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Theorem faclbnd6 8206
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6 |- ((N e. NN0 /\ M e. NN0) -> ((!` N) x. ((N + 1)^M)) <_ (!` (N + M)))
Proof of Theorem faclbnd6
StepHypRef Expression
1 opreq2 4890 . . . . . 6 |- (m = 0 -> ((N + 1)^m) = ((N + 1)^0))
21opreq2d 4898 . . . . 5 |- (m = 0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^m)) = ((!` N) x. ((N + 1)^0)))
3 opreq2 4890 . . . . . 6 |- (m = 0 -> (N + m) = (N + 0))
43fveq2d 4685 . . . . 5 |- (m = 0 -> (!` (N + m)) = (!` (N + 0)))
52, 4breq12d 3351 . . . 4 |- (m = 0 -> (((!` N) x. ((N + 1)^m)) <_ (!` (N + m)) <-> ((!` N) x. ((N + 1)^0)) <_ (!` (N + 0))))
65imbi2d 674 . . 3 |- (m = 0 -> ((N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^m)) <_ (!` (N + m))) <-> (N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^0)) <_ (!` (N + 0)))))
7 opreq2 4890 . . . . . 6 |- (m = k -> ((N + 1)^m) = ((N + 1)^k))
87opreq2d 4898 . . . . 5 |- (m = k -> ((!` N) x. ((N + 1)^m)) = ((!` N) x. ((N + 1)^k)))
9 opreq2 4890 . . . . . 6 |- (m = k -> (N + m) = (N + k))
109fveq2d 4685 . . . . 5 |- (m = k -> (!` (N + m)) = (!` (N + k)))
118, 10breq12d 3351 . . . 4 |- (m = k -> (((!` N) x. ((N + 1)^m)) <_ (!` (N + m)) <-> ((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k))))
1211imbi2d 674 . . 3 |- (m = k -> ((N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^m)) <_ (!` (N + m))) <-> (N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k)))))
13 opreq2 4890 . . . . . 6 |- (m = (k + 1) -> ((N + 1)^m) = ((N + 1)^(k + 1)))
1413opreq2d 4898 . . . . 5 |- (m = (k + 1) -> ((!` N) x. ((N + 1)^m)) = ((!` N) x. ((N + 1)^(k + 1))))
15 opreq2 4890 . . . . . 6 |- (m = (k + 1) -> (N + m) = (N + (k + 1)))
1615fveq2d 4685 . . . . 5 |- (m = (k + 1) -> (!` (N + m)) = (!` (N + (k + 1))))
1714, 16breq12d 3351 . . . 4 |- (m = (k + 1) -> (((!` N) x. ((N + 1)^m)) <_ (!` (N + m)) <-> ((!` N) x. ((N + 1)^(k + 1))) <_ (!` (N + (k + 1)))))
1817imbi2d 674 . . 3 |- (m = (k + 1) -> ((N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^m)) <_ (!` (N + m))) <-> (N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^(k + 1))) <_ (!` (N + (k + 1))))))
19 opreq2 4890 . . . . . 6 |- (m = M -> ((N + 1)^m) = ((N + 1)^M))
2019opreq2d 4898 . . . . 5 |- (m = M -> ((!` N) x. ((N + 1)^m)) = ((!` N) x. ((N + 1)^M)))
21 opreq2 4890 . . . . . 6 |- (m = M -> (N + m) = (N + M))
2221fveq2d 4685 . . . . 5 |- (m = M -> (!` (N + m)) = (!` (N + M)))
2320, 22breq12d 3351 . . . 4 |- (m = M -> (((!` N) x. ((N + 1)^m)) <_ (!` (N + m)) <-> ((!` N) x. ((N + 1)^M)) <_ (!` (N + M))))
2423imbi2d 674 . . 3 |- (m = M -> ((N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^m)) <_ (!` (N + m))) <-> (N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^M)) <_ (!` (N + M)))))
25 faccl 8192 . . . . 5 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. NN)
26 nnre 7112 . . . . 5 |- ((!` N) e. NN -> (!` N) e. RR)
27 leid 6701 . . . . 5 |- ((!` N) e. RR -> (!` N) <_ (!` N))
2825, 26, 273syl 24 . . . 4 |- (N e. NN0 -> (!` N) <_ (!` N))
29 nn0cn 7318 . . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> N e. CC)
30 peano2cn 6498 . . . . . . . 8 |- (N e. CC -> (N + 1) e. CC)
3129, 30syl 12 . . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (N + 1) e. CC)
32 exp0 7814 . . . . . . 7 |- ((N + 1) e. CC -> ((N + 1)^0) = 1)
3331, 32syl 12 . . . . . 6 |- (N e. NN0 -> ((N + 1)^0) = 1)
