MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4 Structured version   Unicode version

Theorem faclbnd4 12056
Description: Variant of faclbnd5 12057 providing a non-strict lower bound. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd4
StepHypRef Expression
1 elnn0 10568 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 faclbnd4lem4 12055 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
323com13 1185 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
433expa 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
5 faclbnd4lem3 12054 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  N  =  0
)  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
64, 5jaodan 776 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( N  e.  NN  \/  N  =  0
) )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
71, 6sylan2b 472 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
873impa 1175 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
983com13 1185 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   0cc0 9269    + caddc 9272    x. cmul 9274    <_ cle 9406   NNcn 10309   2c2 10358   NN0cn0 10566   ^cexp 11848   !cfa 12034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-rp 10979  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035
This theorem is referenced by:  faclbnd5  12057
  Copyright terms: Public domain W3C validator