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Theorem faclimlem1 29386
Description: Lemma for faclim 29389. Closed form for a particular sequence. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem1  |-  ( M  e.  NN0  ->  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, M    x, M

Proof of Theorem faclimlem1
Dummy variables  a 
b  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 1 ) )
2 1z 10915 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
3 seq1 12123 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
) )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
)
51, 4syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
) )
6 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
a  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
7 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )
86, 7oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  / 
( 1  +  ( M  +  1 ) ) ) )
98oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  1  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
105, 9eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 1 )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( 1  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) ) )
1110imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
12 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  k  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k ) )
13 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  k  ->  (
a  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
14 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  k  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )
1513, 14oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  k  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) )
1615oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  k  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
1712, 16eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( a  =  k  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  k  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
19 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
20 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
a  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
21 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) )
2220, 21oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) )
2322oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  (
( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
2419, 23eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
2524imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
26 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 b ) )
27 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
28 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( b  +  ( M  +  1 ) ) )
2927, 28oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) )
3029oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  (
b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
3126, 30eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
3231imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  ( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
33 1nn 10567 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
34 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( M  /  n )  =  ( M  /  1
) )
3534oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
1  +  ( M  /  n ) )  =  ( 1  +  ( M  /  1
) ) )
36 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
1 ) )
3736oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )
3835, 37oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( M  / 
1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ) )
39 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( M  +  1 )  /  n )  =  ( ( M  +  1 )  / 
1 ) )
4039oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )
4138, 40oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  1 ) ) ) )
42 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) )
43 ovex 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )  e. 
_V
4441, 42, 43fvmpt 5956 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
)  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) ) )
4533, 44ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  1 ) ) )
46 nn0cn 10826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
4746div1d 10333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  /  1 )  =  M )
4847oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  / 
1 ) )  =  ( 1  +  M
) )
49 1div1e1 10258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5049oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( 1  +  1 )
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
5248, 51oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )  =  ( ( 1  +  M )  x.  (
1  +  1 ) ) )
53 nn0p1nn 10856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
5453nncnd 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
5554div1d 10333 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  +  1 )  /  1 )  =  ( M  +  1 ) )
5655oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
1 ) )  =  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )
5752, 56oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )  =  ( ( ( 1  +  M )  x.  ( 1  +  1 ) )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) )
58 1cnd 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
5958, 46addcomd 9799 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  M )  =  ( M  +  1 ) )
6059oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( 1  +  M )  x.  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
1  +  1 ) ) )
6160oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  M
)  x.  ( 1  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( 1  +  1 ) )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) )
62 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
6362, 62addcli 9617 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  e.  CC
6463a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  1 )  e.  CC )
6533a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  e.  NN )
6665, 53nnaddcld 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  + 
1 ) )  e.  NN )
6766nncnd 10572 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  + 
1 ) )  e.  CC )
6866nnne0d 10601 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  + 
1 ) )  =/=  0 )
6954, 64, 67, 68divassd 10376 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( 1  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( 1  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
7057, 61, 693eqtrd 2502 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( 1  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
7145, 70syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
72 seqp1 12125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) ) )
73 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7472, 73eleq2s 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
77 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
7877adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
79 peano2nn 10568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
80 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  /  n )  =  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )
8180oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( M  /  n ) )  =  ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) ) )
82 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
8382oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )
8481, 83oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) )
85 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  +  1 )  /  n )  =  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) )
8685oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) )
8784, 86oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) )
88 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
8987, 42, 88fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
9079, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
9190oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
9353adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  NN )
9493nncnd 10572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  CC )
9579adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
9695nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR+ )
97 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN )
9897nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR+ )
9993nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  RR+ )
10098, 99rpaddcld 11296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
10196, 100rpdivcld 11298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
102101rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  e.  CC )
103 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
104 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
105104adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