3433opreq2d 4898 . . . . 5 |- (N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^0)) = ((!` N) x. 1))
35 nncn 7113 . . . . . . 7 |- ((!` N) e. NN -> (!` N) e. CC)
3625, 35syl 12 . . . . . 6 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. CC)
37 ax1id 6435 . . . . . 6 |- ((!` N) e. CC -> ((!` N) x. 1) = (!` N))
3836, 37syl 12 . . . . 5 |- (N e. NN0 -> ((!` N) x. 1) = (!` N))
3934, 38eqtrd 1925 . . . 4 |- (N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^0)) = (!` N))
40 addid1 6463 . . . . . 6 |- (N e. CC -> (N + 0) = N)
4129, 40syl 12 . . . . 5 |- (N e. NN0 -> (N + 0) = N)
4241fveq2d 4685 . . . 4 |- (N e. NN0 -> (!` (N + 0)) = (!` N))
4328, 39, 423brtr4d 3367 . . 3 |- (N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^0)) <_ (!` (N + 0)))
4425, 26syl 12 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. RR)
4544adantr 425 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (!` N) e. RR)
46 reexpcl 7823 . . . . . . . . . . . 12 |- (((N + 1) e. RR /\ k e. NN0) -> ((N + 1)^k) e. RR)
47 nn0re 7317 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. NN0 -> N e. RR)
48 peano2re 6599 . . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. RR -> (N + 1) e. RR)
4947, 48syl 12 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. NN0 -> (N + 1) e. RR)
5046, 49sylan 497 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((N + 1)^k) e. RR)
51 remulcl 6457 . . . . . . . . . . 11 |- (((!` N) e. RR /\ ((N + 1)^k) e. RR) -> ((!` N) x. ((N + 1)^k)) e. RR)
5245, 50, 51syl11anc 524 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` N) x. ((N + 1)^k)) e. RR)
53 nn0addcl 7329 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (N + k) e. NN0)
54 faccl 8192 . . . . . . . . . . 11 |- ((N + k) e. NN0 -> (!` (N + k)) e. NN)
55 nnre 7112 . . . . . . . . . . 11 |- ((!` (N + k)) e. NN -> (!` (N + k)) e. RR)
5653, 54, 553syl 24 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (!` (N + k)) e. RR)
5752, 56jca 310 . . . . . . . . 9 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (((!` N) x. ((N + 1)^k)) e. RR /\ (!` (N + k)) e. RR))
5857adantr 425 . . . . . . . 8 |- (((N e. NN0 /\ k e. NN0) /\ ((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k))) -> (((!` N) x. ((N + 1)^k)) e. RR /\ (!` (N + k)) e. RR))
59 nnnn0 7315 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((!` N) e. NN -> (!` N) e. NN0)
6025, 59syl 12 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. NN0)
6160adantr 425 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (!` N) e. NN0)
62 nn0expcl 7820 . . . . . . . . . . . 12 |- (((N + 1) e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((N + 1)^k) e. NN0)
63 peano2nn0 7333 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. NN0 -> (N + 1) e. NN0)
6462, 63sylan 497 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((N + 1)^k) e. NN0)
65 nn0mulcl 7332 . . . . . . . . . . 11 |- (((!` N) e. NN0 /\ ((N + 1)^k) e. NN0) -> ((!` N) x. ((N + 1)^k)) e. NN0)
6661, 64, 65syl11anc 524 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` N) x. ((N + 1)^k)) e. NN0)
67 nn0ge0 7326 . . . . . . . . . 10 |- (((!` N) x. ((N + 1)^k)) e. NN0 -> 0 <_ ((!` N) x. ((N + 1)^k)))
6866, 67syl 12 . . . . . . . . 9 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> 0 <_ ((!` N) x. ((N + 1)^k)))
6968anim1i 361 . . . . . . . 8 |- (((N e. NN0 /\ k e. NN0) /\ ((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k))) -> (0 <_ ((!` N) x. ((N + 1)^k)) /\ ((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k))))
