Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclim Unicode version

Theorem faclim 25123
Description: An infinite product expression relating to factorials. Originally due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
faclim  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  F
)  ~~>  ( ! `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem faclim
Dummy variables  a 
b  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim.1 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) )
2 seqeq3 11255 . . 3  |-  ( F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  F )  =  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) ) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  seq  1
(  x.  ,  F
)  =  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )
4 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
0 ) )
5 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
a  /  n )  =  ( 0  /  n ) )
65oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) )
74, 6oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  / 
( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) )
87mpteq2dv 4237 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) ) )
98seqeq3d 11258 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  / 
( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) ) )
10 fveq2 5668 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  a )  =  ( ! ` 
0 ) )
11 fac0 11496 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  =  1
1210, 11syl6eq 2435 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  a )  =  1 )
139, 12breq12d 4166 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
14 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m ) )
15 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  m  ->  (
a  /  n )  =  ( m  /  n ) )
1615oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( m  /  n
) ) )
1714, 16oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) )
1817mpteq2dv 4237 . . . . 5  |-  ( a  =  m  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) )
1918seqeq3d 11258 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) )
20 fveq2 5668 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  m ) )
2119, 20breq12d 4166 . . 3  |-  ( a  =  m  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) ) )
22 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) ) )
23 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
a  /  n )  =  ( ( m  +  1 )  /  n ) )
2423oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) )
2522, 24oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
2625mpteq2dv 4237 . . . . 5  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )
2726seqeq3d 11258 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) )
28 fveq2 5668 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
2927, 28breq12d 4166 . . 3  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
30 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A ) )
31 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
a  /  n )  =  ( A  /  n ) )
3231oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( A  /  n
) ) )
3330, 32oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) )
3433mpteq2dv 4237 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  ( 1  +  ( A  /  n
) ) ) ) )
3534seqeq3d 11258 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) ) )
36 fveq2 5668 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  A ) )
3735, 36breq12d 4166 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 A ) ) )
38 1re 9023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
40 nnrecre 9968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
4139, 40readdcld 9048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
4241recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  e.  CC )
4342exp0d 11444 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  =  1 )
44 nncn 9940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
45 nnne0 9964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
4644, 45div0d 9721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
0  /  n )  =  0 )
4746oveq2d 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 0  /  n ) )  =  ( 1  +  0 ) )
48 ax-1cn 8981 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
4948addid1i 9185 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5047, 49syl6eq 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 0  /  n ) )  =  1 )
5143, 50oveq12d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
5248div1i 9674 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5351, 52syl6eq 2435 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) )  =  1 )
5453mpteq2ia 4232 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
55 fconstmpt 4861 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
5654, 55eqtr4i 2410 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) )  =  ( NN  X.  { 1 } )
57 seqeq3 11255 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) )  =  ( NN 
X.  { 1 } )  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . 4  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) )
59 nnuz 10453 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
60 1z 10243 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
6160a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
6259, 61climprod1 25067 . . . . 5  |-  (  T. 
