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Theorem faclim2 25315
Description: Another factorial limit due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim2.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ M
) )  /  ( ! `  ( n  +  M ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
faclim2  |-  ( M  e.  NN0  ->  F  ~~>  1 )
Distinct variable group:    n, M
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem faclim2
Dummy variables  m  a  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim2.1 . 2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ M
) )  /  ( ! `  ( n  +  M ) ) ) )
2 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^
0 ) )
32oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) ) )
4 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
n  +  a )  =  ( n  + 
0 ) )
54fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  0
) ) )
63, 5oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
0 ) )  / 
( ! `  (
n  +  0 ) ) ) )
76mpteq2dv 4256 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) ) )
87breq1d 4182 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( n  + 
0 ) ) ) )  ~~>  1 ) )
9 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )
109oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) ) )
11 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
n  +  a )  =  ( n  +  m ) )
1211fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  m
) ) )
1310, 12oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( a  =  m  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) )
1413mpteq2dv 4256 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) ) )
1514breq1d 4182 . . 3  |-  ( a  =  m  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 ) )
16 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )
1716oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) ) )
18 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  +  a )  =  ( n  +  ( m  +  1
) ) )
1918fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) )
2017, 19oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
2120mpteq2dv 4256 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) ) ) )
2221breq1d 4182 . . 3  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( n  +  ( m  +  1
) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
23 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  (
( n  +  1 ) ^ a )  =  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )
2423oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ a ) )  =  ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ M
) ) )
25 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  (
n  +  a )  =  ( n  +  M ) )
2625fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  ( ! `  ( n  +  a ) )  =  ( ! `  ( n  +  M
) ) )
2724, 26oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( a  =  M  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) )  =  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )  / 
( ! `  (
n  +  M ) ) ) )
2827mpteq2dv 4256 . . . 4  |-  ( a  =  M  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ a ) )  /  ( ! `
 ( n  +  a ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )  /  ( ! `  ( n  +  M
) ) ) ) )
2928breq1d 4182 . . 3  |-  ( a  =  M  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ a
) )  /  ( ! `  ( n  +  a ) ) ) )  ~~>  1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ M ) )  /  ( ! `
 ( n  +  M ) ) ) )  ~~>  1 ) )
30 nnuz 10477 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31 1z 10267 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
3231a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
33 nnex 9962 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
3433mptex 5925 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) )  e.  _V
3534a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) )  e.  _V )
36 ax-1cn 9004 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
3736a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
38 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  m ) )
39 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
4039oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  +  1 ) ^ 0 )  =  ( ( m  +  1 ) ^
0 ) )
4138, 40oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  =  ( ( ! `
 m )  x.  ( ( m  + 
1 ) ^ 0 ) ) )
42 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  0 )  =  ( m  + 
0 ) )
4342fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  ( n  +  0 ) )  =  ( ! `  ( m  +  0
) ) )
4441, 43oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( n  + 
0 ) ) )  =  ( ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 ) ^
0 ) )  / 
( ! `  (
m  +  0 ) ) ) )
45 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
0 ) )  / 
( ! `  (
n  +  0 ) ) ) )
46 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( m  +  0
) ) )  e. 
_V
4744, 45, 46fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) ) `  m
)  =  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( m  +  0
) ) ) )
48 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
4948nncnd 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  CC )
5049exp0d 11472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  +  1 ) ^ 0 )  =  1 )
5150oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  =  ( ( ! `
 m )  x.  1 ) )
52 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
53 faccl 11531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 m )  e.  NN )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  m )  e.  NN )
5554nncnd 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  m )  e.  CC )
5655mulid1d 9061 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  x.  1 )  =  ( ! `  m ) )
5751, 56eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 ) ^ 0 ) )  =  ( ! `  m ) )
58 nncn 9964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
5958addid1d 9222 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  0 )  =  m )
6059fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  ( m  +  0 ) )  =  ( ! `  m ) )
6157, 60oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
0 ) ) )  =  ( ( ! `
 m )  / 
( ! `  m
) ) )
6254nnne0d 10000 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ! `  m )  =/=  0 )
6355, 62dividd 9744 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ! `  m
)  /  ( ! `
 m ) )  =  1 )
6461, 63eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
0 ) ) )  =  1 )
6547, 64eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) ) `  m
)  =  1 )
6665adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) ) `  m
)  =  1 )
6730, 32, 35, 37, 66climconst 12292 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0 ) ) ) )  ~~>  1 )
6867trud 1329 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ 0 ) )  /  ( ! `  ( n  +  0
) ) ) )  ~~>  1
6931a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
70 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )
7133mptex 5925 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) ) )  e.  _V
7271a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  e.  _V )
7331a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  1  e.  ZZ )
7436a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
75 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
7675nnzd 10330 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  ZZ )
7733mptex 5925 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  e.  _V
7877a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  e.  _V )
79 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
80 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  ( m  +  1 ) )  =  ( k  +  ( m  +  1 ) ) )
8179, 80oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
82 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) )
83 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  +  1 ) ) )  e. 
