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Theorem faclbnd6 12359
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ M ) )  <_  ( ! `  ( N  +  M
) ) )

Proof of Theorem faclbnd6
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )
21oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ 0 ) ) )
3 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( N  +  m )  =  ( N  + 
0 ) )
43fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  0 ) ) )
52, 4breq12d 4452 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ 0 ) )  <_  ( ! `  ( N  +  0 ) ) ) )
65imbi2d 314 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ 0 ) )  <_  ( ! `  ( N  +  0 ) ) ) ) )
7 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^
k ) )
87oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) ) )
9 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( N  +  m )  =  ( N  +  k ) )
109fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  k )
) )
118, 10breq12d 4452 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) ) )
1211imbi2d 314 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) ) ) )
13 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^
( k  +  1 ) ) )
1413oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) ) )
15 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  +  m )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
1615fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
1714, 16breq12d 4452 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 314 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^ M ) )
2019oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ M
) ) )
21 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( N  +  m )  =  ( N  +  M ) )
2221fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  M )
) )
2320, 22breq12d 4452 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ M
) )  <_  ( ! `  ( N  +  M ) ) ) )
2423imbi2d 314 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ M
) )  <_  ( ! `  ( N  +  M ) ) ) ) )
25 faccl 12345 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2625nnred 10546 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
2726leidd 10115 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  <_ 
( ! `  N
) )
28 nn0cn 10801 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
29 peano2cn 9741 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
3130exp0d 12286 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 ) ^ 0 )  =  1 )
3231oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  1 ) )
3325nncnd 10547 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
3433mulid1d 9602 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  1 )  =  ( ! `  N
) )
3532, 34eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
3628addid1d 9769 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  0 )  =  N )
3736fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
3827, 35, 373brtr4d 4469 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )  <_ 
( ! `  ( N  +  0 ) ) )
3926adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  e.  RR )
40 peano2nn0 10832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4140nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
42 reexpcl 12165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  RR )
4341, 42sylan 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  RR )
4439, 43remulcld 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  e.  RR )
45 nnnn0 10798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN0 )
4645nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  0  <_  ( ! `  N
) )
4725, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  N
) )
4847adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ! `  N ) )
4941adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  RR )
50 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
5140nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( N  +  1 ) )
5251adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( N  +  1 ) )
5349, 50, 52expge0d 12310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )
5439, 43, 48, 53mulge0d 10125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) ) )
5544, 54jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) ) ) )
56 nn0addcl 10827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  k )  e.  NN0 )
57 faccl 12345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  k )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  +  k ) )  e.  NN )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( N  +  k )
)  e.  NN )
5958nnred 10546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( N  +  k )
)  e.  RR )
60 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
61 peano2nn0 10832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
6261nn0red 10849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
63 readdcl 9564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6460, 62, 63syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6549, 52, 64jca31 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )
6655, 59, 65jca31 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) ) )  /\  ( ! `  ( N  +  k ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
6766adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) ) )  /\  ( ! `  ( N  +  k ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
68 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )
6936adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  =  N )
70 nn0ge0 10817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
7170adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  k )
72 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
7372adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR )
7460adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
75 0re 9585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
76 leadd2 10017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
0  <_  k  <->  ( N  +  0 )  <_ 
( N  +  k ) ) )
7775, 76mp3an1 1309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  k  <->  ( N  +  0 )  <_  ( N  +  k ) ) )
7873, 74, 77syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  k  <->  ( N  +  0 )  <_  ( N  +  k ) ) )
7971, 78mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  <_  ( N  +  k ) )
8069, 79eqbrtrrd 4461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( N  +  k ) )
8156nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  k )  e.  RR )
82 1re 9584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
83 leadd1 10016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  +  k
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( N  <_  ( N  +  k )  <->  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  k )  +  1 ) ) )
8482, 83mp3an3 1311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  +  k
)  e.  RR )  ->  ( N  <_ 
( N  +  k )  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  k )  +  1 ) ) )
8574, 81, 84syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  ( N  +  k )  <->  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  k )  +  1 ) ) )
8680, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  k )  +  1 ) )
87 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
88 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
89 addass 9568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  +  k )  +  1 )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9088, 89mp3an3 1311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  +  k )  +  1 )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9128, 87, 90syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  +  k )  +  1 )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9286, 91breqtrd 4463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9392adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( N  +  1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9468, 93jca 530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) )  /\  ( N  + 
1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
95 lemul12a 10396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
k ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) ) )  /\  ( ! `  ( N  +  k ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k
) )  /\  ( N  +  1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  x.  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
9667, 94, 95sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  x.  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
97 expp1 12155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
9830, 97sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
9998oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10033adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  e.  CC )
101 expcl 12166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  CC )
10230, 101sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  CC )
10330adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  CC )
104100, 102, 103mulassd 9608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10599, 104eqtr4d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
106105adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
107 facp1 12340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  k )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k
) )  x.  (
( N  +  k )  +  1 ) ) )
10856, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( ( N  +  k )  +  1 ) ) )
10991fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ! `
 ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
11091oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( N  +  k
) )  x.  (
( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
111108, 109, 1103eqtr3d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
112111adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
11396, 106, 1123brtr4d 4469 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
114113ex 432 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) )  ->  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
115114expcom 433 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k
) )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
116115a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k
) ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
1176, 12, 18, 24, 38, 116nn0ind 10955 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^ M ) )  <_ 
( ! `  ( N  +  M )
) ) )
118117impcom 428 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ M ) )  <_  ( ! `  ( N  +  M
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ^cexp 12148   !cfa 12335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336
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