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Theorem faclimlem1 30380
Description: Lemma for faclim 30383. Closed form for a particular sequence. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem1  |-  ( M  e.  NN0  ->  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, M    x, M

Proof of Theorem faclimlem1
Dummy variables  a 
b  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 1 ) )
2 1z 10969 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
3 seq1 12227 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
) )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
)
51, 4syl6eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
) )
6 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
a  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
7 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )
86, 7oveq12d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  / 
( 1  +  ( M  +  1 ) ) ) )
98oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  1  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
105, 9eqeq12d 2445 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 1 )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( 1  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) ) )
1110imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
12 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  k  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k ) )
13 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  k  ->  (
a  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
14 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  k  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )
1513, 14oveq12d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  k  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) )
1615oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  k  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
1712, 16eqeq12d 2445 . . . . . . 7  |-  ( a  =  k  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
1817imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( a  =  k  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
19 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
20 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
a  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
21 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) )
2220, 21oveq12d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) )
2322oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  (
( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
2419, 23eqeq12d 2445 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
2524imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
26 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 b ) )
27 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
28 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( b  +  ( M  +  1 ) ) )
2927, 28oveq12d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) )
3029oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  (
b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
3126, 30eqeq12d 2445 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
3231imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  ( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
33 1nn 10622 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
34 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( M  /  n )  =  ( M  /  1
) )
3534oveq2d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
1  +  ( M  /  n ) )  =  ( 1  +  ( M  /  1
) ) )
36 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
1 ) )
3736oveq2d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )
3835, 37oveq12d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( M  / 
1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ) )
39 oveq2 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( M  +  1 )  /  n )  =  ( ( M  +  1 )  / 
1 ) )
4039oveq2d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )
4138, 40oveq12d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  1 ) ) ) )
42 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) )
43 ovex 6331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )  e. 
_V
4441, 42, 43fvmpt 5962 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
)  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) ) )
4533, 44ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  1 ) ) )
46 nn0cn 10881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
4746div1d 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  /  1 )  =  M )
4847oveq2d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  / 
1 ) )  =  ( 1  +  M
) )
49 1div1e1 10302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5049oveq2i 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( 1  +  1 )
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
5248, 51oveq12d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )  =  ( ( 1  +  M )  x.  (
1  +  1 ) ) )
53 nn0p1nn 10911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
5453nncnd 10627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
5554div1d 10377 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  +  1 )  /  1 )  =  ( M  +  1 ) )
5655oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
1 ) )  =  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )
5752, 56oveq12d 6321 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )  =  ( ( ( 1  +  M )  x.  ( 1  +  1 ) )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) )
58 1cnd 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
5958, 46addcomd 9837 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  M )  =  ( M  +  1 ) )
6059oveq1d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( 1  +  M )  x.  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
1  +  1 ) ) )
6160oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  M
)  x.  ( 1  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( 1  +  1 ) )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) )
62 ax-1cn 9599 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
6362, 62addcli 9649 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  e.  CC
6463a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  1 )  e.  CC )
6533a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  e.  NN )
6665, 53nnaddcld 10658 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  + 
1 ) )  e.  NN )
6766nncnd 10627 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  + 
1 ) )  e.  CC )
6866nnne0d 10656 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  + 
1 ) )  =/=  0 )
6954, 64, 67, 68divassd 10420 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( 1  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( 1  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
7057, 61, 693eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( 1  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
7145, 70syl5eq 2476 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
72 seqp1 12229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) ) )
73 nnuz 11196 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7472, 73eleq2s 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) ) )
7574adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
7675adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
77 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
7877adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
79 peano2nn 10623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
80 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  /  n )  =  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )
8180oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( M  /  n ) )  =  ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) ) )
82 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
8382oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )
8481, 83oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) )
85 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  +  1 )  /  n )  =  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) )
8685oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) )
8784, 86oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) )
88 ovex 6331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
8987, 42, 88fvmpt 5962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
9079, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
9190oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
9291adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
9353adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  NN )
9493nncnd 10627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  CC )
9579adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
9695nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR+ )
97 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN )
9897nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR+ )
9993nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  RR+ )
10098, 99rpaddcld 11358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
10196, 100rpdivcld 11360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
102101rpcnd 11345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  e.  CC )
103 1cnd 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
104 nn0re 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
105104adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
