Theorem faclbnd3 8199

Description: A lower bound for the factorial function.

Assertion

Ref	Expression
faclbnd3	|- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M^N) <_ ((M^M) x. (!` N)))

Proof of Theorem faclbnd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 7112	. . . . . 6 |- (M e. NN -> M e. RR)
2	1	adantr 425	. . . . 5 |- ((M e. NN /\ N e. NN0) -> M e. RR)
3		simpr 350	. . . . 5 |- ((M e. NN /\ N e. NN0) -> N e. NN0)
4		peano2nn0 7333	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> (N + 1) e. NN0)
5	4	adantl 424	. . . . 5 |- ((M e. NN /\ N e. NN0) -> (N + 1) e. NN0)
6		nnge1 7126	. . . . . 6 |- (M e. NN -> 1 <_ M)
7		nn0re 7317	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> N e. RR)
8		leid 6701	. . . . . . . 8 |- (N e. RR -> N <_ N)
9	7, 8	syl 12	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> N <_ N)
10		letrp1 6994	. . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ N e. RR /\ N <_ N) -> N <_ (N + 1))
11	7, 7, 9, 10	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> N <_ (N + 1))
12	6, 11	anim12i 360	. . . . 5 |- ((M e. NN /\ N e. NN0) -> (1 <_ M /\ N <_ (N + 1)))
13		expwordi 7848	. . . . 5 |- (((M e. RR /\ N e. NN0 /\ (N + 1) e. NN0) /\ (1 <_ M /\ N <_ (N + 1))) -> (M^N) <_ (M^(N + 1)))
14	2, 3, 5, 12, 13	syl31anc 1103	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N e. NN0) -> (M^N) <_ (M^(N + 1)))
15		faclbnd 8197	. . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N)))
16		nnnn0 7315	. . . . 5 |- (M e. NN -> M e. NN0)
17	15, 16	sylan 497	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N e. NN0) -> (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N)))
18		reexpcl 7823	. . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. NN0) -> (M^N) e. RR)
19		nn0re 7317	. . . . . . 7 |- (M e. NN0 -> M e. RR)
20	18, 19	sylan 497	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M^N) e. RR)
21		reexpcl 7823	. . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ (N + 1) e. NN0) -> (M^(N + 1)) e. RR)
22	21, 19, 4	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M^(N + 1)) e. RR)
23		remulcl 6457	. . . . . . 7 |- (((M^M) e. RR /\ (!` N) e. RR) -> ((M^M) x. (!` N)) e. RR)
24		reexpcl 7823	. . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ M e. NN0) -> (M^M) e. RR)
25	19, 24	mpancom 769	. . . . . . 7 |- (M e. NN0 -> (M^M) e. RR)
26		faccl 8192	. . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. NN)
27		nnre 7112	. . . . . . . 8 |- ((!` N) e. NN -> (!` N) e. RR)
28	26, 27	syl 12	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. RR)
29	23, 25, 28	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M^M) x. (!` N)) e. RR)
30		letr 6695	. . . . . 6 |- (((M^N) e. RR /\ (M^(N + 1)) e. RR /\ ((M^M) x. (!` N)) e. RR) -> (((M^N) <_ (M^(N + 1)) /\ (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N))) -> (M^N) <_ ((M^M) x. (!` N))))
31	20, 22, 29, 30	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (((M^N) <_ (M^(N + 1)) /\ (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N))) -> (M^N) <_ ((M^M) x. (!` N))))
32	31, 16	sylan 497	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N e. NN0) -> (((M^N) <_ (M^(N + 1)) /\ (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N))) -> (M^N) <_ ((M^M) x. (!` N))))
33	14, 17, 32	mp2and 767	. . 3 |- ((M e. NN /\ N e. NN0) -> (M^N) <_ ((M^M) x. (!` N)))
34		elnn0 7310	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
35		0exp 7832	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (0^N) = 0)
36		0re 6603	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
37		1re 6598	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
