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Theorem faclim 24126
Description: An infinite product expression relating to factorials. Originally due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
faclim  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  F
)  ~~>  ( ! `  A ) )
Distinct variable groups:    n, F    A, n

Proof of Theorem faclim
Dummy variables  a 
b  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim.1 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) )
2 seqeq3 11067 . . 3  |-  ( F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  F )  =  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) ) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  seq  1
(  x.  ,  F
)  =  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )
4 faclimlem1 24117 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  / 
( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) )
54mpteq2dv 4123 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) ) )
65seqeq3d 11070 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  / 
( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) ) )
7 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  a )  =  ( ! ` 
0 ) )
8 fac0 11307 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  =  1
97, 8syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  a )  =  1 )
106, 9breq12d 4052 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
11 faclimlem1 24117 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) )
1211mpteq2dv 4123 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) )
1312seqeq3d 11070 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) )
14 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
1513, 14breq12d 4052 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 b ) ) )
16 faclimlem1 24117 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) )
1716mpteq2dv 4123 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) )
1817seqeq3d 11070 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) )
19 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  ( b  +  1 ) ) )
2018, 19breq12d 4052 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 ( b  +  1 ) ) ) )
21 faclimlem1 24117 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) )
2221mpteq2dv 4123 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  ( 1  +  ( A  /  n
) ) ) ) )
2322seqeq3d 11070 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) ) )
24 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  A ) )
2523, 24breq12d 4052 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 A ) ) )
26 faclimlem3 24119 . . 3  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  ~~>  1
27 nnuz 10279 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
28 1z 10069 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
2928a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 b ) )  ->  1  e.  ZZ )
30 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 b ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  b ) )
31 seqex 11064 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  e.  _V
3231a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 b ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) )  e.  _V )
33 faclimlem5 24121 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( n  +  1 )  / 
( b  +  ( n  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  ( b  +  1 ) )
3433adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 b ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( n  + 
1 )  /  (
b  +  ( n  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  ( b  +  1 ) )
35 faclimlem7 24123 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
3635adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  b
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
37 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
3837oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
b  +  ( n  +  1 ) )  =  ( b  +  ( k  +  1 ) ) )
3937, 38oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 )  /  ( b  +  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  / 
( b  +  ( k  +  1 ) ) ) )
4039oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( ( n  +  1 )  /  ( b  +  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
b  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
41 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( n  +  1 )  / 
( b  +  ( n  +  1 ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( n  + 
1 )  /  (
b  +  ( n  +  1 ) ) ) ) )
42 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( b  +  ( k  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
4340, 41, 42fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( b  +  1 )  x.  (
( n  +  1 )  /  ( b  +  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( b  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
4443adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( n  + 
1 )  /  (
b  +  ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  =  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  ( b  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
45 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( b  +  1 )  e.  NN )
4645adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( b  +  1 )  e.  NN )
4746nncnd 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( b  +  1 )  e.  CC )
48 faclimlem4 24120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  /  (
b  +  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
4947, 48mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( b  +  1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( b  +  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
5044, 49eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( n  + 
1 )  /  (
b  +  ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
5150adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  b
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( b  +  1 )  x.  (
( n  +  1 )  /  ( b  +  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  k
)  e.  CC )
52 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 1 ) )
53 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 1 ) )
54 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  1  ->  (
a  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
5554oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  1  ->  (
b  +  ( a  +  1 ) )  =  ( b  +  ( 1  +  1 ) ) )
5654, 55oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  1  ->  (
( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  1 )  / 
( b  +  ( 1  +  1 ) ) ) )
5756oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
b  +  ( 1  +  1 ) ) ) ) )
5853, 57oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  1  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  a )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
b  +  ( a  +  1 ) ) ) ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  1
)  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  / 
( b  +  ( 1  +  1 ) ) ) ) ) )
5952, 58eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) ) ) )  <->  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  1
)  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 1 )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( b  +  ( 1  +  1 ) ) ) ) ) ) )
6059imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
( b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
b  +  ( 1  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
61 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 m ) )
62 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  m  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 m ) )
63 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  m  ->  (
a  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
6463oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  m  ->  (
b  +  ( a  +  1 ) )  =  ( b  +  ( m  +  1 ) ) )
6563, 64oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  m  ->  (
( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  / 
( b  +  ( m  +  1 ) ) ) )
6665oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  m  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( m  + 
1 )  /  (
b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )
6762, 66oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  a )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
b  +  ( a  +  1 ) ) ) ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  m
)  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( m  +  1 )  / 
( b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) )
6861, 67eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  m  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) ) ) )  <->  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  m
