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Theorem faclim 24126
 Description: An infinite product expression relating to factorials. Originally due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim.1
Assertion
Ref Expression
faclim
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem faclim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim.1 . . 3
2 seqeq3 11067 . . 3
31, 2ax-mp 8 . 2
4 faclimlem1 24117 . . . . . 6
54mpteq2dv 4123 . . . . 5
65seqeq3d 11070 . . . 4
7 fveq2 5541 . . . . 5
8 fac0 11307 . . . . 5
97, 8syl6eq 2344 . . . 4
106, 9breq12d 4052 . . 3
11 faclimlem1 24117 . . . . . 6
1211mpteq2dv 4123 . . . . 5
1312seqeq3d 11070 . . . 4
14 fveq2 5541 . . . 4
1513, 14breq12d 4052 . . 3
16 faclimlem1 24117 . . . . . 6
1716mpteq2dv 4123 . . . . 5
1817seqeq3d 11070 . . . 4
19 fveq2 5541 . . . 4
2018, 19breq12d 4052 . . 3
21 faclimlem1 24117 . . . . . 6
2221mpteq2dv 4123 . . . . 5
2322seqeq3d 11070 . . . 4
24 fveq2 5541 . . . 4
2523, 24breq12d 4052 . . 3
26 faclimlem3 24119 . . 3
27 nnuz 10279 . . . . . 6
28 1z 10069 . . . . . . 7
2928a1i 10 . . . . . 6
30 simpr 447 . . . . . 6
31 seqex 11064 . . . . . . 7
3231a1i 10 . . . . . 6
33 faclimlem5 24121 . . . . . . 7
3433adantr 451 . . . . . 6
35 faclimlem7 24123 . . . . . . 7
3635adantlr 695 . . . . . 6
37 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12
3837oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
3937, 38oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11
4039oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
41 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
42 ovex 5899 . . . . . . . . . 10
4340, 41, 42fvmpt 5618 . . . . . . . . 9
4443adantl 452 . . . . . . . 8
45 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . 11
4645adantr 451 . . . . . . . . . 10
4746nncnd 9778 . . . . . . . . 9
48 faclimlem4 24120 . . . . . . . . 9
4947, 48mulcld 8871 . . . . . . . 8
5044, 49eqeltrd 2370 . . . . . . 7
5150adantlr 695 . . . . . 6
52 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
53 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13
54 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15
5654, 55oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14
5756oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13
5853, 57oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12
5952, 58eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11
6059imbi2d 307 . . . . . . . . . 10
61 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
62 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13
63 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15
6563, 64oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14
6665oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13
6762, 66oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12
6861, 67eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11
6968imbi2d 307 . . . . . . . . . 10
70 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
71 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13
72 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15
7472, 73oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14
7574oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13
7671, 75oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12
7770, 76eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11
7877imbi2d 307 . . . . . . . . . 10
79 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
80 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13
81 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
8281oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15
8381, 82oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14
8483oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13
8580, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12
8679, 85eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11
8786imbi2d 307 . . . . . . . . . 10
88 faclimlem8 24124 . . . . . . . . . . 11
89 seq1 11075 . . . . . . . . . . . . 13
9028, 89ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
91 1nn 9773 . . . . . . . . . . . . 13
92 faclimlem2 24118 . . . . . . . . . . . . . 14
93 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14
94 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14
9592, 93, 94fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . 13
9691, 95ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
9790, 96eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11
98 seq1 11075 . . . . . . . . . . . . . 14
9928, 98ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
100 faclimlem2 24118 . . . . . . . . . . . . . . 15
101 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
102 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15
103100, 101, 102fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . 14
10491, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
10599, 104eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12
106105oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11
10788, 97, 1063eqtr4g 2353 . . . . . . . . . 10
108 seqp1 11077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109108, 27eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111 faclimlem2 24118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113111, 93, 112fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114110, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115114oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116109, 115eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15
1171163ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14
118 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
1191183ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14
120117, 119eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13
121 faclimlem9 24125 . . . . . . . . . . . . . . 15
122 seqp1 11077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123122, 27eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124 faclimlem2 24118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
125 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126124, 101, 125fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127110, 126syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128127oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129123, 128eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130129oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131130adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
132121, 131eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14
1331323adant3 975 . . . . . . . . . . . . 13
134120, 133eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12
1351343exp 1150 . . . . . . . . . . 11
136135a2d 23 . . . . . . . . . 10
13760, 69, 78, 87, 107, 136nnind 9780 . . . . . . . . 9
138137impcom 419 . . . . . . . 8
13944oveq2d 5890 . . . . . . . 8
140138, 139eqtr4d 2331 . . . . . . 7
141140adantlr 695 . . . . . 6
14227, 29, 30, 32, 34, 36, 51, 141climmul 12122 . . . . 5
143 facp1 11309 . . . . . 6
144143adantr 451 . . . . 5
145142, 144breqtrrd 4065 . . . 4
146145ex 423 . . 3
14710, 15, 20, 25, 26, 146nn0ind 10124 . 2
1483, 147syl5eqbr 4072 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801   class class class wbr 4039   cmpt 4093  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   cdiv 9439  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246   cseq 11062  cexp 11120  cfa 11304   cli 11974 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979
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