7049adantr 425 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (N + 1) e. RR)
71 ax1cn 6422 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
72 addass 6460 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC) -> ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
7371, 72mp3an3 1180 . . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. CC /\ k e. CC) -> ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
74 nn0cn 7318 . . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN0 -> k e. CC)
7573, 29, 74syl2an 503 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
76 peano2nn0 7333 . . . . . . . . . . . 12 |- ((N + k) e. NN0 -> ((N + k) + 1) e. NN0)
77 nn0re 7317 . . . . . . . . . . . 12 |- (((N + k) + 1) e. NN0 -> ((N + k) + 1) e. RR)
7853, 76, 773syl 24 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((N + k) + 1) e. RR)
7975, 78eqeltrrd 1972 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (N + (k + 1)) e. RR)
80 nn0ge0 7326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((N + 1) e. NN0 -> 0 <_ (N + 1))
8163, 80syl 12 . . . . . . . . . . . 12 |- (N e. NN0 -> 0 <_ (N + 1))
8281adantr 425 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> 0 <_ (N + 1))
83 nn0ge0 7326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (k e. NN0 -> 0 <_ k)
8483adantl 424 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> 0 <_ k)
85 addge02 6862 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((N + 1) e. RR /\ k e. RR) -> (0 <_ k <-> (N + 1) <_ (k + (N + 1))))
86 nn0re 7317 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (k e. NN0 -> k e. RR)
8785, 49, 86syl2an 503 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (0 <_ k <-> (N + 1) <_ (k + (N + 1))))
8884, 87mpbid 212 . . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (N + 1) <_ (k + (N + 1)))
89 add12 6489 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC) -> (N + (k + 1)) = (k + (N + 1)))
9071, 89mp3an3 1180 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. CC /\ k e. CC) -> (N + (k + 1)) = (k + (N + 1)))
9190, 29, 74syl2an 503 . . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (N + (k + 1)) = (k + (N + 1)))
9288, 91breqtrrd 3363 . . . . . . . . . . 11 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (N + 1) <_ (N + (k + 1)))
9382, 92jca 310 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (0 <_ (N + 1) /\ (N + 1) <_ (N + (k + 1))))
9470, 79, 93jca31 311 . . . . . . . . 9 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (((N + 1) e. RR /\ (N + (k + 1)) e. RR) /\ (0 <_ (N + 1) /\ (N + 1) <_ (N + (k + 1)))))
9594adantr 425 . . . . . . . 8 |- (((N e. NN0 /\ k e. NN0) /\ ((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k))) -> (((N + 1) e. RR /\ (N + (k + 1)) e. RR) /\ (0 <_ (N + 1) /\ (N + 1) <_ (N + (k + 1)))))
96 lemul12aOLD 7025 . . . . . . . 8 |- ((((((!` N) x. ((N + 1)^k)) e. RR /\ (!` (N + k)) e. RR) /\ (0 <_ ((!` N) x. ((N + 1)^k)) /\ ((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k)))) /\ (((N + 1) e. RR /\ (N + (k + 1)) e. RR) /\ (0 <_ (N + 1) /\ (N + 1) <_ (N + (k + 1))))) -> (((!` N) x. ((N + 1)^k)) x. (N + 1)) <_ ((!` (N + k)) x. (N + (k + 1))))
9758, 69, 95, 96syl21anc 1099 . . . . . . 7 |- (((N e. NN0 /\ k e. NN0) /\ ((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k))) -> (((!` N) x. ((N + 1)^k)) x. (N + 1)) <_ ((!` (N + k)) x. (N + (k + 1))))
98 expp1 7817 . . . . . . . . . . 11 |- (((N + 1) e. CC /\ k e. NN0) -> ((N + 1)^(k + 1)) = (((N + 1)^k) x. (N + 1)))