38		lt01 6871	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
39	36, 37, 38	ltleii 6756	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
40	35, 39	syl6eqbr 3374	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (0^N) <_ 1)
41		opreq2 4890	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> (0^N) = (0^0))
42		0cn 6481	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. CC
43		exp0 7814	. . . . . . . . . . 11 |- (0 e. CC -> (0^0) = 1)
44	42, 43	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (0^0) = 1
45	37	leidi 6790	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
46	44, 45	eqbrtri 3356	. . . . . . . . 9 |- (0^0) <_ 1
47	41, 46	syl6eqbr 3374	. . . . . . . 8 |- (N = 0 -> (0^N) <_ 1)
48	40, 47	jaoi 368	. . . . . . 7 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> (0^N) <_ 1)
49	34, 48	sylbi 216	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> (0^N) <_ 1)
50		nnmulcl 7124	. . . . . . . 8 |- ((1 e. NN /\ (!` N) e. NN) -> (1 x. (!` N)) e. NN)
51		1nn 7117	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
52	50, 51, 26	sylancr 526	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (1 x. (!` N)) e. NN)
53		nnge1 7126	. . . . . . 7 |- ((1 x. (!` N)) e. NN -> 1 <_ (1 x. (!` N)))
54	52, 53	syl 12	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> 1 <_ (1 x. (!` N)))
55		reexpcl 7823	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ N e. NN0) -> (0^N) e. RR)
56	36, 55	mpan 759	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (0^N) e. RR)
57		remulcl 6457	. . . . . . . 8 |- ((1 e. RR /\ (!` N) e. RR) -> (1 x. (!` N)) e. RR)
58	57, 37, 28	sylancr 526	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (1 x. (!` N)) e. RR)
59		letr 6695	. . . . . . . 8 |- (((0^N) e. RR /\ 1 e. RR /\ (1 x. (!` N)) e. RR) -> (((0^N) <_ 1 /\ 1 <_ (1 x. (!` N))) -> (0^N) <_ (1 x. (!` N))))
60	37, 59	mp3an2 1179	. . . . . . 7 |- (((0^N) e. RR /\ (1 x. (!` N)) e. RR) -> (((0^N) <_ 1 /\ 1 <_ (1 x. (!` N))) -> (0^N) <_ (1 x. (!` N))))
61	56, 58, 60	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> (((0^N) <_ 1 /\ 1 <_ (1 x. (!` N))) -> (0^N) <_ (1 x. (!` N))))
62	49, 54, 61	mp2and 767	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (0^N) <_ (1 x. (!` N)))
63	62	adantl 424	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N e. NN0) -> (0^N) <_ (1 x. (!` N)))
64		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (M = 0 -> (M^N) = (0^N))
65		opreq12 4891	. . . . . . . . 9 |- ((M = 0 /\ M = 0) -> (M^M) = (0^0))
66	65	anidms 480	. . . . . . . 8 |- (M = 0 -> (M^M) = (0^0))
67	66, 44	syl6eq 1944	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (M^M) = 1)
68	67	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (M = 0 -> ((M^M) x. (!` N)) = (1 x. (!` N)))
69	64, 68	breq12d 3351	. . . . 5 |- (M = 0 -> ((M^N) <_ ((M^M) x. (!` N)) <-> (0^N) <_ (1 x. (!` N))))
70	69	adantr 425	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N e. NN0) -> ((M^N) <_ ((M^M) x. (!` N)) <-> (0^N) <_ (1 x. (!` N))))
71	63, 70	mpbird 213	. . 3 |- ((M = 0 /\ N e. NN0) -> (M^N) <_ ((M^M) x. (!` N)))
72	33, 71	jaoian 470	. 2 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ N e. NN0) -> (M^N) <_ ((M^M) x. (!` N)))
73		elnn0 7310	. 2 |- (M e. NN0 <-> (M e. NN \/ M = 0))
74	72, 73	sylanb 498	1 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M^N) <_ ((M^M) x. (!` N)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ^cexp 7811  !cfa 8183

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4 8203

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-fac 8184

Copyright terms: Public domain