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Theorem faclimlem1 27680
Description: Lemma for faclim 27683. Closed form for a particular sequence. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem1  |-  ( M  e.  NN0  ->  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, M    x, M

Proof of Theorem faclimlem1
Dummy variables  a 
b  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5786 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 1 ) )
2 1z 10774 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
3 seq1 11917 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
) )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
)
51, 4syl6eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
) )
6 oveq1 6194 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
a  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
7 oveq1 6194 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )
86, 7oveq12d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  / 
( 1  +  ( M  +  1 ) ) ) )
98oveq2d 6203 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  1  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
105, 9eqeq12d 2472 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 1 )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( 1  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) ) )
1110imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
12 fveq2 5786 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  k  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k ) )
13 oveq1 6194 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  k  ->  (
a  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
14 oveq1 6194 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  k  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )
1513, 14oveq12d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  k  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) )
1615oveq2d 6203 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  k  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
1712, 16eqeq12d 2472 . . . . . . 7  |-  ( a  =  k  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  k  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
19 fveq2 5786 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
20 oveq1 6194 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
a  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
21 oveq1 6194 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) )
2220, 21oveq12d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) )
2322oveq2d 6203 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  (
( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
2419, 23eqeq12d 2472 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
2524imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
26 fveq2 5786 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 b ) )
27 oveq1 6194 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
28 oveq1 6194 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( b  +  ( M  +  1 ) ) )
2927, 28oveq12d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) )
3029oveq2d 6203 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  (
b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
3126, 30eqeq12d 2472 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
3231imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  ( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
33 1nn 10431 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
34 oveq2 6195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( M  /  n )  =  ( M  /  1
) )
3534oveq2d 6203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
1  +  ( M  /  n ) )  =  ( 1  +  ( M  /  1
) ) )
36 oveq2 6195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
1 ) )
3736oveq2d 6203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )
3835, 37oveq12d 6205 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( M  / 
1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ) )
39 oveq2 6195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( M  +  1 )  /  n )  =  ( ( M  +  1 )  / 
1 ) )
4039oveq2d 6203 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )
4138, 40oveq12d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  1 ) ) ) )
42 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) )
43 ovex 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )  e. 
_V
4441, 42, 43fvmpt 5870 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
)  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) ) )
4533, 44ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  1 ) ) )
46 nn0cn 10687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
4746div1d 10197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  /  1 )  =  M )
4847oveq2d 6203 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  / 
1 ) )  =  ( 1  +  M
) )
49 1div1e1 10122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5049oveq2i 6198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( 1  +  1 )
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
5248, 51oveq12d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )  =  ( ( 1  +  M )  x.  (
1  +  1 ) ) )
53 nn0p1nn 10717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
5453nncnd 10436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
5554div1d 10197 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  +  1 )  /  1 )  =  ( M  +  1 ) )
5655oveq2d 6203 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
1 ) )  =  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )
5752, 56oveq12d 6205 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )  =  ( ( ( 1  +  M )  x.  ( 1  +  1 ) )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) )
58 ax-1cn 9438 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
6059, 46addcomd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  M )  =  ( M  +  1 ) )
6160oveq1d 6202 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( 1  +  M )  x.  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
1  +  1 ) ) )
6261oveq1d 6202 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  M
)  x.  ( 1  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( 1  +  1 ) )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) )
6358, 58addcli 9488 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  e.  CC
6463a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  1 )  e.  CC )
6533a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  e.  NN )
6665, 53nnaddcld 10466 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  + 
1 ) )  e.  NN )
6766nncnd 10436 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  + 
1 ) )  e.  CC )
6866nnne0d 10464 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  + 
1 ) )  =/=  0 )
6954, 64, 67, 68divassd 10240 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( 1  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( 1  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
7057, 62, 693eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( 1  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
7145, 70syl5eq 2503 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
72 seqp1 11919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) ) )
73 nnuz 10994 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7472, 73eleq2s 2557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
77 oveq1 6194 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
7877adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
79 peano2nn 10432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
80 oveq2 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  /  n )  =  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )
8180oveq2d 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( M  /  n ) )  =  ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) ) )
82 oveq2 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
8382oveq2d 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )
8481, 83oveq12d 6205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) )
85 oveq2 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  +  1 )  /  n )  =  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) )
8685oveq2d 6203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) )
8784, 86oveq12d 6205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) )
88 ovex 6212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
8987, 42, 88fvmpt 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
9079, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
9190oveq2d 6203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
9353adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  NN )
9493nncnd 10436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  CC )
9579adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
9695nnrpd 11124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR+ )
97 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN )
9897nnrpd 11124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR+ )
9993nnrpd 11124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  RR+ )
10098, 99rpaddcld 11140 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
10196, 100rpdivcld 11142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
102101rpcnd 11127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  e.  CC )
10358a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
104 nn0re 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
105104adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