)  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 m )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  (
( m  +  1 )  /  ( b  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
6968imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  m  ->  (
( b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  m )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( m  + 
1 )  /  (
b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
70 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 ( m  + 
1 ) ) )
71 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 ( m  + 
1 ) ) )
72 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
a  +  1 )  =  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )
7372oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
b  +  ( a  +  1 ) )  =  ( b  +  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) )
7472, 73oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  / 
( b  +  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) )
7574oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  /  (
b  +  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
7671, 75oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  a )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
b  +  ( a  +  1 ) ) ) ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  (
m  +  1 ) )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  / 
( b  +  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
7770, 76eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) ) ) )  <->  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  (
( ( m  + 
1 )  +  1 )  /  ( b  +  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) ) )
7877imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( m  +  1
) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  ( m  +  1 ) )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  /  (
b  +  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
79 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  k  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k ) )
80 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  k  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 k ) )
81 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  k  ->  (
a  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
8281oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  k  ->  (
b  +  ( a  +  1 ) )  =  ( b  +  ( k  +  1 ) ) )
8381, 82oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  k  ->  (
( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  / 
( b  +  ( k  +  1 ) ) ) )
8483oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  k  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) ) )  =  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
b  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
8580, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  k  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  a )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  (
b  +  ( a  +  1 ) ) ) ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( b  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
8679, 85eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  k  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) ) ) )  <->  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( b  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
8786imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  k  ->  (
( b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( a  +  1 )  /  ( b  +  ( a  +  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  k )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  (
b  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
88 faclimlem8 24124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  1
) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  1 ) ) )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  ( b  +  ( 1  +  1 ) ) ) ) ) )
89 seq1 11075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
) )
9028, 89ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
)
91 1nn 9773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
92 faclimlem2 24118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  1 ) ) ) )
93 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) )
94 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  1
) ) )  e. 
_V
9592, 93, 94fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1
)  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  1
) ) ) )
9691, 95ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  1 ) ) )
9790, 96eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  1
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  / 
1 ) ) )
98 seq1 11075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) `  1
) )
9928, 98ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) `  1
)
100 faclimlem2 24118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  1 ) ) ) )
101 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) )
102 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  1
) ) )  e. 
_V
103100, 101, 102fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) `  1
)  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  1
) ) ) )
10491, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) `  1 )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  1 ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  1 ) ) )
10599, 104eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  1
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  / 
1 ) ) )
106105oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 1 )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  (
( 1  +  1 )  /  ( b  +  ( 1  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  / 
1 ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  1 ) ) )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  / 
( b  +  ( 1  +  1 ) ) ) ) )
10788, 97, 1063eqtr4g 2353 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  1 )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( 1  +  1 )  /  (
b  +  ( 1  +  1 ) ) ) ) ) )
108 seqp1 11077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( m  +  1
) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
109108, 27eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( m  +  1
) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
110 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
111 faclimlem2 24118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  ( m  + 
1 ) ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  ( m  +  1 ) ) ) ) )
112 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  ( m  +  1 ) ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  (
m  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
113111, 93, 112fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  ( m  +  1 ) ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  (
m  +  1 ) ) ) ) )
114110, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  ( m  +  1 ) ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  (
m  +  1 ) ) ) ) )
115114oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) `
 ( m  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  m )  x.  (
( ( 1  +  ( 1  /  (
m  +  1 ) ) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  / 
( m  +  1 ) ) ) ) ) )
116109, 115eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( m  +  1
) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( ( 1  +  ( 1  /  ( m  + 
1 ) ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  ( m  +  1 ) ) ) ) ) )
1171163ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  b  e.  NN0  /\  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  m )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( m  + 
1 )  /  (
b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 m )  x.  ( ( ( 1  +  ( 1  / 
( m  +  1 ) ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
118 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 m )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  m
)  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( m  +  1 )  / 
( b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  m )  x.  (
( ( 1  +  ( 1  /  (
m  +  1 ) ) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  / 
( m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( m  + 
1 )  /  (
b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( 1  / 
( m  +  1 ) ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
1191183ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  b  e.  NN0  /\  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  m )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( m  + 
1 )  /  (
b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  m )  x.  (
( ( 1  +  ( 1  /  (
