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Theorem faclbnd6 12484
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ M ) )  <_  ( ! `  ( N  +  M
) ) )

Proof of Theorem faclbnd6
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6310 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )
21oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ 0 ) ) )
3 oveq2 6310 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( N  +  m )  =  ( N  + 
0 ) )
43fveq2d 5882 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  0 ) ) )
52, 4breq12d 4433 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ 0 ) )  <_  ( ! `  ( N  +  0 ) ) ) )
65imbi2d 317 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ 0 ) )  <_  ( ! `  ( N  +  0 ) ) ) ) )
7 oveq2 6310 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^
k ) )
87oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) ) )
9 oveq2 6310 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( N  +  m )  =  ( N  +  k ) )
109fveq2d 5882 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  k )
) )
118, 10breq12d 4433 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) ) )
1211imbi2d 317 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) ) ) )
13 oveq2 6310 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^
( k  +  1 ) ) )
1413oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) ) )
15 oveq2 6310 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  +  m )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
1615fveq2d 5882 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
1714, 16breq12d 4433 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 317 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 6310 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^ M ) )
2019oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ M
) ) )
21 oveq2 6310 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( N  +  m )  =  ( N  +  M ) )
2221fveq2d 5882 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  M )
) )
2320, 22breq12d 4433 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ M
) )  <_  ( ! `  ( N  +  M ) ) ) )
2423imbi2d 317 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ M
) )  <_  ( ! `  ( N  +  M ) ) ) ) )
25 faccl 12469 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2625nnred 10625 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
2726leidd 10181 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  <_ 
( ! `  N
) )
28 nn0cn 10880 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
29 peano2cn 9806 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
3028, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
3130exp0d 12410 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 ) ^ 0 )  =  1 )
3231oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  1 ) )
3325nncnd 10626 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
3433mulid1d 9661 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  1 )  =  ( ! `  N
) )
3532, 34eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
3628addid1d 9834 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  0 )  =  N )
3736fveq2d 5882 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
3827, 35, 373brtr4d 4451 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )  <_ 
( ! `  ( N  +  0 ) ) )
3926adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  e.  RR )
40 peano2nn0 10911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4140nn0red 10927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
42 reexpcl 12289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  RR )
4341, 42sylan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  RR )
4439, 43remulcld 9672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  e.  RR )
45 nnnn0 10877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN0 )
4645nn0ge0d 10929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  0  <_  ( ! `  N
) )
4725, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  N
) )
4847adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ! `  N ) )
4941adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  RR )
50 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
5140nn0ge0d 10929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( N  +  1 ) )
5251adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( N  +  1 ) )
5349, 50, 52expge0d 12434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )
5439, 43, 48, 53mulge0d 10191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) ) )
5544, 54jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) ) ) )
56 nn0addcl 10906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  k )  e.  NN0 )
57 faccl 12469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  k )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  +  k ) )  e.  NN )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( N  +  k )
)  e.  NN )
5958nnred 10625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( N  +  k )
)  e.  RR )
60 nn0re 10879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
61 peano2nn0 10911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
6261nn0red 10927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
63 readdcl 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6460, 62, 63syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6549, 52, 64jca31 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )
6655, 59, 65jca31 536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) ) )  /\  ( ! `  ( N  +  k ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
6766adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) ) )  /\  ( ! `  ( N  +  k ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
68 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )
6936adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  =  N )
70 nn0ge0 10896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
7170adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  k )
72 nn0re 10879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
7372adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR )
7460adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
75 0re 9644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
76 leadd2 10084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
0  <_  k  <->  ( N  +  0 )  <_ 
( N  +  k ) ) )
7775, 76mp3an1 1347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  k  <->  ( N  +  0 )  <_  ( N  +  k ) ) )
7873, 74, 77syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  k  <->  ( N  +  0 )  <_  ( N  +  k ) ) )
7971, 78mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  <_  ( N  +  k ) )
8069, 79eqbrtrrd 4443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( N  +  k ) )
8156nn0red 10927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  k )  e.  RR )
82 1re 9643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
83 leadd1 10083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  +  k
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( N  <_  ( N  +  k )  <->  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  k )  +  1 ) ) )
8482, 83mp3an3 1349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  +  k
)  e.  RR )  ->  ( N  <_ 
( N  +  k )  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  k )  +  1 ) ) )
8574, 81, 84syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  ( N  +  k )  <->  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  k )  +  1 ) ) )
8680, 85mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  k )  +  1 ) )
87 nn0cn 10880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
88 ax-1cn 9598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
89 addass 9627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  +  k )  +  1 )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9088, 89mp3an3 1349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  +  k )  +  1 )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9128, 87, 90syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  +  k )  +  1 )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9286, 91breqtrd 4445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9392adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( N  +  1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9468, 93jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) )  /\  ( N  + 
1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
95 lemul12a 10464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
k ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) ) )  /\  ( ! `  ( N  +  k ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k
) )  /\  ( N  +  1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  x.  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
9667, 94, 95sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  x.  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
97 expp1 12279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
9830, 97sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
9998oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10033adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  e.  CC )
101 expcl 12290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  CC )
10230, 101sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  CC )
10330adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  CC )
104100, 102, 103mulassd 9667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10599, 104eqtr4d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
106105adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
107 facp1 12464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  k )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k
) )  x.  (
( N  +  k )  +  1 ) ) )
10856, 107syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( ( N  +  k )  +  1 ) ) )
10991fveq2d 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ! `
 ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
11091oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( N  +  k
) )  x.  (
( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
111108, 109, 1103eqtr3d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
112111adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
11396, 106, 1123brtr4d 4451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
114113ex 435 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) )  ->  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
115114expcom 436 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k
) )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
116115a2d 29 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k
) ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
1176, 12, 18, 24, 38, 116nn0ind 11031 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^ M ) )  <_ 
( ! `  ( N  +  M )
) ) )
118117impcom 431 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ M ) )  <_  ( ! `  ( N  +  M
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    <_ cle 9677   NNcn 10610   NN0cn0 10870   ^cexp 12272   !cfa 12459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460
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