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Theorem faclimlem3 29414
Description: Lemma for faclim 29415. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^
( M  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) ) ) )

Proof of Theorem faclimlem3
StepHypRef Expression
1 1rp 11225 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
21a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  1  e.  RR+ )
3 nnrp 11230 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
43rpreccld 11269 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  (
1  /  B )  e.  RR+ )
54adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  /  B
)  e.  RR+ )
62, 5rpaddcld 11274 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( 1  /  B ) )  e.  RR+ )
76rpcnd 11261 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( 1  /  B ) )  e.  CC )
8 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  M  e.  NN0 )
97, 8expp1d 12296 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ) )
101a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
1110, 4rpaddcld 11274 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  B ) )  e.  RR+ )
12 nn0z 10883 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
13 rpexpcl 12170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) )  e.  RR+  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  e.  RR+ )
1411, 12, 13syl2anr 476 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  e.  RR+ )
1514rpcnd 11261 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  e.  CC )
16 1cnd 9601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
17 nn0nndivcl 10859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( M  /  B
)  e.  RR )
1817recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( M  /  B
)  e.  CC )
1916, 18addcomd 9771 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( M  /  B ) )  =  ( ( M  /  B )  +  1 ) )
20 nn0ge0div 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( M  /  B ) )
2117, 20ge0p1rpd 11285 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( M  /  B )  +  1 )  e.  RR+ )
2219, 21eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( M  /  B ) )  e.  RR+ )
2322rpcnd 11261 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( M  /  B ) )  e.  CC )
2422rpne0d 11264 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( M  /  B ) )  =/=  0 )
2515, 23, 24divcan1d 10317 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  / 
( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  (
1  +  ( M  /  B ) ) )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M ) )
2625oveq1d 6285 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  ( 1  +  ( M  /  B
) ) )  x.  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ) )
2714, 22rpdivcld 11276 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  (
1  +  ( M  /  B ) ) )  e.  RR+ )
2827rpcnd 11261 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  (
1  +  ( M  /  B ) ) )  e.  CC )
2928, 23, 7mulassd 9608 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  ( 1  +  ( M  /  B
) ) )  x.  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ) ) )
309, 26, 293eqtr2d 2501 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ) ) )
3130oveq1d 6285 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^
( M  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  (
1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  B
) ) ) )
3222, 6rpmulcld 11275 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( M  /  B
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) )  e.  RR+ )
3332rpcnd 11261 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( M  /  B
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) )  e.  CC )
34 nn0p1nn 10831 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
3534nnrpd 11257 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
3635adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
373adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR+ )
3836, 37rpdivcld 11276 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( M  + 
1 )  /  B
)  e.  RR+ )
392, 38rpaddcld 11274 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) )  e.  RR+ )
4039rpcnd 11261 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) )  e.  CC )
4139rpne0d 11264 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) )  =/=  0 )
4228, 33, 40, 41divassd 10351 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^ M )  /  ( 1  +  ( M  /  B
) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  B
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  B ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) ) ) )
4331, 42eqtrd 2495 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  B ) ) ^
( M  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  B
) ) ^ M
)  /  ( 1  +  ( M  /  B ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  B ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  B
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  B ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    / cdiv 10202   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   RR+crp 11221   ^cexp 12151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12093  df-exp 12152
This theorem is referenced by:  faclim  29415
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