106105, 95nndivred 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
107106recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  /  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
108103, 107addcomd 9799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( M  /  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
109 nn0ge0 10842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  M )
111105, 96, 110divge0d 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )
112106, 111ge0p1rpd 11307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  / 
( k  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR+ )
113108, 112eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
114 1rp 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR+
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR+ )
11696rpreccld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR+ )
117115, 116rpaddcld 11296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
118113, 117rpmulcld 11297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
11999, 96rpdivcld 11298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR+ )
120115, 119rpaddcld 11296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
121118, 120rpdivcld 11298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
122121rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
12394, 102, 122mulassd 9636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
124101, 118rpmulcld 11297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR+ )
125124rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  CC )
126120rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
12795nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
128120rpne0d 11286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  =/=  0 )
12995nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  =/=  0 )
130125, 126, 127, 128, 129divcan5d 10367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )  /  (
( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
131118rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
132127, 102, 131mul12d 9806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
133113rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
134117rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
135127, 133, 134mulassd 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
136127, 103, 107adddid 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( M  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
137127mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  1 )  =  ( k  +  1 ) )
138 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
139138nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
140139, 127, 129divcan2d 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  =  M )
141137, 140oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  M ) )
14297nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
143142, 103, 139addassd 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  +  M
)  =  ( k  +  ( 1  +  M ) ) )
144103, 139addcomd 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  M
)  =  ( M  +  1 ) )
145144oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( 1  +  M ) )  =  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )
146143, 145eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  +  M
)  =  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )
147136, 141, 1463eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )
148147oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  ( M  +  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
149135, 148eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  ( M  +  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
150149oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( k  +  ( M  + 
1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
151100rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( M  +  1 ) )  e.  CC )
152102, 151, 134mulassd 9636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( k  +  ( M  + 
1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
153100rpne0d 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( M  +  1 ) )  =/=  0 )
154127, 151, 153divcan1d 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  =  ( k  +  1 ) )
155154oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
156116rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
157127, 103, 156adddid 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
158103, 127, 129divcan2d 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  /  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )
159137, 158oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
160155, 157, 1593eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
161152, 160eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( k  +  ( M  +  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
162132, 150, 1613eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
163119rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
164127, 103, 163adddid 9637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16594, 127, 129divcan2d 10343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  =  ( M  +  1 ) )
166137, 165oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( M  + 
1 ) ) )
167164, 166eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( M  + 
1 ) ) )
168162, 167oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )  /  (
( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) )
169102, 131, 126, 128divassd 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
170130, 168, 1693eqtr3rd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) )
171170oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
17292, 123, 1713eqtrd 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
173172adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
17476, 78, 1733eqtrd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
175174exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
176175a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  -> 
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  (
( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
17711, 18, 25, 32, 71, 176nnind 10574 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  ( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
178177impcom 430 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  (
b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
179 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
180 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x  +  ( M  +  1 ) )  =  ( b  +  ( M  +  1 ) ) )
181179, 180oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( x  =  b  ->  (
( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) )
182181oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( x  =  b  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  (
b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
183 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  + 
1 )  /  (
x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
184 ovex 6324 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
185182, 183, 184fvmpt 5956 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
186185adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  + 
1 )  /  (
x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  ( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
187178, 186eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) `
 b ) )
188187ralrimiva 2871 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  A. b  e.  NN  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) `  b ) )
189 seqfn 12122 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
1902, 189ax-mp 5 . . . 4  |-  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
19173fneq2i 5682 . . . 4  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  NN  <->  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
192190, 191mpbir 209 . . 3  |-  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  NN
193 ovex 6324 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
194193, 183fnmpti 5715 . . 3  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  Fn  NN
195 eqfnfv 5982 . . 3  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  NN  /\  (
x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) )  Fn  NN )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) )  <->  A. b  e.  NN  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 b )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  + 
1 )  /  (
x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) `  b ) ) )
196192, 194, 195mp2an 672 . 2  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <->  A. b  e.  NN  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) `  b ) )
197188, 196sylibr 212 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646    / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245    seqcseq 12110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111
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