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Theorem faclimlem3 27690
Description: Lemma for faclim 27691. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^
( M  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) ) ) )

Proof of Theorem faclimlem3
StepHypRef Expression
1 1rp 11101 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
21a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  1  e.  RR+ )
3 nnrp 11106 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
43rpreccld 11143 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  (
1  /  B )  e.  RR+ )
54adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  /  B
)  e.  RR+ )
62, 5rpaddcld 11148 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( 1  /  B ) )  e.  RR+ )
76rpcnd 11135 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( 1  /  B ) )  e.  CC )
8 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  M  e.  NN0 )
97, 8expp1d 12121 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ) )
101a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
1110, 4rpaddcld 11148 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  B ) )  e.  RR+ )
12 nn0z 10775 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
13 rpexpcl 11996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) )  e.  RR+  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  e.  RR+ )
1411, 12, 13syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  e.  RR+ )
1514rpcnd 11135 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  e.  CC )
16 ax-1cn 9446 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
1716a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
18 nn0re 10694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
2119, 20nndivred 10476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( M  /  B
)  e.  RR )
2221recnd 9518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( M  /  B
)  e.  CC )
2317, 22addcomd 9677 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( M  /  B ) )  =  ( ( M  /  B )  +  1 ) )
243adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR+ )
25 nn0ge0 10711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
2625adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  M )
2719, 24, 26divge0d 11169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( M  /  B ) )
2821, 27ge0p1rpd 11159 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( M  /  B )  +  1 )  e.  RR+ )
2923, 28eqeltrd 2540 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( M  /  B ) )  e.  RR+ )
3029rpcnd 11135 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( M  /  B ) )  e.  CC )
3129rpne0d 11138 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( M  /  B ) )  =/=  0 )
3215, 30, 31divcan1d 10214 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  / 
( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  (
1  +  ( M  /  B ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M ) )
3332oveq1d 6210 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  ( 1  +  ( M  /  B
) ) )  x.  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ) )
3414, 29rpdivcld 11150 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  (
1  +  ( M  /  B ) ) )  e.  RR+ )
3534rpcnd 11135 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  (
1  +  ( M  /  B ) ) )  e.  CC )
3635, 30, 7mulassd 9515 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  ( 1  +  ( M  /  B
) ) )  x.  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ) ) )
379, 33, 363eqtr2d 2499 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ) ) )
3837oveq1d 6210 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^
( M  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  (
1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  B
) ) ) )
3929, 6rpmulcld 11149 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( M  /  B
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) )  e.  RR+ )
4039rpcnd 11135 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( M  /  B
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) )  e.  CC )
41 nn0p1nn 10725 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
4241nnrpd 11132 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
4342adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
4443, 24rpdivcld 11150 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  /  B
)  e.  RR+ )
452, 44rpaddcld 11148 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) )  e.  RR+ )
4645rpcnd 11135 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) )  e.  CC )
4745rpne0d 11138 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) )  =/=  0 )
4835, 40, 46, 47divassd 10248 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  ( 1  +  ( M  /  B
) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  B
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) ) ) )
4938, 48eqtrd 2493 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^
( M  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4395  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391    x. cmul 9393    <_ cle 9525    / cdiv 10099   NNcn 10428   NN0cn0 10685   ZZcz 10752   RR+crp 11097   ^cexp 11977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-seq 11919  df-exp 11978
This theorem is referenced by:  faclim  27691
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