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Theorem faclimlem5 24121
Description: Lemma for faclim 24126. A convergence statement in the induction. (Contributed by Scott Fenton, 26-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem5  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( n  +  1 )  / 
( B  +  ( n  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  ( B  +  1 ) )
Distinct variable group:    B, n

Proof of Theorem faclimlem5
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10279 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10069 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  ( B  e.  NN0  ->  1  e.  ZZ )
4 nn0re 9990 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  RR )
5 1re 8853 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
65a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
7 rpre 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
86, 7resubcld 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  -  x )  e.  RR )
9 remulcl 8838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( 1  -  x
)  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( 1  -  x
) )  e.  RR )
104, 8, 9syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  (
1  -  x ) )  e.  RR )
117adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
12 rpne0 10385 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
1312adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
1410, 11, 13redivcld 9604 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  ( 1  -  x
) )  /  x
)  e.  RR )
15 faclimlem4 24120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
16 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
1716a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
1815, 17abssubd 11951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  (
( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  =  ( abs `  ( 1  -  (
( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
19 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
20 nn0nnaddcl 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( B  +  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
2119, 20sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  +  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
2221nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  +  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
2319adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
2423nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
2521nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  +  ( k  +  1 ) )  =/=  0 )
2622, 24, 22, 25divsubdird 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( B  +  ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( B  +  ( k  +  1 ) )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  ( ( k  +  1 )  / 
( B  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
27 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  CC )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
2928, 24pncand 9174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( B  +  ( k  +  1 ) )  -  (
k  +  1 ) )  =  B )
3029oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( B  +  ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( B  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )
3122, 25dividd 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( B  +  ( k  +  1 ) )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )
3231oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( B  +  ( k  +  1 ) )  / 
( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  (
( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( k  +  1 )  / 
( B  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
3326, 30, 323eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  -  (
( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( B  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )
3433fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  (
1  -  ( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( B  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
354adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
3635, 21nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
3721nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
38 nn0ge0 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  NN0  ->  0  <_  B )
3938adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  B )
4035, 37, 39divge0d 10442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( B  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )
4136, 40absidd 11921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( B  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( B  / 
( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )
4218, 34, 413eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  (
( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  =  ( B  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )
43423adant2 974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  - 
1 ) )  =  ( B  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )
4443adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( abs `  (
( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  =  ( B  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )
45353adant2 974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  ->  B  e.  RR )
47 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  ->  x  e.  RR+ )
48373adant2 974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( B  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
50 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR+ )
5145, 50rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  /  x )  e.  RR )
5251, 45resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  (
( B  /  x
)  -  B )  e.  RR )
535a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
5452, 53resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( B  /  x )  -  B
)  -  1 )  e.  RR )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( ( ( B  /  x )  -  B )  -  1 )  e.  RR )
5683ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  -  x )  e.  RR )
5745, 56remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  ( B  x.  ( 1  -  x ) )  e.  RR )