->  seq  1 (  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) )  ~~>  1 )
6362trud 1329 . . . 4  |-  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) )  ~~>  1
6458, 63eqbrtri 4172 . . 3  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  ~~>  1
6560a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  1  e.  ZZ )
66 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m ) )
67 seqex 11252 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  e.  _V
6867a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  e.  _V )
69 faclimlem2 25121 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( m  +  1 ) )
7069adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( m  + 
1 ) )
71 elnnuz 10454 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  <->  a  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7271biimpi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7372adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  a  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
74 1rp 10548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR+ )
76 nnrp 10553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
7776rpreccld 10590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
7877adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n
)  e.  RR+ )
7975, 78rpaddcld 10595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR+ )
80 nn0z 10236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  ZZ )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
8279, 81rpexpcld 11473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  e.  RR+ )
8348a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
84 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
8584nn0red 10207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
86 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
8785, 86nndivred 9980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  /  n
)  e.  RR )
8887recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  /  n
)  e.  CC )
8983, 88addcomd 9200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( m  /  n ) )  =  ( ( m  /  n )  +  1 ) )
9076adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
91 nn0ge0 10179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN0  ->  0  <_  m )
9291adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  m )
9385, 90, 92divge0d 10616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( m  /  n ) )
9487, 93ge0p1rpd 10606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  /  n )  +  1 )  e.  RR+ )
9589, 94eqeltrd 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( m  /  n ) )  e.  RR+ )
9682, 95rpdivcld 10597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) )  e.  RR+ )
9796rpcnd 10582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) )  e.  CC )
98 eqid 2387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) )
9997, 98fmptd 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) : NN --> CC )
100 elfznn 11012 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 1 ... a )  ->  b  e.  NN )
101 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) : NN --> CC  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
10299, 100, 101syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
103102adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  e.  CC )
104 mulcl 9007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( b  x.  x
)  e.  CC )
105104adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  ( b  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( b  x.  x
)  e.  CC )
10673, 103, 105seqcl 11270 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
107106adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
10895, 79rpmulcld 10596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR+ )
109 nn0p1nn 10191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
110109nnrpd 10579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  RR+ )
111 rpdivcl 10566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
( m  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
112110, 76, 111syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  + 
1 )  /  n
)  e.  RR+ )
11375, 112rpaddcld 10595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) )  e.  RR+ )
114108, 113rpdivcld 10597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  e.  RR+ )
115114rpcnd 10582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  e.  CC )
116 eqid 2387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
117115, 116fmptd 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) : NN --> CC )
118 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) : NN --> CC  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
119117, 100, 118syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
120119adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  e.  CC )
12173, 120, 105seqcl 11270 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
122121adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
123 faclimlem3 25122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  b
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  / 
b ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) ) )
124 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  b  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
b ) )
125124oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )
126125oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  =  ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
( m  +  1 ) ) )
127 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( m  +  1 )  /  n )  =  ( ( m  +  1 )  / 
b ) )
128127oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )
129126, 128oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) )
130 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
131 ovex 6045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )  e. 
_V
132129, 130, 131fvmpt 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) )
133132adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  / 
b ) ) ) )
134125oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  =  ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
m ) )
135 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  b  ->  (
m  /  n )  =  ( m  / 
b ) )
136135oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( m  /  n ) )  =  ( 1  +  ( m  /  b
) ) )
137134, 136oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  b ) ) ) )
138 ovex 6045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  b
) ) )  e. 
_V
139137, 98, 138fvmpt 5745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  b
) ) ) )
140136, 125oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( m  / 
b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ) )
141140, 128oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) )
142 ovex 6045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )  e. 
_V
143141, 116, 142fvmpt 5745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) )
144139, 143oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  b ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) ) )
145144adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  b ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( m  /  b
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  / 
b ) ) ) ) )
146123, 133, 1453eqtr4d 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
) ) )
147100, 146sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b ) ) )
148147adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b ) ) )
14973, 103, 120, 148prodfmul 24997 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a ) ) )
150149adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) ) `  a )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a
) ) )
15159, 65, 66, 68, 70, 107, 122, 150climmul 12353 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ( ! `
 m )  x.  ( m  +  1 ) ) )
152 facp1 11498 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  m )  x.  (
m  +  1 ) ) )
153152adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  ( ! `  ( m  +  1
) )  =  ( ( ! `  m
)  x.  ( m  +  1 ) ) )
154151, 153breqtrrd 4179 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
155154ex 424 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
15613, 21, 29, 37, 64, 155nn0ind 10298 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 A ) )
1573, 156syl5eqbr 4186 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  F
)  ~~>  ( ! `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   {csn 3757   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    X. cxp 4816   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    <_ cle 9054    / cdiv 9609   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   RR+crp 10544   ...cfz 10975    seq cseq 11250   ^cexp 11309   !cfa 11493    ~~> cli 12205
This theorem is referenced by:  iprodfac  25124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210
  Copyright terms: Public domain W3C validator