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Theorem faclimlem1 28595
Description: Lemma for faclim 28598. Closed form for a particular sequence. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem1  |-  ( M  e.  NN0  ->  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, M    x, M

Proof of Theorem faclimlem1
Dummy variables  a 
b  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 1 ) )
2 1z 10883 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
3 seq1 12076 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
) )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
)
51, 4syl6eq 2517 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
) )
6 oveq1 6282 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
a  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
7 oveq1 6282 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )
86, 7oveq12d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  / 
( 1  +  ( M  +  1 ) ) ) )
98oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  1  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
105, 9eqeq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 1 )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( 1  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) ) )
1110imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
12 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  k  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k ) )
13 oveq1 6282 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  k  ->  (
a  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
14 oveq1 6282 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  k  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )
1513, 14oveq12d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  k  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) )
1615oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  k  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
1712, 16eqeq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( a  =  k  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  k  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
19 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
20 oveq1 6282 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
a  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
21 oveq1 6282 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) )
2220, 21oveq12d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) )
2322oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  (
( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
2419, 23eqeq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
2524imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
26 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 b ) )
27 oveq1 6282 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
28 oveq1 6282 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  ( M  +  1 ) )  =  ( b  +  ( M  +  1 ) ) )
2927, 28oveq12d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) )
3029oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  +  1 ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  (
b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
3126, 30eqeq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 a )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( a  +  1 )  /  ( a  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
3231imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
a  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  ( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
33 1nn 10536 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
34 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( M  /  n )  =  ( M  /  1
) )
3534oveq2d 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
1  +  ( M  /  n ) )  =  ( 1  +  ( M  /  1
) ) )
36 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
1 ) )
3736oveq2d 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )
3835, 37oveq12d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( M  / 
1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ) )
39 oveq2 6283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( M  +  1 )  /  n )  =  ( ( M  +  1 )  / 
1 ) )
4039oveq2d 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )
4138, 40oveq12d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  1 ) ) ) )
42 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) )
43 ovex 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )  e. 
_V
4441, 42, 43fvmpt 5941 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
)  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) ) )
4533, 44ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  1 ) ) )
46 nn0cn 10794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
4746div1d 10301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  /  1 )  =  M )
4847oveq2d 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  / 
1 ) )  =  ( 1  +  M
) )
49 1div1e1 10226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5049oveq2i 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( 1  +  1 )
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
5248, 51oveq12d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  1
) ) )  =  ( ( 1  +  M )  x.  (
1  +  1 ) ) )
53 nn0p1nn 10824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
5453nncnd 10541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
5554div1d 10301 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  +  1 )  /  1 )  =  ( M  +  1 ) )
5655oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
1 ) )  =  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )
5752, 56oveq12d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )  =  ( ( ( 1  +  M )  x.  ( 1  +  1 ) )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) )
58 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
6059, 46addcomd 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  M )  =  ( M  +  1 ) )
6160oveq1d 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( 1  +  M )  x.  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
1  +  1 ) ) )
6261oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  M
)  x.  ( 1  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( 1  +  1 ) )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) )
6358, 58addcli 9589 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  e.  CC
6463a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  1 )  e.  CC )
6533a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  e.  NN )
6665, 53nnaddcld 10571 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  + 
1 ) )  e.  NN )
6766nncnd 10541 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  + 
1 ) )  e.  CC )
6866nnne0d 10569 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  +  ( M  + 
1 ) )  =/=  0 )
6954, 64, 67, 68divassd 10344 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( 1  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( 1  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
7057, 62, 693eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  ( M  /  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  1
) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( 1  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
7145, 70syl5eq 2513 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
1  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
72 seqp1 12078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) ) )
73 nnuz 11106 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7472, 73eleq2s 2568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
77 oveq1 6282 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
7877adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
79 peano2nn 10537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
80 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  /  n )  =  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )
8180oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( M  /  n ) )  =  ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) ) )
82 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
8382oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )
8481, 83oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) )
85 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  +  1 )  /  n )  =  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) )
8685oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) )
8784, 86oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) )
88 ovex 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
8987, 42, 88fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
9079, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
9190oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
9353adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  NN )
9493nncnd 10541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  CC )
9579adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
9695nnrpd 11244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR+ )
97 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN )
9897nnrpd 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR+ )
9993nnrpd 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  RR+ )
10098, 99rpaddcld 11260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
10196, 100rpdivcld 11262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
102101rpcnd 11247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  e.  CC )
10358a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
104 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
105104adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
106105, 95nndivred 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
107106recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  /  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
108103, 107addcomd 9770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( M  /  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
109 nn0ge0 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  M )
