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Theorem faclbnd5 12186
Description: The factorial function grows faster than powers and exponentiations. If we consider  K and  M to be constants, the right-hand side of the inequality is a constant times 
N-factorial. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd5
StepHypRef Expression
1 nn0re 10694 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 reexpcl 11994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
31, 2sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
43ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
5 nnre 10435 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
6 reexpcl 11994 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
75, 6sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
8 remulcl 9473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N ^ K
)  e.  RR  /\  ( M ^ N )  e.  RR )  -> 
( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N ) )  e.  RR )
94, 7, 8syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  e.  RR )
109anandirs 827 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  e.  RR )
11 2nn 10585 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
12 2nn0 10702 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
13 nn0expcl 11991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( K ^ 2 )  e.  NN0 )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K ^ 2 )  e. 
NN0 )
15 nnexpcl 11990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( K ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  NN )
1611, 14, 15sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  e.  NN )
17 nnnn0 10692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
18 nn0addcl 10721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  +  K
)  e.  NN0 )
1918ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  K
)  e.  NN0 )
2017, 19sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  +  K
)  e.  NN0 )
21 nnexpcl 11990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( M  +  K
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  +  K )
)  e.  NN )
2220, 21sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN ) )  ->  ( M ^ ( M  +  K ) )  e.  NN )
2322anabss7 817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( M ^ ( M  +  K )
)  e.  NN )
24 nnmulcl 10451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  NN  /\  ( M ^ ( M  +  K ) )  e.  NN )  ->  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  e.  NN )
2516, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN ) )  ->  ( (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  e.  NN )
2625anabss5 812 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  NN )
2726nnred 10443 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  RR )
28 faccl 12173 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2928nnred 10443 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
30 remulcl 9473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  ->  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )
3127, 29, 30syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  e.  RR )
32 2re 10497 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
33 remulcl 9473 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )  e.  RR )
3432, 31, 33sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )  e.  RR )
35 faclbnd4 12185 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
3617, 35syl3an3 1254 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
37363coml 1195 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
38373expa 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
39 1lt2 10594 . . . . . 6  |-  1  <  2
40 nnmulcl 10451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  ->  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  e.  NN )
4126, 28, 40syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  e.  NN )
4241nngt0d 10471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  <  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
43 ltmulgt12 10296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  (
1  <  2  <->  ( (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) ) )
4432, 43mp3an2 1303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )  -> 
( 1  <  2  <->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  < 
( 2  x.  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) ) )
4531, 42, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 1  <  2  <->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) ) )
4639, 45mpbii 211 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
4710, 31, 34, 38, 46lelttrd 9635 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
4826nncnd 10444 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC )
4928nncnd 10444 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
50 2cn 10498 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
51 mulass 9476 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC  /\  ( ! `  N )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5250, 51mp3an1 1302 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC  /\  ( ! `  N )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5348, 49, 52syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  =  ( 2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
5447, 53breqtrrd 4421 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <  (
( 2  x.  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
55543impa 1183 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
56553comr 1196 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391    x. cmul 9393    < clt 9524    <_ cle 9525   NNcn 10428   2c2 10477   NN0cn0 10685   ^cexp 11977   !cfa 12163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164
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