106105, 95nndivred 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
107106recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  /  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
108103, 107addcomd 9837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( M  /  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
109 nn0ge0 10897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
110109adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  M )
111105, 96, 110divge0d 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )
112106, 111ge0p1rpd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  / 
( k  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR+ )
113108, 112eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
114 1rp 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR+
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR+ )
11696rpreccld 11353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR+ )
117115, 116rpaddcld 11358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
118113, 117rpmulcld 11359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
11999, 96rpdivcld 11360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR+ )
120115, 119rpaddcld 11358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
121118, 120rpdivcld 11360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
122121rpcnd 11345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
12394, 102, 122mulassd 9668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
124101, 118rpmulcld 11359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR+ )
125124rpcnd 11345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  CC )
126120rpcnd 11345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
12795nncnd 10627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
128120rpne0d 11348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  =/=  0 )
12995nnne0d 10656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  =/=  0 )
130125, 126, 127, 128, 129divcan5d 10411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )  /  (
( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
131118rpcnd 11345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
132127, 102, 131mul12d 9844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
133113rpcnd 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
134117rpcnd 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
135127, 133, 134mulassd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
136127, 103, 107adddid 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( M  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
137127mulid1d 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  1 )  =  ( k  +  1 ) )
138 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
139138nn0cnd 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
140139, 127, 129divcan2d 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  =  M )
141137, 140oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  M ) )
14297nncnd 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
143142, 103, 139addassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  +  M
)  =  ( k  +  ( 1  +  M ) ) )
144103, 139addcomd 9837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  M
)  =  ( M  +  1 ) )
145144oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( 1  +  M ) )  =  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )
146143, 145eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  +  M
)  =  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )
147136, 141, 1463eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )
148147oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  ( M  +  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
149135, 148eqtr3d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  ( M  +  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
150149oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( k  +  ( M  + 
1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
151100rpcnd 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( M  +  1 ) )  e.  CC )
152102, 151, 134mulassd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( k  +  ( M  + 
1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
153100rpne0d 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( M  +  1 ) )  =/=  0 )
154127, 151, 153divcan1d 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  =  ( k  +  1 ) )
155154oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
156116rpcnd 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
157127, 103, 156adddid 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
158103, 127, 129divcan2d 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  /  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )
159137, 158oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
160155, 157, 1593eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
161152, 160eqtr3d 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( k  +  ( M  +  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
162132, 150, 1613eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
163119rpcnd 11345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
164127, 103, 163adddid 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16594, 127, 129divcan2d 10387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  =  ( M  +  1 ) )
166137, 165oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( M  + 
1 ) ) )
167164, 166eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( M  + 
1 ) ) )
168162, 167oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )  /  (
( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) )
169102, 131, 126, 128divassd 10420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
170130, 168, 1693eqtr3rd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) )
171170oveq2d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
17292, 123, 1713eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
173172adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
17476, 78, 1733eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
175174exp31 608 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
176175a2d 30 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  -> 
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  (
( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
17711, 18, 25, 32, 71, 176nnind 10629 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  ( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
178177impcom 432 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  (
b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
179 oveq1 6310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
180 oveq1 6310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x  +  ( M  +  1 ) )  =  ( b  +  ( M  +  1 ) ) )
181179, 180oveq12d 6321 . . . . . . 7  |-  ( x  =  b  ->  (
( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) )
182181oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( x  =  b  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  (
b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
183 eqid 2423 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  + 
1 )  /  (
x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
184 ovex 6331 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
185182, 183, 184fvmpt 5962 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
186185adantl 468 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  + 
1 )  /  (
x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  ( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
187178, 186eqtr4d 2467 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) `
 b ) )
188187ralrimiva 2840 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  A. b  e.  NN  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) `  b ) )
189 seqfn 12226 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
1902, 189ax-mp 5 . . . 4  |-  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
19173fneq2i 5687 . . . 4  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  NN  <->  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
192190, 191mpbir 213 . . 3  |-  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  NN
193 ovex 6331 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
194193, 183fnmpti 5722 . . 3  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  Fn  NN
195 eqfnfv 5989 . . 3  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  NN  /\  (
x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) )  Fn  NN )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) )  <->  A. b  e.  NN  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 b )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  + 
1 )  /  (
x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) `  b ) ) )
196192, 194, 195mp2an 677 . 2  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <->  A. b  e.  NN  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) `  b ) )
197188, 196sylibr 216 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480    Fn wfn 5594   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    <_ cle 9678    / cdiv 10271   NNcn 10611   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   RR+crp 11304    seqcseq 12214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-seq 12215
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