m  +  1 ) ) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  / 
( m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( m  + 
1 )  /  (
b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( 1  / 
( m  +  1 ) ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
120117, 119eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  b  e.  NN0  /\  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  m )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( m  + 
1 )  /  (
b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( m  + 
1 )  /  (
b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( 1  / 
( m  +  1 ) ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
121 faclimlem9 24125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  m )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( m  +  1 )  /  ( b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( 1  /  ( m  +  1 ) ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 m )  x.  ( ( ( 1  +  ( 1  / 
( m  +  1 ) ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  /  ( b  +  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
122 seqp1 11077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  ( m  +  1
) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
123122, 27eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  ( m  +  1
) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
124 faclimlem2 24118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  ( m  + 
1 ) ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  ( m  +  1 ) ) ) ) )
125 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  ( m  +  1 ) ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  (
m  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
126124, 101, 125fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  ( m  +  1 ) ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  (
m  +  1 ) ) ) ) )
127110, 126syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  ( m  +  1 ) ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  (
m  +  1 ) ) ) ) )
128127oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) `
 ( m  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  m )  x.  (
( ( 1  +  ( 1  /  (
m  +  1 ) ) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  / 
( m  +  1 ) ) ) ) ) )
129123, 128eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  ( m  +  1
) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( ( 1  +  ( 1  /  ( m  + 
1 ) ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  ( m  +  1 ) ) ) ) ) )
130129oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  ( m  +  1 ) )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  /  (
b  +  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  m )  x.  (
( ( 1  +  ( 1  /  (
m  +  1 ) ) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  / 
( m  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  / 
( b  +  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
131130adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  (
m  +  1 ) )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  / 
( b  +  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 m )  x.  ( ( ( 1  +  ( 1  / 
( m  +  1 ) ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  /  ( b  +  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
132121, 131eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  m )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( m  +  1 )  /  ( b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( 1  /  ( m  +  1 ) ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  ( m  +  1
) )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  /  ( b  +  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
1331323adant3 975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  b  e.  NN0  /\  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  m )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( m  + 
1 )  /  (
b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 m )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  (
( m  +  1 )  /  ( b  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( 1  /  (
m  +  1 ) ) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  / 
( m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  (
( ( m  + 
1 )  +  1 )  /  ( b  +  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
134120, 133eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  b  e.  NN0  /\  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  m )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  m )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( m  + 
1 )  /  (
b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  (
( ( m  + 
1 )  +  1 )  /  ( b  +  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
1351343exp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
b  e.  NN0  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  m )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  m )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( m  +  1 )  /  ( b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  ( m  +  1
) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  ( m  +  1 ) )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  /  (
b  +  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
136135a2d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  m )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  m )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( m  +  1 )  /  ( b  +  ( m  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  (
b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  (
m  +  1 ) )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  / 
( b  +  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
13760, 69, 78, 87, 107, 136nnind 9780 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  / 
( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  x.  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  / 
( b  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
138137impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  k )  x.  (
( b  +  1 )  x.  ( ( k  +  1 )  /  ( b  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
13944oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ b
)  /  ( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  k
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( n  +  1 )  /  ( b  +  ( n  +  1 ) ) ) ) ) `  k ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `
 k )  x.  ( ( b  +  1 )  x.  (
( k  +  1 )  /  ( b  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
140138, 139eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) ) `  k )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( b  +  1 )  x.  (
( n  +  1 )  /  ( b  +  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) `  k
) ) )
141140adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  / 
( 1  +  ( b  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  b
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  k )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ b )  /  ( 1  +  ( b  /  n
) ) ) ) ) `  k )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( b  +  1 )  x.  ( ( n  +  1 )  / 
( b  +  ( n  +  1 ) ) ) ) ) `
 k ) ) )
14227, 29, 30, 32, 34, 36, 51, 141climmul 12122 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 b ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ( ! `
 b )  x.  ( b  +  1 ) ) )
143 facp1 11309 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( b  +  1 ) )  =  ( ( ! `  b )  x.  (
b  +  1 ) ) )
144143adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 b ) )  ->  ( ! `  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ! `  b
)  x.  ( b  +  1 ) ) )
145142, 144breqtrrd 4065 . . . 4  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 b ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( b  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( b  +  1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  ( b  +  1 ) ) )
146145ex 423 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
b )  /  (
1  +  ( b  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 b )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( b  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( b  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 ( b  +  1 ) ) ) )
14710, 15, 20, 25, 26, 146nn0ind 10124 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 A ) )
1483, 147syl5eqbr 4072 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  F
)  ~~>  ( ! `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246    seq cseq 11062   ^cexp 11120   !cfa 11304    ~~> cli 11974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979
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