 9syl 12 . . . . 5 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ N <_ M) -> ((!` M) / N) e. ZZ)
1110adantrl 430 . . . 4 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((!` M) / N) e. ZZ)
126, 11syl5com 63 . . 3 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((((!` M) + 1) / N) e. ZZ -> ((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)) e. ZZ))
13 faccl 8192 . . . . . . . . 9 |- (M e. NN0 -> (!` M) e. NN)
14 nncn 7113 . . . . . . . . 9 |- ((!` M) e. NN -> (!` M) e. CC)
1513, 14syl 12 . . . . . . . 8 |- (M e. NN0 -> (!` M) e. CC)
16 peano2cn 6498 . . . . . . . 8 |- ((!` M) e. CC -> ((!` M) + 1) e. CC)
1715, 16syl 12 . . . . . . 7 |- (M e. NN0 -> ((!` M) + 1) e. CC)
1817ad2antrr 440 . . . . . 6 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((!` M) + 1) e. CC)
1915ad2antrr 440 . . . . . 6 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> (!` M) e. CC)
20 nncn 7113 . . . . . . . 8 |- (N e. NN -> N e. CC)
21 nnne0 7132 . . . . . . . 8 |- (N e. NN -> N =/= 0)
2220, 21jca 310 . . . . . . 7 |- (N e. NN -> (N e. CC /\ N =/= 0))
2322ad2antlr 441 . . . . . 6 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> (N e. CC /\ N =/= 0))
24 divsubdir 6951 . . . . . 6 |- ((((!` M) + 1) e. CC /\ (!` M) e. CC /\ (N e. CC /\ N =/= 0)) -> ((((!` M) + 1) - (!` M)) / N) = ((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)))
2518, 19, 23, 24syl111anc 1100 . . . . 5 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((((!` M) + 1) - (!` M)) / N) = ((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)))
26 pncan2 6558 . . . . . . . 8 |- (((!` M) e. CC /\ 1 e. CC) -> (((!` M) + 1) - (!` M)) = 1)
27 ax1cn 6422 . . . . . . . 8 |- 1 e. CC
2826, 15, 27sylancl 525 . . . . . . 7 |- (M e. NN0 -> (((!` M) + 1) - (!` M)) = 1)
2928opreq1d 4897 . . . . . 6 |- (M e. NN0 -> ((((!` M) + 1) - (!` M)) / N) = (1 / N))
3029ad2antrr 440 . . . . 5 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((((!` M) + 1) - (!` M)) / N) = (1 / N))
3125, 30eqtr3d 1927 . . . 4 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)) = (1 / N))
3231eleq1d 1963 . . 3 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> (((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)) e. ZZ <-> (1 / N) e. ZZ))
3312, 32sylibd 219 . 2 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((((!` M) + 1) / N) e. ZZ -> (1 / N) e. ZZ))
344, 33mtod 123 1 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> -. (((!` M) + 1) / N) e. ZZ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653  !cfa 8183
This theorem is referenced by:  infpnlem1 8775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-fac 8184
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