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Theorem faclim2 27557
Description: Another factorial limit due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim2.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ M
) )  /  ( ! `  ( n  +  M ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
faclim2  |-  ( M  e.  NN0  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable group:    n, M
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem faclim2
Dummy variables  m  a  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim2.1 . 2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ M
) )  /  ( ! `  ( n  +  M ) ) ) )
2 oveq2 6102 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^
0 ) )
32oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) ) )
4 oveq2 6102 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
n  +  a )  =  ( n  + 
0 ) )
54fveq2d 5698 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  0
) ) )
63, 5oveq12d 6112 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
0 ) )  / 
( ! `  (
n  +  0 ) ) ) )
76mpteq2dv 4382 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) ) )
87breq1d 4305 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( n  + 
0 ) ) ) )  ~~>  1 ) )
9 oveq2 6102 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )
109oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) ) )
11 oveq2 6102 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
n  +  a )  =  ( n  +  m ) )
1211fveq2d 5698 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  m
) ) )
1310, 12oveq12d 6112 . . . . 5  |-  ( a  =  m  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) )
1413mpteq2dv 4382 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) ) )
1514breq1d 4305 . . 3  |-  ( a  =  m  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 ) )
16 oveq2 6102 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )
1716oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) ) )
18 oveq2 6102 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  +  a )  =  ( n  +  ( m  +  1
) ) )
1918fveq2d 5698 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) )
2017, 19oveq12d 6112 . . . . 5  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
2120mpteq2dv 4382 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) ) ) )
2221breq1d 4305 . . 3  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( n  +  ( m  +  1
) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
23 oveq2 6102 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )
2423oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ M
) ) )
25 oveq2 6102 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  (
n  +  a )  =  ( n  +  M ) )
2625fveq2d 5698 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  M
) ) )
2724, 26oveq12d 6112 . . . . 5  |-  ( a  =  M  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )  / 
( ! `  (
n  +  M ) ) ) )
2827mpteq2dv 4382 . . . 4  |-  ( a  =  M  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )  /  ( ! `  ( n  +  M
) ) ) ) )
2928breq1d 4305 . . 3  |-  ( a  =  M  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ M ) )  /  ( ! `
 ( n  +  M ) ) ) )  ~~>  1 ) )
30 nnuz 10899 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31 1z 10679 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
33 nnex 10331 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
3433mptex 5951 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) )  e.  _V
3534a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) )  e.  _V )
36 ax-1cn 9343 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
3736a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
38 fveq2 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  m ) )
39 oveq1 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
4039oveq1d 6109 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  +  1 ) ^ 0 )  =  ( ( m  +  1 ) ^
0 ) )
4138, 40oveq12d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  =  ( ( ! `
 m )  x.  ( ( m  + 
1 ) ^ 0 ) ) )
42 oveq1 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  0 )  =  ( m  + 
0 ) )
4342fveq2d 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  ( n  +  0 ) )  =  ( ! `  ( m  +  0
) ) )
4441, 43oveq12d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( n  + 
0 ) ) )  =  ( ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 ) ^
0 ) )  / 
( ! `  (
m  +  0 ) ) ) )
45 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
0 ) )  / 
( ! `  (
n  +  0 ) ) ) )
46 ovex 6119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( m  +  0
) ) )  e. 
_V
4744, 45, 46fvmpt 5777 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) ) `  m
)  =  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( m  +  0
) ) ) )
48 peano2nn 10337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
4948nncnd 10341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  CC )
5049exp0d 12005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  +  1 ) ^ 0 )  =  1 )
5150oveq2d 6110 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  =  ( ( ! `
 m )  x.  1 ) )
52 nnnn0 10589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
53 faccl 12064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 m )  e.  NN )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  m )  e.  NN )
5554nncnd 10341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  m )  e.  CC )
5655mulid1d 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  x.  1 )  =  ( ! `  m ) )
5751, 56eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  =  ( ! `  m ) )
58 nncn 10333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
5958addid1d 9572 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  0 )  =  m )
6059fveq2d 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  ( m  +  0 ) )  =  ( ! `  m ) )
6157, 60oveq12d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
0 ) ) )  =  ( ( ! `
 m )  / 
( ! `  m
) ) )
6254nnne0d 10369 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  m )  =/=  0 )
6355, 62dividd 10108 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  /  ( ! `
 m ) )  =  1 )
6461, 63eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
0 ) ) )  =  1 )
6547, 64eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) ) `  m
)  =  1 )
6665adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) ) `  m
)  =  1 )
6730, 32, 35, 37, 66climconst 13024 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) )  ~~>  1 )
6867trud 1378 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) )  ~~>  1
6931a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
70 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )
7133mptex 5951 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) ) )  e.  _V
7271a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  e.  _V )
7331a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  1  e.  ZZ )
7436a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
75 nn0p1nn 10622 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
7675nnzd 10749 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  ZZ )
7733mptex 5951 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  e.  _V
7877a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  e.  _V )
79 oveq1 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
80 oveq1 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  ( m  +  1 ) )  =  ( k  +  ( m  +  1 ) ) )
8179, 80oveq12d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
82 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) )
83 ovex 6119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  +  1 ) ) )  e. 
