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Theorem faclbnd4lem2 12375
Description: Lemma for faclbnd4 12378. Use the weak deduction theorem to convert the hypotheses of faclbnd4lem1 12374 to antecedents. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )

Proof of Theorem faclbnd4lem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ ( N  -  1 ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )
21oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) ) ) )
3 id 22 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  ->  M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) )
4 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M  +  K
)  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) )
53, 4oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ ( M  +  K )
)  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )
65oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) ) )
76oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
82, 7breq12d 4469 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  -  1 ) ) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  <->  ( (
( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) ) ) )
9 oveq1 6303 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ N
)  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )
109oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  =  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) ) )
11 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M  +  ( K  +  1 ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) )
123, 11oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )
1312oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) ) )
1413oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
)  =  ( ( ( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )
1510, 14breq12d 4469 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  <->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
168, 15imbi12d 320 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )  <-> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) ) ) )
17 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( N  - 
1 ) ^ K
)  =  ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) )
1817oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
19 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( K ^ 2 )  =  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )
2019oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^
2 ) ) )
21 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) )
2221oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 ) ) ) )
2320, 22oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) ) )
2423oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )
2518, 24breq12d 4469 . . 3  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  <->  ( (
( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) ) )
26 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( K  +  1 )  =  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )
2726oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( N ^ ( K  +  1 ) )  =  ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) )
2827oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  =  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) ) )
2926oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( K  + 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )
3029oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^
2 ) ) )
3126oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 )  +  ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ) )
3231oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )
3330, 32oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) ) )
3433oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )
3528, 34breq12d 4469 . . 3  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  <->  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
3625, 35imbi12d 320 . 2  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )  <-> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
) ) ) )
37 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( N  -  1 )  =  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) )
3837oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( N  - 
1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  =  ( ( if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) )
3937oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )
4038, 39oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) ) )
4137fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ! `  ( N  -  1 ) )  =  ( ! `
 ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )
4241oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) ) )
4340, 42breq12d 4469 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  <->  ( ( ( if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) ) ) )
44 oveq1 6303 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  =  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) )
45 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
4644, 45oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( N ^
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  =  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
47 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ! `  N
)  =  ( ! `
 if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
4847oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
4946, 48breq12d 4469 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
)  <->  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ (
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ) )
5043, 49imbi12d 320 . 2  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
) )  <->  ( (
( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ (
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ) ) )
51 1nn 10567 . . . 4  |-  1  e.  NN
5251elimel 4007 . . 3  |-  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  e.  NN
53 1nn0 10832 . . . 4  |-  1  e.  NN0
5453elimel 4007 . . 3  |-  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  e.  NN0
5553elimel 4007 . . 3  |-  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  e.  NN0
5652, 54, 55faclbnd4lem1 12374 . 2  |-  ( ( ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ (
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
5716, 36, 50, 56dedth3h 3998 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ^cexp 12169   !cfa 12356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  12377
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