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Theorem faclim2 27403
Description: Another factorial limit due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim2.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ M
) )  /  ( ! `  ( n  +  M ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
faclim2  |-  ( M  e.  NN0  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable group:    n, M
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem faclim2
Dummy variables  m  a  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim2.1 . 2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ M
) )  /  ( ! `  ( n  +  M ) ) ) )
2 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^
0 ) )
32oveq2d 6098 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) ) )
4 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
n  +  a )  =  ( n  + 
0 ) )
54fveq2d 5685 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  0
) ) )
63, 5oveq12d 6100 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
0 ) )  / 
( ! `  (
n  +  0 ) ) ) )
76mpteq2dv 4369 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) ) )
87breq1d 4292 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( n  + 
0 ) ) ) )  ~~>  1 ) )
9 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )
109oveq2d 6098 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) ) )
11 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
n  +  a )  =  ( n  +  m ) )
1211fveq2d 5685 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  m
) ) )
1310, 12oveq12d 6100 . . . . 5  |-  ( a  =  m  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) )
1413mpteq2dv 4369 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) ) )
1514breq1d 4292 . . 3  |-  ( a  =  m  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 ) )
16 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )
1716oveq2d 6098 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) ) )
18 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  +  a )  =  ( n  +  ( m  +  1
) ) )
1918fveq2d 5685 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) )
2017, 19oveq12d 6100 . . . . 5  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
2120mpteq2dv 4369 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) ) ) )
2221breq1d 4292 . . 3  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( n  +  ( m  +  1
) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
23 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )
2423oveq2d 6098 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ M
) ) )
25 oveq2 6090 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  (
n  +  a )  =  ( n  +  M ) )
2625fveq2d 5685 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  M
) ) )
2724, 26oveq12d 6100 . . . . 5  |-  ( a  =  M  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )  / 
( ! `  (
n  +  M ) ) ) )
2827mpteq2dv 4369 . . . 4  |-  ( a  =  M  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )  /  ( ! `  ( n  +  M
) ) ) ) )
2928breq1d 4292 . . 3  |-  ( a  =  M  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ M ) )  /  ( ! `
 ( n  +  M ) ) ) )  ~~>  1 ) )
30 nnuz 10886 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31 1z 10666 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
33 nnex 10318 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
3433mptex 5937 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) )  e.  _V
3534a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) )  e.  _V )
36 ax-1cn 9330 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
3736a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
38 fveq2 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  m ) )
39 oveq1 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
4039oveq1d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  +  1 ) ^ 0 )  =  ( ( m  +  1 ) ^
0 ) )
4138, 40oveq12d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  =  ( ( ! `
 m )  x.  ( ( m  + 
1 ) ^ 0 ) ) )
42 oveq1 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  0 )  =  ( m  + 
0 ) )
4342fveq2d 5685 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  ( n  +  0 ) )  =  ( ! `  ( m  +  0
) ) )
4441, 43oveq12d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( n  + 
0 ) ) )  =  ( ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 ) ^
0 ) )  / 
( ! `  (
m  +  0 ) ) ) )
45 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
0 ) )  / 
( ! `  (
n  +  0 ) ) ) )
46 ovex 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( m  +  0
) ) )  e. 
_V
4744, 45, 46fvmpt 5764 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) ) `  m
)  =  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( m  +  0
) ) ) )
48 peano2nn 10324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
4948nncnd 10328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  CC )
5049exp0d 11988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  +  1 ) ^ 0 )  =  1 )
5150oveq2d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  =  ( ( ! `
 m )  x.  1 ) )
52 nnnn0 10576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
53 faccl 12047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 m )  e.  NN )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  m )  e.  NN )
5554nncnd 10328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  m )  e.  CC )
5655mulid1d 9393 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  x.  1 )  =  ( ! `  m ) )
5751, 56eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  =  ( ! `  m ) )
58 nncn 10320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
5958addid1d 9559 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  0 )  =  m )
6059fveq2d 5685 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  ( m  +  0 ) )  =  ( ! `  m ) )
6157, 60oveq12d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
0 ) ) )  =  ( ( ! `
 m )  / 
( ! `  m
) ) )
6254nnne0d 10356 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  m )  =/=  0 )
6355, 62dividd 10095 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  /  ( ! `
 m ) )  =  1 )
6461, 63eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
0 ) ) )  =  1 )
6547, 64eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) ) `  m
)  =  1 )
6665adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) ) `  m
)  =  1 )
6730, 32, 35, 37, 66climconst 13007 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) )  ~~>  1 )
6867trud 1373 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) )  ~~>  1
6931a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
70 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )
7133mptex 5937 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) ) )  e.  _V
7271a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  e.  _V )
7331a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  1  e.  ZZ )
7436a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
75 nn0p1nn 10609 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
7675nnzd 10736 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  ZZ )
7733mptex 5937 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  e.  _V
7877a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  e.  _V )
79 oveq1 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
80 oveq1 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  ( m  +  1 ) )  =  ( k  +  ( m  +  1 ) ) )
8179, 80oveq12d 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
82 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) )
83 ovex 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  +  1 ) ) )  e. 