_V
8481, 82, 83fvmpt 5777 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
8584adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )
8630, 73, 74, 76, 78, 85divcnvlin 27402 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  ~~>  1 )
8786adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) )  ~~>  1 )
88 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
8988nnnn0d 10639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN0 )
90 faccl 12064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `  n
)  e.  NN )
92 peano2nn 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
93 nnexpcl 11881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( n  + 
1 ) ^ m
)  e.  NN )
9492, 93sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( n  + 
1 ) ^ m
)  e.  NN )
9594ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 ) ^ m
)  e.  NN )
9691, 95nnmulcld 10372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  e.  NN )
9796nnred 10340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  e.  RR )
98 nnnn0addcl 10613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( n  +  m
)  e.  NN )
9998ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  m
)  e.  NN )
10099nnnn0d 10639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  m
)  e.  NN0 )
101 faccl 12064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( n  +  m ) )  e.  NN )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `  (
n  +  m ) )  e.  NN )
10397, 102nndivred 10373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) )  e.  RR )
104103recnd 9415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) )  e.  CC )
105 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) )
106104, 105fmptd 5870 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) ) : NN --> CC )
107106ffvelrnda 5846 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
108107adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
10992adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
110109nnred 10340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
11175adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
11288, 111nnaddcld 10371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  ( m  +  1 ) )  e.  NN )
113110, 112nndivred 10373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) )  e.  RR )
114113recnd 9415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) )  e.  CC )
115114, 82fmptd 5870 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) ) : NN --> CC )
116115ffvelrnda 5846 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
117116adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
118 peano2nn 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
119118adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
120119nncnd 10341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
121 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
122120, 121expp1d 12012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( k  +  1 ) ^ m )  x.  ( k  +  1 ) ) )
123122oveq2d 6110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( ( ( k  +  1 ) ^ m )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
124 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
125124nnnn0d 10639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
126 faccl 12064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
127125, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  k
)  e.  NN )
128127nncnd 10341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  k
)  e.  CC )
129 nnexpcl 11881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  NN )
130118, 129sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  NN )
131130ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  NN )
132131nncnd 10341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  CC )
133128, 132, 120mulassd 9412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m
) )  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( ( ( k  +  1 ) ^ m )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
134123, 133eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
135125, 121nn0addcld 10643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  m
)  e.  NN0 )
136 facp1 12059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( k  +  m )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m
) )  x.  (
( k  +  m
)  +  1 ) ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
( k  +  m
)  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m ) )  x.  ( ( k  +  m )  +  1 ) ) )
138124nncnd 10341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
139121nn0cnd 10641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
14036a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
141138, 139, 140addassd 9411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  m )  +  1 )  =  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) )
142141fveq2d 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
( k  +  m
)  +  1 ) )  =  ( ! `
 ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
143141oveq2d 6110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  ( k  +  m
) )  x.  (
( k  +  m
)  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
144137, 142, 1433eqtr3d 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  ( m  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
145134, 144oveq12d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  x.  ( k  +  1 ) )  /  ( ( ! `
 ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
146127, 131nnmulcld 10372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  e.  NN )
147146nncnd 10341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  e.  CC )
148 faccl 12064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  m ) )  e.  NN )
149135, 148syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  m ) )  e.  NN )
150149nncnd 10341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  m ) )  e.  CC )
15175adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
152124, 151nnaddcld 10371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  ( m  +  1 ) )  e.  NN )
153152nncnd 10341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  ( m  +  1 ) )  e.  CC )
154149nnne0d 10369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  m ) )  =/=  0 )
155152nnne0d 10369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  ( m  +  1 ) )  =/=  0 )
156147, 150, 120, 153, 154, 155divmuldivd 10151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  x.  ( k  +  1 ) )  /  ( ( ! `
 ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
157145, 156eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( k  +  m ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
158 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
15979oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )
160158, 159oveq12d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) ) ) )
16180fveq2d 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ! `  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
162160, 161oveq12d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
163 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
164 ovex 6119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
165162, 163, 164fvmpt 5777 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
166165adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
16779oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 ) ^ m )  =  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )
168158, 167oveq12d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m
) ) )
169 oveq1 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  m )  =  ( k  +  m ) )
170169fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  ( n  +  m ) )  =  ( ! `  (
k  +  m ) ) )
171168, 170oveq12d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( n  +  m ) ) )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) ) )
172 ovex 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( k  +  m
) ) )  e. 
_V
173171, 105, 172fvmpt 5777 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) ) )
174173, 84oveq12d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
) )  =  ( ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( k  +  m ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
175174adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) ) `
 k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
176157, 166, 1753eqtr4d 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
) ) )
177176adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
) ) )
17830, 69, 70, 72, 87, 108, 117, 177climmul 13113 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  ~~>  ( 1  x.  1 ) )
179 1t1e1 10472 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
180178, 179syl6breq 4334 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  ~~>  1 )
181180ex 434 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( n  +  ( m  +  1
) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
1828, 15, 22, 29, 68, 181nn0ind 10741 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )  /  ( ! `  ( n  +  M
) ) ) )  ~~>  1 )
1831, 182syl5eqbr 4328 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   _Vcvv 2975   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290    / cdiv 9996   NNcn 10325   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ^cexp 11868   !cfa 12054    ~~> cli 12965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-pm 7220  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-fl 11645  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-rlim 12970
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