_V
8481, 82, 83fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
8584adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )
8630, 73, 74, 76, 78, 85divcnvlin 25165 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  ~~>  1 )
8786adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) )  ~~>  1 )
88 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
8988nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN0 )
90 faccl 11531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `  n
)  e.  NN )
92 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
93 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( n  + 
1 ) ^ m
)  e.  NN )
9492, 93sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( n  + 
1 ) ^ m
)  e.  NN )
9594ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 ) ^ m
)  e.  NN )
9691, 95nnmulcld 10003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  e.  NN )
9796nnred 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  e.  RR )
98 nnnn0addcl 10207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( n  +  m
)  e.  NN )
9998ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  m
)  e.  NN )
10099nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  m
)  e.  NN0 )
101 faccl 11531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( n  +  m ) )  e.  NN )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `  (
n  +  m ) )  e.  NN )
10397, 102nndivred 10004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) )  e.  RR )
104103recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) )  e.  CC )
105 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) )
106104, 105fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) ) : NN --> CC )
107106ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
108107adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
10992adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
110109nnred 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
11175adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
11288, 111nnaddcld 10002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  ( m  +  1 ) )  e.  NN )
113110, 112nndivred 10004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) )  e.  RR )
114113recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) )  e.  CC )
115114, 82fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  /  ( n  +  ( m  +  1
) ) ) ) : NN --> CC )
116115ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
117116adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
118 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
119118adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
120119nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
121 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
122120, 121expp1d 11479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( k  +  1 ) ^ m )  x.  ( k  +  1 ) ) )
123122oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( ( ( k  +  1 ) ^ m )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
124 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
125124nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
126 faccl 11531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
127125, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  k
)  e.  NN )
128127nncnd 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  k
)  e.  CC )
129 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  NN )
130118, 129sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  NN )
131130ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  NN )
132131nncnd 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ m
)  e.  CC )
133128, 132, 120mulassd 9067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m
) )  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( ( ( k  +  1 ) ^ m )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
134123, 133eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
135125, 121nn0addcld 10234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  m
)  e.  NN0 )
136 facp1 11526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( k  +  m )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m
) )  x.  (
( k  +  m
)  +  1 ) ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
( k  +  m
)  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m ) )  x.  ( ( k  +  m )  +  1 ) ) )
138124nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
139121nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
14036a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
141138, 139, 140addassd 9066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  m )  +  1 )  =  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) )
142141fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
( k  +  m
)  +  1 ) )  =  ( ! `
 ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
143141oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  ( k  +  m
) )  x.  (
( k  +  m
)  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
144137, 142, 1433eqtr3d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  ( m  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
145134, 144oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  x.  ( k  +  1 ) )  /  ( ( ! `
 ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
146127, 131nnmulcld 10003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  e.  NN )
147146nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  e.  CC )
148 faccl 11531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  m ) )  e.  NN )
149135, 148syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  m ) )  e.  NN )
150149nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  m ) )  e.  CC )
15175adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
152124, 151nnaddcld 10002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  ( m  +  1 ) )  e.  NN )
153152nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  ( m  +  1 ) )  e.  CC )
154149nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ! `  (
k  +  m ) )  =/=  0 )
155152nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  ( m  +  1 ) )  =/=  0 )
156147, 150, 120, 153, 154, 155divmuldivd 9787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  x.  ( k  +  1 ) )  /  ( ( ! `
 ( k  +  m ) )  x.  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
157145, 156eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( k  +  m ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
158 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
15979oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )
160158, 159oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ (
m  +  1 ) ) ) )
16180fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ! `  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )
162160, 161oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( n  +  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
163 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
164 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
165162, 163, 164fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ ( m  + 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
166165adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  (
( k  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
16779oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 ) ^ m )  =  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )
168158, 167oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m
) ) )
169 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  m )  =  ( k  +  m ) )
170169fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  ( n  +  m ) )  =  ( ! `  (
k  +  m ) ) )
171168, 170oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( n  +  m ) ) )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) ) )
172 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ! `  k
)  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( k  +  m
) ) )  e. 
_V
173171, 105, 172fvmpt 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) ) )
174173, 84oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
) )  =  ( ( ( ( ! `
 k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( k  +  m ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
175174adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `  ( n  +  m
) ) ) ) `
 k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  +  1 )  / 
( n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k ) )  =  ( ( ( ( ! `  k )  x.  ( ( k  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
k  +  m ) ) )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( k  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
176157, 166, 1753eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
) ) )
177176adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
( m  +  1 ) ) )  / 
( ! `  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  ( ( n  +  1 ) ^
m ) )  / 
( ! `  (
n  +  m ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  +  ( m  +  1 ) ) ) ) `  k
) ) )
17830, 69, 70, 72, 87, 108, 117, 177climmul 12381 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  ~~>  ( 1  x.  1 ) )
179 1t1e1 10082 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
180178, 179syl6breq 4211 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ m
) )  /  ( ! `  ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `
 n )  x.  ( ( n  + 
1 ) ^ (
m  +  1 ) ) )  /  ( ! `  ( n  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  ~~>  1 )
181180ex 424 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ m ) )  /  ( ! `
 ( n  +  m ) ) ) )  ~~>  1  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n )  x.  (
( n  +  1 ) ^ ( m  +  1 ) ) )  /  ( ! `
 ( n  +  ( m  +  1
) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
1828, 15, 22, 29, 68, 181nn0ind 10322 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ! `  n
)  x.  ( ( n  +  1 ) ^ M ) )  /  ( ! `  ( n  +  M
) ) ) )  ~~>  1 )
1831, 182syl5eqbr 4205 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  F  ~~>  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ^cexp 11337   !cfa 11521    ~~> cli 12233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238
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