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Theorem faclbnd5 12358
Description: The factorial function grows faster than powers and exponentiations. If we consider  K and  M to be constants, the right-hand side of the inequality is a constant times 
N-factorial. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd5
StepHypRef Expression
1 nn0re 10800 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 reexpcl 12165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
31, 2sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
43ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
5 nnre 10538 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
6 reexpcl 12165 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
75, 6sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
8 remulcl 9566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N ^ K
)  e.  RR  /\  ( M ^ N )  e.  RR )  -> 
( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N ) )  e.  RR )
94, 7, 8syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  e.  RR )
109anandirs 829 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  e.  RR )
11 2nn 10689 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
12 nn0sqcl 12175 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K ^ 2 )  e. 
NN0 )
13 nnexpcl 12161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( K ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  NN )
1411, 12, 13sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  e.  NN )
15 nnnn0 10798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
16 nn0addcl 10827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  +  K
)  e.  NN0 )
1716ancoms 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  K
)  e.  NN0 )
1815, 17sylan2 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  +  K
)  e.  NN0 )
19 nnexpcl 12161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( M  +  K
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  +  K )
)  e.  NN )
2018, 19sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN ) )  ->  ( M ^ ( M  +  K ) )  e.  NN )
2120anabss7 819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( M ^ ( M  +  K )
)  e.  NN )
22 nnmulcl 10554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  NN  /\  ( M ^ ( M  +  K ) )  e.  NN )  ->  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  e.  NN )
2314, 21, 22syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN ) )  ->  ( (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  e.  NN )
2423anabss5 814 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  NN )
2524nnred 10546 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  RR )
26 faccl 12345 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2726nnred 10546 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
28 remulcl 9566 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  ->  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )
2925, 27, 28syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  e.  RR )
30 2re 10601 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
31 remulcl 9566 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )  e.  RR )
3230, 29, 31sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )  e.  RR )
33 faclbnd4 12357 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
3415, 33syl3an3 1261 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
35343coml 1201 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
36353expa 1194 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
37 1lt2 10698 . . . . . 6  |-  1  <  2
38 nnmulcl 10554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  ->  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  e.  NN )
3924, 26, 38syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  e.  NN )
4039nngt0d 10575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  <  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
41 ltmulgt12 10399 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  (
1  <  2  <->  ( (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) ) )
4230, 41mp3an2 1310 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )  -> 
( 1  <  2  <->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  < 
( 2  x.  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) ) )
4329, 40, 42syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 1  <  2  <->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) ) )
4437, 43mpbii 211 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
4510, 29, 32, 36, 44lelttrd 9729 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
4624nncnd 10547 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC )
4726nncnd 10547 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
48 2cn 10602 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
49 mulass 9569 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC  /\  ( ! `  N )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5048, 49mp3an1 1309 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC  /\  ( ! `  N )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5146, 47, 50syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  =  ( 2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
5245, 51breqtrrd 4465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <  (
( 2  x.  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
53523impa 1189 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
54533comr 1202 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ^cexp 12148   !cfa 12335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336
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