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Theorem faclim2 29414
Description: Another factorial limit due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim2.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ M
) )  /  ( ! `  ( n  +  M ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
faclim2  |-  ( M  e.  NN0  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable group:    n, M
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem faclim2
Dummy variables  m  a  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim2.1 . 2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ M
) )  /  ( ! `  ( n  +  M ) ) ) )
2 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^
0 ) )
32oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) ) )
4 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
n  +  a )  =  ( n  + 
0 ) )
54fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  0
) ) )
63, 5oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
0 ) )  / 
( ! `  (
n  +  0 ) ) ) )
76mpteq2dv 4526 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) ) )
87breq1d 4449 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( n  + 
0 ) ) ) )  ~~>  1 ) )
9 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )
109oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) ) )
11 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
n  +  a )  =  ( n  +  m ) )
1211fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  m
) ) )
1310, 12oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( a  =  m  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) )
1413mpteq2dv 4526 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) ) )
1514breq1d 4449 . . 3  |-  ( a  =  m  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 ) )
16 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )
1716oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) ) )
18 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  +  a )  =  ( n  +  ( m  +  1
) ) )
1918fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) )
2017, 19oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
2120mpteq2dv 4526 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) ) ) )
2221breq1d 4449 . . 3  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( n  +  ( m  +  1
) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
23 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )
2423oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ M
) ) )
25 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  (
n  +  a )  =  ( n  +  M ) )
2625fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  M
) ) )
2724, 26oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( a  =  M  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )  / 
( ! `  (
n  +  M ) ) ) )
2827mpteq2dv 4526 . . . 4  |-  ( a  =  M  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )  /  ( ! `  ( n  +  M
) ) ) ) )
2928breq1d 4449 . . 3  |-  ( a  =  M  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ M ) )  /  ( ! `
 ( n  +  M ) ) ) )  ~~>  1 ) )
30 nnuz 11117 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31 1zzd 10891 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
32 nnex 10537 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
3332mptex 6118 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) )  e.  _V
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) )  e.  _V )
35 1cnd 9601 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
36 fveq2 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  m ) )
37 oveq1 6277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
3837oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  +  1 ) ^ 0 )  =  ( ( m  +  1 ) ^
0 ) )
3936, 38oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  =  ( ( ! `
 m )  x.  ( ( m  + 
1 ) ^ 0 ) ) )
40 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  0 )  =  ( m  + 
0 ) )
4140fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  ( n  +  0 ) )  =  ( ! `  ( m  +  0
) ) )
4239, 41oveq12d 6288 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( n  + 
0 ) ) )  =  ( ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 ) ^
0 ) )  / 
( ! `  (
m  +  0 ) ) ) )
43 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
0 ) )  / 
( ! `  (
n  +  0 ) ) ) )
44 ovex 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( m  +  0
) ) )  e. 
_V
4542, 43, 44fvmpt 5931 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) ) `  m
)  =  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( m  +  0
) ) ) )
46 peano2nn 10543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
4746nncnd 10547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  CC )
4847exp0d 12286 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  +  1 ) ^ 0 )  =  1 )
4948oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  =  ( ( ! `
 m )  x.  1 ) )
50 nnnn0 10798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
51 faccl 12345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 m )  e.  NN )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  m )  e.  NN )
5352nncnd 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  m )  e.  CC )
5453mulid1d 9602 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  x.  1 )  =  ( ! `  m ) )
5549, 54eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  =  ( ! `  m ) )
56 nncn 10539 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
5756addid1d 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  0 )  =  m )
5857fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  ( m  +  0 ) )  =  ( ! `  m ) )
5955, 58oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
0 ) ) )  =  ( ( ! `
 m )  / 
( ! `  m
) ) )
6052nnne0d 10576 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  m )  =/=  0 )
6153, 60dividd 10314 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  /  ( ! `
 m ) )  =  1 )
6245, 59, 613eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) ) `  m
)  =  1 )
6362adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) ) `  m
)  =  1 )
6430, 31, 34, 35, 63climconst 13448 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) )  ~~>  1 )
6564trud 1407 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) )  ~~>  1
66 1zzd 10891 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
67 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )
6832mptex 6118 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) ) )  e.  _V
6968a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  e.  _V )
70 1zzd 10891 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  1  e.  ZZ )
71 1cnd 9601 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
72 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
7372nnzd 10964 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  ZZ )
7432mptex 6118 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  e.  _V
7574a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  e.  _V )
76 oveq1 6277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
77 oveq1 6277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  ( m  +  1 ) )  =  ( k  +  ( m  +  1 ) ) )
7876, 77oveq12d 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
79 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) )
80 ovex 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  +  1 ) ) )  e. 