9998, 31sylan 497 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((N + 1)^(k + 1)) = (((N + 1)^k) x. (N + 1)))
10099opreq2d 4898 . . . . . . . . 9 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` N) x. ((N + 1)^(k + 1))) = ((!` N) x. (((N + 1)^k) x. (N + 1))))
10136adantr 425 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (!` N) e. CC)
102 expcl 7824 . . . . . . . . . . 11 |- (((N + 1) e. CC /\ k e. NN0) -> ((N + 1)^k) e. CC)
103102, 31sylan 497 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((N + 1)^k) e. CC)
10431adantr 425 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (N + 1) e. CC)
105 mulass 6461 . . . . . . . . . 10 |- (((!` N) e. CC /\ ((N + 1)^k) e. CC /\ (N + 1) e. CC) -> (((!` N) x. ((N + 1)^k)) x. (N + 1)) = ((!` N) x. (((N + 1)^k) x. (N + 1))))
106101, 103, 104, 105syl111anc 1100 . . . . . . . . 9 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (((!` N) x. ((N + 1)^k)) x. (N + 1)) = ((!` N) x. (((N + 1)^k) x. (N + 1))))
107100, 106eqtr4d 1928 . . . . . . . 8 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` N) x. ((N + 1)^(k + 1))) = (((!` N) x. ((N + 1)^k)) x. (N + 1)))
108107adantr 425 . . . . . . 7 |- (((N e. NN0 /\ k e. NN0) /\ ((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k))) -> ((!` N) x. ((N + 1)^(k + 1))) = (((!` N) x. ((N + 1)^k)) x. (N + 1)))
109 facp1 8188 . . . . . . . . . 10 |- ((N + k) e. NN0 -> (!` ((N + k) + 1)) = ((!` (N + k)) x. ((N + k) + 1)))
11053, 109syl 12 . . . . . . . . 9 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (!` ((N + k) + 1)) = ((!` (N + k)) x. ((N + k) + 1)))
11175fveq2d 4685 . . . . . . . . 9 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (!` ((N + k) + 1)) = (!` (N + (k + 1))))
11275opreq2d 4898 . . . . . . . . 9 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` (N + k)) x. ((N + k) + 1)) = ((!` (N + k)) x. (N + (k + 1))))
113110, 111, 1123eqtr3d 1934 . . . . . . . 8 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (!` (N + (k + 1))) = ((!` (N + k)) x. (N + (k + 1))))
114113adantr 425 . . . . . . 7 |- (((N e. NN0 /\ k e. NN0) /\ ((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k))) -> (!` (N + (k + 1))) = ((!` (N + k)) x. (N + (k + 1))))
11597, 108, 1143brtr4d 3367 . . . . . 6 |- (((N e. NN0 /\ k e. NN0) /\ ((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k))) -> ((!` N) x. ((N + 1)^(k + 1))) <_ (!` (N + (k + 1))))
116115ex 402 . . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0) -> (((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k)) -> ((!` N) x. ((N + 1)^(k + 1))) <_ (!` (N + (k + 1)))))
117116expcom 403 . . . 4 |- (k e. NN0 -> (N e. NN0 -> (((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k)) -> ((!` N) x. ((N + 1)^(k + 1))) <_ (!` (N + (k + 1))))))
118117a2d 16 . . 3 |- (k e. NN0 -> ((N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^k)) <_ (!` (N + k))) -> (N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^(k + 1))) <_ (!` (N + (k + 1))))))
1196, 12, 18, 24, 43, 118nn0ind 7424 . 2 |- (M e. NN0 -> (N e. NN0 -> ((!` N) x. ((N + 1)^M)) <_ (!` (N + M))))
120119impcom 378 1 |- ((N e. NN0 /\ M e. NN0) -> ((!` N) x. ((N + 1)^M)) <_ (!` (N + M)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ^cexp 7811  !cfa 8183
This theorem is referenced by:  ef1tllem 8643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-fac 8184
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