111105, 96, 110divge0d 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )
112106, 111ge0p1rpd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  / 
( k  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR+ )
113108, 112eqeltrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
114 1rp 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR+
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR+ )
11696rpreccld 11255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR+ )
117115, 116rpaddcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
118113, 117rpmulcld 11261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
11999, 96rpdivcld 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR+ )
120115, 119rpaddcld 11260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
121118, 120rpdivcld 11262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
122121rpcnd 11247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
12394, 102, 122mulassd 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
124101, 118rpmulcld 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR+ )
125124rpcnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  CC )
126120rpcnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
12795nncnd 10541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
128120rpne0d 11250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  =/=  0 )
12995nnne0d 10569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  =/=  0 )
130125, 126, 127, 128, 129divcan5d 10335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )  /  (
( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
131118rpcnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
132127, 102, 131mul12d 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
133113rpcnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
134117rpcnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
135127, 133, 134mulassd 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( 1  +  ( M  / 
( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
136127, 103, 107adddid 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( M  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
137127mulid1d 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  1 )  =  ( k  +  1 ) )
138 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
139138nn0cnd 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
140139, 127, 129divcan2d 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  =  M )
141137, 140oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  M ) )
14297nncnd 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
143142, 103, 139addassd 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  +  M
)  =  ( k  +  ( 1  +  M ) ) )
144103, 139addcomd 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  M
)  =  ( M  +  1 ) )
145144oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( 1  +  M ) )  =  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )
146143, 145eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  +  M
)  =  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )
147136, 141, 1463eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )
148147oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  ( M  +  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
149135, 148eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  ( M  +  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
150149oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( k  +  ( M  + 
1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
151100rpcnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( M  +  1 ) )  e.  CC )
152102, 151, 134mulassd 9608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( k  +  ( M  + 
1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
153100rpne0d 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( k  +  ( M  +  1 ) )  =/=  0 )
154127, 151, 153divcan1d 10310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  =  ( k  +  1 ) )
155154oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
156116rpcnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
157127, 103, 156adddid 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
158103, 127, 129divcan2d 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  /  ( k  +  1 ) ) )  =  1 )
159137, 158oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
160155, 157, 1593eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
161152, 160eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( k  +  ( M  +  1 ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
162132, 150, 1613eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
163119rpcnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
164127, 103, 163adddid 9609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16594, 127, 129divcan2d 10311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) )  =  ( M  +  1 ) )
166137, 165oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  1 )  +  ( ( k  +  1 )  x.  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( M  + 
1 ) ) )
167164, 166eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  x.  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( M  + 
1 ) ) )
168162, 167oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )  /  (
( k  +  1 )  x.  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) )
169102, 131, 126, 128divassd 10344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
k  +  1 ) ) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
170130, 168, 1693eqtr3rd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( M  /  (
k  +  1 ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  / 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) )
171170oveq2d 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( M  /  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
17292, 123, 1713eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
173172adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
17476, 78, 1733eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  M  e.  NN0 )  /\  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
175174exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  =  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  ( ( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
176175a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
k  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  -> 
( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  (
( k  +  1 )  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
17711, 18, 25, 32, 71, 176nnind 10543 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  ( M  e.  NN0  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  ( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
178177impcom 430 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  (
b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
179 oveq1 6282 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
180 oveq1 6282 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x  +  ( M  +  1 ) )  =  ( b  +  ( M  +  1 ) ) )
181179, 180oveq12d 6293 . . . . . . 7  |-  ( x  =  b  ->  (
( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) )
182181oveq2d 6291 . . . . . 6  |-  ( x  =  b  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  (
b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
183 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  + 
1 )  /  (
x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
184 ovex 6300 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
185182, 183, 184fvmpt 5941 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  / 
( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
186185adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  + 
1 )  /  (
x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  /  ( b  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )
187178, 186eqtr4d 2504 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  b )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) `
 b ) )
188187ralrimiva 2871 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  A. b  e.  NN  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) `  b ) )
189 seqfn 12075 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
1902, 189ax-mp 5 . . . 4  |-  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
19173fneq2i 5667 . . . 4  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  NN  <->  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
192190, 191mpbir 209 . . 3  |-  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  NN
193 ovex 6300 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
194193, 183fnmpti 5700 . . 3  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  / 
( x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) )  Fn  NN
195 eqfnfv 5966 . . 3  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  Fn  NN  /\  (
x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) )  Fn  NN )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) )  <->  A. b  e.  NN  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 b )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  + 
1 )  /  (
x  +  ( M  +  1 ) ) ) ) ) `  b ) ) )
196192, 194, 195mp2an 672 . 2  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  + 
1 )  x.  (
( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  + 
1 ) ) ) ) )  <->  A. b  e.  NN  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) `  b ) )
197188, 196sylibr 212 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( M  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( M  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( M  +  1 )  x.  ( ( x  +  1 )  /  ( x  +  ( M  +  1
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498    Fn wfn 5574   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618    / cdiv 10195   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   RR+crp 11209    seqcseq 12063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064
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