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Theorem faclim 25313
Description: An infinite product expression relating to factorials. Originally due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
faclim  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  F
)  ~~>  ( ! `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem faclim
Dummy variables  a 
b  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim.1 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) )
2 seqeq3 11283 . . 3  |-  ( F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  F )  =  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) ) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  seq  1
(  x.  ,  F
)  =  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )
4 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
0 ) )
5 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
a  /  n )  =  ( 0  /  n ) )
65oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) )
74, 6oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  / 
( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) )
87mpteq2dv 4256 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) ) )
98seqeq3d 11286 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  / 
( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) ) )
10 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  a )  =  ( ! ` 
0 ) )
11 fac0 11524 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  =  1
1210, 11syl6eq 2452 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  a )  =  1 )
139, 12breq12d 4185 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
14 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m ) )
15 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  m  ->  (
a  /  n )  =  ( m  /  n ) )
1615oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( m  /  n
) ) )
1714, 16oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) )
1817mpteq2dv 4256 . . . . 5  |-  ( a  =  m  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) )
1918seqeq3d 11286 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) )
20 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  m ) )
2119, 20breq12d 4185 . . 3  |-  ( a  =  m  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) ) )
22 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) ) )
23 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
a  /  n )  =  ( ( m  +  1 )  /  n ) )
2423oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) )
2522, 24oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
2625mpteq2dv 4256 . . . . 5  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )
2726seqeq3d 11286 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) )
28 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
2927, 28breq12d 4185 . . 3  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
30 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A ) )
31 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
a  /  n )  =  ( A  /  n ) )
3231oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( A  /  n
) ) )
3330, 32oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) )
3433mpteq2dv 4256 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  ( 1  +  ( A  /  n
) ) ) ) )
3534seqeq3d 11286 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) ) )
36 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  A ) )
3735, 36breq12d 4185 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 A ) ) )
38 1re 9046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
40 nnrecre 9992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
4139, 40readdcld 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
4241recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  e.  CC )
4342exp0d 11472 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  =  1 )
44 nncn 9964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
45 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
4644, 45div0d 9745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
0  /  n )  =  0 )
4746oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 0  /  n ) )  =  ( 1  +  0 ) )
48 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
4948addid1i 9209 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5047, 49syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 0  /  n ) )  =  1 )
5143, 50oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
5248div1i 9698 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5351, 52syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) )  =  1 )
5453mpteq2ia 4251 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
55 fconstmpt 4880 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
5654, 55eqtr4i 2427 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) )  =  ( NN  X.  { 1 } )
57 seqeq3 11283 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) )  =  ( NN 
X.  { 1 } )  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . 4  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) )
59 nnuz 10477 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
60 1z 10267 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
6160a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
6259, 61climprod1 25241 . . . . 5  |-  (  T. 
->  seq  1 (  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) )  ~~>  1 )
6362trud 1329 . . . 4  |-  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) )  ~~>  1
6458, 63eqbrtri 4191 . . 3  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  ~~>  1
6560a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  1  e.  ZZ )
66 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m ) )
67 seqex 11280 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  e.  _V
6867a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  e.  _V )
69 faclimlem2 25311 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( m  +  1 ) )
7069adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( m  + 
1 ) )
71 elnnuz 10478 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  <->  a  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7271biimpi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7372adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  a  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
74 1rp 10572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR+ )
76 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
7776rpreccld 10614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
7877adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n
)  e.  RR+ )
7975, 78rpaddcld 10619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR+ )
80 nn0z 10260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  ZZ )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
8279, 81rpexpcld 11501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  e.  RR+ )
8348a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
84 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
8584nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
86 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
8785, 86nndivred 10004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  /  n
)  e.  RR )
8887recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  /  n
)  e.  CC )
8983, 88addcomd 9224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( m  /  n ) )  =  ( ( m  /  n )  +  1 ) )
9076adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
91 nn0ge0 10203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN0  ->  0  <_  m )
9291adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  m )
9385, 90, 92divge0d 10640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( m  /  n ) )
9487, 93ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  /  n )  +  1 )  e.  RR+ )
9589, 94eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( m  /  n ) )  e.  RR+ )
9682, 95rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) )  e.  RR+ )
9796rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) )  e.  CC )
98 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) )
9997, 98fmptd 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) : NN --> CC )
100 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 1 ... a )  ->  b  e.  NN )
101 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) : NN --> CC  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
10299, 100, 101syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
103102adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  e.  CC )
104 mulcl 9030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( b  x.  x
)  e.  CC )
105104adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  ( b  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( b  x.  x
)  e.  CC )
10673, 103, 105seqcl 11298 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
107106adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
10895, 79rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR+ )
109 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
110109nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  RR+ )
111 rpdivcl 10590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
( m  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
112110, 76, 111syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  + 
1 )  /  n
)  e.  RR+ )
11375, 112rpaddcld 10619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) )  e.  RR+ )
114108, 113rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  e.  RR+ )
115114rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  e.  CC )
116 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
117115, 116fmptd 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) : NN --> CC )
118 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) : NN --> CC  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
119117, 100, 118syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
120119adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  e.  CC )
12173, 120, 105seqcl 11298 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
122121adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
123 faclimlem3 25312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  b
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  / 
b ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) ) )
124 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  b  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
b ) )
125124oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )
126125oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  =  ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
( m  +  1 ) ) )
127 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( m  +  1 )  /  n )  =  ( ( m  +  1 )  / 
b ) )
128127oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )
129126, 128oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) )
130 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
131 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )  e. 
_V
132129, 130, 131fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) )
133132adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  / 
b ) ) ) )
134125oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  =  ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
m ) )
135 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  b  ->  (
m  /  n )  =  ( m  / 
b ) )
136135oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( m  /  n ) )  =  ( 1  +  ( m  /  b
) ) )
137134, 136oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  b ) ) ) )
138 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  b
) ) )  e. 
_V
139137, 98, 138fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  b
) ) ) )
140136, 125oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( m  / 
b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ) )
141140, 128oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) )
142 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )  e. 
_V
143141, 116, 142fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) )
144139, 143oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  b ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) ) )
145144adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  b ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( m  /  b
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  / 
b ) ) ) ) )
146123, 133, 1453eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
) ) )
147100, 146sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b ) ) )
148147adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b ) ) )
14973, 103, 120, 148prodfmul 25171 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a ) ) )
150149adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) ) `  a )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a
) ) )
15159, 65, 66, 68, 70, 107, 122, 150climmul 12381 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ( ! `
 m )  x.  ( m  +  1 ) ) )
152 facp1 11526 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  m )  x.  (
m  +  1 ) ) )
153152adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  ( ! `  ( m  +  1
) )  =  ( ( ! `  m
)  x.  ( m  +  1 ) ) )
154151, 153breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
155154ex 424 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
15613, 21, 29, 37, 64, 155nn0ind 10322 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 A ) )
1573, 156syl5eqbr 4205 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  F
)  ~~>  ( ! `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ^cexp 11337   !cfa 11521    ~~> cli 12233
This theorem is referenced by:  iprodfac  25314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238
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