5857, 50rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  e.  RR )
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( ( B  x.  ( 1  -  x
) )  /  x
)  e.  RR )
60 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
61603ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
6261adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
k  e.  RR )
63 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( B  +  1 )  e.  NN )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  +  1 )  e.  NN )
6564nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  +  1 )  e.  CC )
66 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
6766rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
6865, 67, 13divcan4d 9558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( B  +  1 )  x.  x )  /  x
)  =  ( B  +  1 ) )
6968oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( B  /  x )  -  (
( ( B  + 
1 )  x.  x
)  /  x ) )  =  ( ( B  /  x )  -  ( B  + 
1 ) ) )
704adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
7170recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
7263nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( B  +  1 )  e.  CC )
73 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
74 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( B  + 
1 )  x.  x
)  e.  CC )
7572, 73, 74syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( B  + 
1 )  x.  x
)  e.  CC )
7671, 75, 67, 13divsubdird 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( B  -  ( ( B  + 
1 )  x.  x
) )  /  x
)  =  ( ( B  /  x )  -  ( ( ( B  +  1 )  x.  x )  /  x ) ) )
7770, 11, 13redivcld 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  /  x
)  e.  RR )
7877recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  /  x
)  e.  CC )
7916a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
1  e.  CC )
8078, 71, 79subsub4d 9204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( B  /  x )  -  B )  -  1 )  =  ( ( B  /  x )  -  ( B  + 
1 ) ) )
8169, 76, 803eqtr4rd 2339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( B  /  x )  -  B )  -  1 )  =  ( ( B  -  ( ( B  +  1 )  x.  x ) )  /  x ) )
8263nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
83 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( B  + 
1 )  x.  x
)  e.  RR )
8482, 7, 83syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( B  + 
1 )  x.  x
)  e.  RR )
8570, 84resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  -  (
( B  +  1 )  x.  x ) )  e.  RR )
86 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  e.  RR )
874, 7, 86syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  x
)  e.  RR )
8864nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  +  1 )  e.  RR )
8970ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  <  ( B  + 
1 ) )
9070, 88, 66, 89ltmul1dd 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  x
)  <  ( ( B  +  1 )  x.  x ) )
9187, 84, 70, 90ltsub2dd 9401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  -  (
( B  +  1 )  x.  x ) )  <  ( B  -  ( B  x.  x ) ) )
9271, 79, 67subdid 9251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  (
1  -  x ) )  =  ( ( B  x.  1 )  -  ( B  x.  x ) ) )
9371mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  1 )  =  B )
9493oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  1 )  -  ( B  x.  x )
)  =  ( B  -  ( B  x.  x ) ) )
9592, 94eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  (
1  -  x ) )  =  ( B  -  ( B  x.  x ) ) )
9691, 95breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( B  -  (
( B  +  1 )  x.  x ) )  <  ( B  x.  ( 1  -  x ) ) )
9785, 10, 66, 96ltdiv1dd 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( B  -  ( ( B  + 
1 )  x.  x
) )  /  x
)  <  ( ( B  x.  ( 1  -  x ) )  /  x ) )
9881, 97eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( B  /  x )  -  B )  -  1 )  <  ( ( B  x.  ( 1  -  x ) )  /  x ) )
99983adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( B  /  x )  -  B
)  -  1 )  <  ( ( B  x.  ( 1  -  x ) )  /  x ) )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( ( ( B  /  x )  -  B )  -  1 )  <  ( ( B  x.  ( 1  -  x ) )  /  x ) )
101 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( ( B  x.  ( 1  -  x
) )  /  x
)  <_  k )
10255, 59, 62, 100, 101ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( ( ( B  /  x )  -  B )  -  1 )  <  k )
10351adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( B  /  x
)  e.  RR )
104103, 46resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( ( B  /  x )  -  B
)  e.  RR )
1055a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
1  e.  RR )
106104, 105, 62ltsubaddd 9384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( ( ( ( B  /  x )  -  B )  - 
1 )  <  k  <->  ( ( B  /  x
)  -  B )  <  ( k  +  1 ) ) )
107102, 106mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( ( B  /  x )  -  B
)  <  ( k  +  1 ) )
10823nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
1091083adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR )
111103, 46, 110ltsubadd2d 9386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( ( ( B  /  x )  -  B )  <  (
k  +  1 )  <-> 
( B  /  x
)  <  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )
112107, 111mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( B  /  x
)  <  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )
11346, 47, 49, 112ltdiv23d 10462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( B  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  <  x )
11444, 113eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  (
( B  x.  (
1  -  x ) )  /  x )  <_  k )  -> 
( abs `  (
( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x )
115114ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( B  x.  ( 1  -  x
) )  /  x
)  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x ) )
1161153expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( B  x.  ( 1  -  x ) )  /  x )  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  / 
( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x
) )
117116ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. k  e.  NN  ( ( ( B  x.  ( 1  -  x ) )  /  x )  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x ) )