_V
8178, 79, 80fvmpt 5931 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
8281adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )
8330, 70, 71, 73, 75, 82divcnvlin 29359 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  ~~>  1 )
8483adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) )  ~~>  1 )
85 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
8685nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN0 )
87 faccl 12345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `  n
)  e.  NN )
89 peano2nn 10543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
90 nnexpcl 12161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( n  + 
1 ) ^ m
)  e.  NN )
9189, 90sylan 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( n  + 
1 ) ^ m
)  e.  NN )
9291ancoms 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 ) ^ m
)  e.  NN )
9388, 92nnmulcld 10579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  e.  NN )
9493nnred 10546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  e.  RR )
95 nnnn0addcl 10822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( n  +  m
)  e.  NN )
9695ancoms 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  m
)  e.  NN )
9796nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  m
)  e.  NN0 )
98 faccl 12345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( n  +  m ) )  e.  NN )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `  (
n  +  m ) )  e.  NN )
10094, 99nndivred 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) )  e.  RR )
101100recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) )  e.  CC )
102 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) )
103101, 102fmptd 6031 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) ) : NN --> CC )
104103ffvelrnda 6007 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
105104adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
10689adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
107106nnred 10546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
10872adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
10985, 108nnaddcld 10578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  ( m  +  1 ) )  e.  NN )
110107, 109nndivred 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) )  e.  RR )
111110recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) )  e.  CC )
112111, 79fmptd 6031 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) ) : NN --> CC )
113112ffvelrnda 6007 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
114113adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
115 peano2nn 10543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
116115adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
117116nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
118 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
119117, 118expp1d 12293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( k  +  1 ) ^ m )  x.  ( k  +  1 ) ) )
120119oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( ( ( k  +  1 ) ^ m )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
121 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
122121nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
123 faccl 12345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  k
)  e.  NN )
125124nncnd 10547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  k
)  e.  CC )
126 nnexpcl 12161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  NN )
127115, 126sylan 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  NN )
128127ancoms 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  NN )
129128nncnd 10547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  CC )
130125, 129, 117mulassd 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m
) )  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( ( ( k  +  1 ) ^ m )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
131120, 130eqtr4d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
132122, 118nn0addcld 10852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  m
)  e.  NN0 )
133 facp1 12340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( k  +  m )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m
) )  x.  (
( k  +  m
)  +  1 ) ) )
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
( k  +  m
)  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m ) )  x.  ( ( k  +  m )  +  1 ) ) )
135121nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
136118nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
137 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
138135, 136, 137addassd 9607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  m )  +  1 )  =  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) )
139138fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
( k  +  m
)  +  1 ) )  =  ( ! `
 ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
140138oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  ( k  +  m
) )  x.  (
( k  +  m
)  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
141134, 139, 1403eqtr3d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  ( m  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
142131, 141oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  x.  ( k  +  1 ) )  /  ( ( ! `
 ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
143124, 128nnmulcld 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  e.  NN )
144143nncnd 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  e.  CC )
145 faccl 12345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  m ) )  e.  NN )
146132, 145syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  m ) )  e.  NN )
147146nncnd 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  m ) )  e.  CC )
14872adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
149121, 148nnaddcld 10578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  ( m  +  1 ) )  e.  NN )
150149nncnd 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  ( m  +  1 ) )  e.  CC )
151146nnne0d 10576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  m ) )  =/=  0 )
152149nnne0d 10576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  ( m  +  1 ) )  =/=  0 )
153144, 147, 117, 150, 151, 152divmuldivd 10357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  x.  ( k  +  1 ) )  /  ( ( ! `
 ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
154142, 153eqtr4d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( k  +  m ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
155 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
15676oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )
157155, 156oveq12d 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) ) ) )
15877fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ! `  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
159157, 158oveq12d 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
160 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
161 ovex 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
162159, 160, 161fvmpt 5931 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
163162adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
16476oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 ) ^ m )  =  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )
165155, 164oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m
) ) )
166 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  m )  =  ( k  +  m ) )
167166fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  ( n  +  m ) )  =  ( ! `  (
k  +  m ) ) )
168165, 167oveq12d 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( n  +  m ) ) )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) ) )
169 ovex 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( k  +  m
) ) )  e. 
_V
170168, 102, 169fvmpt 5931 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) ) )
171170, 81oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
) )  =  ( ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( k  +  m ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
172171adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) ) `
 k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
173154, 163, 1723eqtr4d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
) ) )
174173adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
) ) )
17530, 66, 67, 69, 84, 105, 114, 174climmul 13537 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  ~~>  ( 1  x.  1 ) )
176 1t1e1 10679 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
177175, 176syl6breq 4478 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  ~~>  1 )
178177ex 432 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( n  +  ( m  +  1
) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
1798, 15, 22, 29, 65, 178nn0ind 10955 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )  /  ( ! `  ( n  +  M
) ) ) )  ~~>  1 )
1801, 179syl5eqbr 4472 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    / cdiv 10202   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ^cexp 12148   !cfa 12335    ~~> cli 13389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394
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