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Theorem faclimlem3 30376
Description: Lemma for faclim 30377. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^
( M  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) ) ) )

Proof of Theorem faclimlem3
StepHypRef Expression
1 1rp 11307 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
21a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  1  e.  RR+ )
3 nnrp 11312 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
43rpreccld 11352 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  (
1  /  B )  e.  RR+ )
54adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  /  B
)  e.  RR+ )
62, 5rpaddcld 11357 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( 1  /  B ) )  e.  RR+ )
76rpcnd 11344 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( 1  /  B ) )  e.  CC )
8 simpl 458 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  M  e.  NN0 )
97, 8expp1d 12417 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ) )
101a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
1110, 4rpaddcld 11357 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  B ) )  e.  RR+ )
12 nn0z 10961 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
13 rpexpcl 12291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) )  e.  RR+  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  e.  RR+ )
1411, 12, 13syl2anr 480 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  e.  RR+ )
1514rpcnd 11344 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  e.  CC )
16 1cnd 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
17 nn0nndivcl 10937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( M  /  B
)  e.  RR )
1817recnd 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( M  /  B
)  e.  CC )
1916, 18addcomd 9836 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( M  /  B ) )  =  ( ( M  /  B )  +  1 ) )
20 nn0ge0div 11006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( M  /  B ) )
2117, 20ge0p1rpd 11369 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( M  /  B )  +  1 )  e.  RR+ )
2219, 21eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( M  /  B ) )  e.  RR+ )
2322rpcnd 11344 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( M  /  B ) )  e.  CC )
2422rpne0d 11347 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( M  /  B ) )  =/=  0 )
2515, 23, 24divcan1d 10385 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  / 
( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  (
1  +  ( M  /  B ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M ) )
2625oveq1d 6317 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  ( 1  +  ( M  /  B
) ) )  x.  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ) )
2714, 22rpdivcld 11359 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  (
1  +  ( M  /  B ) ) )  e.  RR+ )
2827rpcnd 11344 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  (
1  +  ( M  /  B ) ) )  e.  CC )
2928, 23, 7mulassd 9667 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  ( 1  +  ( M  /  B
) ) )  x.  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ) ) )
309, 26, 293eqtr2d 2469 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ) ) )
3130oveq1d 6317 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^
( M  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  (
1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  B
) ) ) )
3222, 6rpmulcld 11358 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( M  /  B
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) )  e.  RR+ )
3332rpcnd 11344 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( M  /  B
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) )  e.  CC )
34 nn0p1nn 10910 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
3534nnrpd 11340 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
3635adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
373adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR+ )
3836, 37rpdivcld 11359 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  /  B
)  e.  RR+ )
392, 38rpaddcld 11357 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) )  e.  RR+ )
4039rpcnd 11344 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) )  e.  CC )
4139rpne0d 11347 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) )  =/=  0 )
4228, 33, 40, 41divassd 10419 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  ( 1  +  ( M  /  B
) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  B
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) ) ) )
4331, 42eqtrd 2463 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^
( M  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868  (class class class)co 6302   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    / cdiv 10270   NNcn 10610   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   RR+crp 11303   ^cexp 12272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-seq 12214  df-exp 12273
This theorem is referenced by:  faclim  30377
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