118 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( B  x.  ( 1  -  x ) )  /  x )  ->  (
y  <_  k  <->  ( ( B  x.  ( 1  -  x ) )  /  x )  <_ 
k ) )
119118imbi1d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( B  x.  ( 1  -  x ) )  /  x )  ->  (
( y  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x )  <-> 
( ( ( B  x.  ( 1  -  x ) )  /  x )  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x ) ) )
120119ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( B  x.  ( 1  -  x ) )  /  x )  ->  ( A. k  e.  NN  ( y  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x )  <->  A. k  e.  NN  ( ( ( B  x.  ( 1  -  x ) )  /  x )  <_  k  ->  ( abs `  (
( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x ) ) )
121120rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  x.  ( 1  -  x
) )  /  x
)  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  (
( ( B  x.  ( 1  -  x
) )  /  x
)  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x ) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  NN  (
y  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x ) )
12214, 117, 121syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  NN  (
y  <_  k  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x ) )
123122ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. k  e.  NN  ( y  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  / 
( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x
) )
124123, 16jctil 523 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. k  e.  NN  ( y  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  / 
( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x
) ) )
125 faclimlem4 24120 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 )  /  ( B  +  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
126 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( B  +  ( n  +  1 ) ) ) )
127125, 126fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  +  1
) ) ) ) : NN --> CC )
128 nnssre 9766 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR
129128a1i 10 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  NN  C_  RR )
130 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
131130oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( B  +  ( n  +  1 ) )  =  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )
132130, 131oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  / 
( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )
133 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) )  e. 
_V
134132, 126, 133fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  ( B  +  ( n  +  1 ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )
135134adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( B  +  ( n  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )
136127, 129, 135rlim 11985 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  + 
1 ) ) ) )  ~~> r  1  <->  (
1  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. k  e.  NN  ( y  <_ 
k  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  / 
( B  +  ( k  +  1 ) ) )  -  1 ) )  <  x
) ) ) )
137124, 136mpbird 223 . . . 4  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  +  1
) ) ) )  ~~> r  1 )
1381, 3, 127rlimclim 12036 . . . 4  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  + 
1 ) ) ) )  ~~> r  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  + 
1 ) ) ) )  ~~>  1 ) )
139137, 138mpbid 201 . . 3  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  +  1
) ) ) )  ~~>  1 )
140 nnex 9768 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
141140mptex 5762 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( n  +  1 )  / 
( B  +  ( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  _V
142141a1i 10 . . 3  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( n  +  1 )  / 
( B  +  ( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  _V )
143135, 15eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( B  +  ( n  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
144132oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( B  +  1 )  x.  ( ( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  ( B  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
145 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( n  +  1 )  / 
( B  +  ( n  +  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( n  + 
1 )  /  ( B  +  ( n  +  1 ) ) ) ) )
146 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( B  +  ( k  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
147144, 145, 146fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( B  + 
1 )  x.  (
( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( B  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
148134oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( B  +  1 )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  + 
1 ) ) ) ) `  k ) )  =  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( B  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
149147, 148eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( B  + 
1 )  x.  (
( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  +  1
) ) ) ) `
 k ) ) )
150149adantl 452 . . 3  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( n  + 
1 )  /  ( B  +  ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( B  +  ( n  + 
1 ) ) ) ) `  k ) ) )
1511, 3, 139, 72, 142, 143, 150climmulc2 12126 . 2  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( n  +  1 )  / 
( B  +  ( n  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( B  + 
1 )  x.  1 ) )
15272mulid1d 8868 . 2  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( ( B  +  1 )  x.  1 )  =  ( B  +  1 ) )
153151, 152breqtrd 4063 1  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( B  +  1 )  x.  ( ( n  +  1 )  / 
( B  +  ( n  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  ( B  +  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   RR+crp 10370   abscabs 11735    ~~> cli 11974    ~~> r crli 11975
This theorem is referenced by:  faclim  24126
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979
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