_V
8481, 82, 83fvmpt 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
8584adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )
8630, 73, 74, 76, 78, 85divcnvlin 27248 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  ~~>  1 )
8786adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) )  ~~>  1 )
88 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
8988nnnn0d 10626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN0 )
90 faccl 12047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `  n
)  e.  NN )
92 peano2nn 10324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
93 nnexpcl 11864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( n  + 
1 ) ^ m
)  e.  NN )
9492, 93sylan 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( n  + 
1 ) ^ m
)  e.  NN )
9594ancoms 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 ) ^ m
)  e.  NN )
9691, 95nnmulcld 10359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  e.  NN )
9796nnred 10327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  e.  RR )
98 nnnn0addcl 10600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( n  +  m
)  e.  NN )
9998ancoms 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  m
)  e.  NN )
10099nnnn0d 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  m
)  e.  NN0 )
101 faccl 12047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( n  +  m ) )  e.  NN )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `  (
n  +  m ) )  e.  NN )
10397, 102nndivred 10360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) )  e.  RR )
104103recnd 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) )  e.  CC )
105 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) )
106104, 105fmptd 5857 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) ) : NN --> CC )
107106ffvelrnda 5833 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
108107adantlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
10992adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
110109nnred 10327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
11175adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
11288, 111nnaddcld 10358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  ( m  +  1 ) )  e.  NN )
113110, 112nndivred 10360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) )  e.  RR )
114113recnd 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) )  e.  CC )
115114, 82fmptd 5857 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) ) : NN --> CC )
116115ffvelrnda 5833 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
117116adantlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
118 peano2nn 10324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
119118adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
120119nncnd 10328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
121 simpl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
122120, 121expp1d 11995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( k  +  1 ) ^ m )  x.  ( k  +  1 ) ) )
123122oveq2d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( ( ( k  +  1 ) ^ m )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
124 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
125124nnnn0d 10626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
126 faccl 12047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
127125, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  k
)  e.  NN )
128127nncnd 10328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  k
)  e.  CC )
129 nnexpcl 11864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  NN )
130118, 129sylan 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  NN )
131130ancoms 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  NN )
132131nncnd 10328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  CC )
133128, 132, 120mulassd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m
) )  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( ( ( k  +  1 ) ^ m )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
134123, 133eqtr4d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
135125, 121nn0addcld 10630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  m
)  e.  NN0 )
136 facp1 12042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( k  +  m )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m
) )  x.  (
( k  +  m
)  +  1 ) ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
( k  +  m
)  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m ) )  x.  ( ( k  +  m )  +  1 ) ) )
138124nncnd 10328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
139121nn0cnd 10628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
14036a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
141138, 139, 140addassd 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  m )  +  1 )  =  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) )
142141fveq2d 5685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
( k  +  m
)  +  1 ) )  =  ( ! `
 ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
143141oveq2d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  ( k  +  m
) )  x.  (
( k  +  m
)  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
144137, 142, 1433eqtr3d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  ( m  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
145134, 144oveq12d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  x.  ( k  +  1 ) )  /  ( ( ! `
 ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
146127, 131nnmulcld 10359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  e.  NN )
147146nncnd 10328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  e.  CC )
148 faccl 12047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  m ) )  e.  NN )
149135, 148syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  m ) )  e.  NN )
150149nncnd 10328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  m ) )  e.  CC )
15175adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
152124, 151nnaddcld 10358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  ( m  +  1 ) )  e.  NN )
153152nncnd 10328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  ( m  +  1 ) )  e.  CC )
154149nnne0d 10356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  m ) )  =/=  0 )
155152nnne0d 10356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  ( m  +  1 ) )  =/=  0 )
156147, 150, 120, 153, 154, 155divmuldivd 10138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  x.  ( k  +  1 ) )  /  ( ( ! `
 ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
157145, 156eqtr4d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( k  +  m ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
158 fveq2 5681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
15979oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )
160158, 159oveq12d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) ) ) )
16180fveq2d 5685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ! `  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
162160, 161oveq12d 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
163 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
164 ovex 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
165162, 163, 164fvmpt 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
166165adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
16779oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 ) ^ m )  =  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )
168158, 167oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m
) ) )
169 oveq1 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  m )  =  ( k  +  m ) )
170169fveq2d 5685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  ( n  +  m ) )  =  ( ! `  (
k  +  m ) ) )
171168, 170oveq12d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( n  +  m ) ) )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) ) )
172 ovex 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( k  +  m
) ) )  e. 
_V
173171, 105, 172fvmpt 5764 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) ) )
174173, 84oveq12d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
) )  =  ( ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( k  +  m ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
175174adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) ) `
 k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
176157, 166, 1753eqtr4d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
) ) )
177176adantlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
) ) )
17830, 69, 70, 72, 87, 108, 117, 177climmul 13096 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  ~~>  ( 1  x.  1 ) )
179 1t1e1 10459 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
180178, 179syl6breq 4321 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  ~~>  1 )
181180ex 434 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( n  +  ( m  +  1
) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
1828, 15, 22, 29, 68, 181nn0ind 10728 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )  /  ( ! `  ( n  +  M
) ) ) )  ~~>  1 )
1831, 182syl5eqbr 4315 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1757   _Vcvv 2964   class class class wbr 4282    e. cmpt 4340   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   CCcc 9270   0cc0 9272   1c1 9273    + caddc 9275    x. cmul 9277    / cdiv 9983   NNcn 10312   NN0cn0 10569   ZZcz 10636   ^cexp 11851   !cfa 12037    ~~> cli 12948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-er 7091  df-pm 7207  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-sup 7681  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-rp 10982  df-fl 11628  df-seq 11793  df-exp 11852  df-fac 12038  df-shft 12542  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-clim 12952  df-rlim 12953
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