106105, 95nndivred 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
107106recnd 9510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  /  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
108103, 107addcomd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( M  /  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
109 nn0ge0 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  M )
111105, 96, 110divge0d 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )
112106, 111ge0p1rpd 11151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  / 
( k  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR+ )
113108, 112eqeltrd 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
114 1rp 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR+
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR+ )
11696rpreccld 11135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR+ )
117115, 116rpaddcld 11140 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
118113, 117rpmulcld 11141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
11999, 96rpdivcld 11142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR+ )
120115, 119rpaddcld 11140 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
121118, 120rpdivcld 11142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
122121rpcnd 11127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
12394, 102, 122mulassd 9507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
124101, 118rpmulcld 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR+ )
125124rpcnd 11127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  CC )
126120rpcnd 11127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
12795nncnd 10436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
128120rpne0d 11130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  =/=  0 )
12995nnne0d 10464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  =/=  0 )
130125, 126, 127, 128, 129divcan5d 10231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )  /  (
( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
131118rpcnd 11127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
132127, 102, 131mul12d 9676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
133113rpcnd 11127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
134117rpcnd 11127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
135127, 133, 134mulassd 9507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
136127, 103, 107adddid 9508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( M  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
137127mulid1d 9501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  1 )  =  ( k  +  1 ) )
138 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
139138nn0cnd 10736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
140139, 127, 129divcan2d 10207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  =  M )
141137, 140oveq12d 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  M ) )
14297nncnd 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
143142, 103, 139addassd 9506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  +  M
)  =  ( k  +  ( 1  +  M ) ) )
144103, 139addcomd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  M
)  =  ( M  +  1 ) )
145144oveq2d 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( 1  +  M ) )  =  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )
146143, 145eqtrd 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  +  M
)  =  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )
147136, 141, 1463eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )
148147oveq1d 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  ( M  +  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
149135, 148eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  ( M  +  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
150149oveq2d 6203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( k  +  ( M  + 
1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
151100rpcnd 11127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( M  +  1 ) )  e.  CC )
152102, 151, 134mulassd 9507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( k  +  ( M  + 
1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
153100rpne0d 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( M  +  1 ) )  =/=  0 )
154127, 151, 153divcan1d 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  =  ( k  +  1 ) )
155154oveq1d 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
156116rpcnd 11127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
157127, 103, 156adddid 9508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
158103, 127, 129divcan2d 10207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  /  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )
159137, 158oveq12d 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
160155, 157, 1593eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
161152, 160eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( k  +  ( M  +  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
162132, 150, 1613eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
163119rpcnd 11127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
164127, 103, 163adddid 9508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16594, 127, 129divcan2d 10207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  =  ( M  +  1 ) )
166137, 165oveq12d 6205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( M  + 
1 ) ) )
167164, 166eqtrd 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( M  + 
1 ) ) )
168162, 167oveq12d 6205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )  /  (
( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) )
169102, 131, 126, 128divassd 10240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
170130, 168, 1693eqtr3rd 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) )
171170oveq2d 6203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
17292, 123, 1713eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
173172adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
17476, 78, 1733eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
175174exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
176175a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  -> 
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  (
( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
17711, 18, 25, 32, 71, 176nnind 10438 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  ( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
178177impcom 430 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  (
b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
179 oveq1 6194 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
180 oveq1 6194 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x  +  ( M  +  1 ) )  =  ( b  +  ( M  +  1 ) ) )
181179, 180oveq12d 6205 . . . . . . 7  |-  ( x  =  b  ->  (
( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) )
182181oveq2d 6203 . . . . . 6  |-  ( x  =  b  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  (
b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
183 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  + 
1 )  /  (
x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
184 ovex 6212 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
185182, 183, 184fvmpt 5870 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
186185adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  + 
1 )  /  (
x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  ( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
187178, 186eqtr4d 2494 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) `
 b ) )
188187ralrimiva 2820 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  A. b  e.  NN  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) `  b ) )
189 seqfn 11916 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
1902, 189ax-mp 5 . . . 4  |-  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
19173fneq2i 5601 . . . 4  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  NN  <->  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
192190, 191mpbir 209 . . 3  |-  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  NN
193 ovex 6212 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
194193, 183fnmpti 5634 . . 3  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  Fn  NN
195 eqfnfv 5893 . . 3  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  NN  /\  (
x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) )  Fn  NN )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) )  <->  A. b  e.  NN  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 b )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  + 
1 )  /  (
x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) `  b ) ) )
196192, 194, 195mp2an 672 . 2  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <->  A. b  e.  NN  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) `  b ) )
197188, 196sylibr 212 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2793   class class class wbr 4387    |-> cmpt 4445    Fn wfn 5508   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   CCcc 9378   RRcr 9379   0cc0 9380   1c1 9381    + caddc 9383    x. cmul 9385    <_ cle 9517    / cdiv 10091   NNcn 10420   NN0cn0 10677   ZZcz 10744   ZZ>=cuz 10959   RR+crp 11089    seqcseq 11904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-rp 11090  df-seq 11905
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