MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd2 Unicode version

Theorem faclbnd2 11537
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  /  2 )  <_ 
( ! `  N
) )

Proof of Theorem faclbnd2
StepHypRef Expression
1 sq2 11432 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
2 2t2e4 10083 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
31, 2eqtr4i 2427 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 )
43oveq2i 6051 . . . 4  |-  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  (
2  x.  2 ) )
5 2cn 10026 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
6 expp1 11343 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
75, 6mpan 652 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
87oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
94, 8syl5eq 2448 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
10 expcl 11354 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  CC )
115, 10mpan 652 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
12 2ne0 10039 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
135, 12pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
14 divmuldiv 9670 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2 ^ N )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  /\  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
1513, 13, 14mpanr12 667 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( ( 2 ^ N )  / 
2 )  x.  (
2  /  2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N
)  x.  2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
1611, 5, 15sylancl 644 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
175, 12dividi 9703 . . . . 5  |-  ( 2  /  2 )  =  1
1817oveq2i 6051 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  / 
2 )  x.  1 )
1911halfcld 10168 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  /  2 )  e.  CC )
2019mulid1d 9061 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  1 )  =  ( ( 2 ^ N )  /  2
) )
2118, 20syl5eq 2448 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  /  2
) )
229, 16, 213eqtr2rd 2443 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  /  2 )  =  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
23 2nn0 10194 . . . 4  |-  2  e.  NN0
24 faclbnd 11536 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( (
2 ^ 2 )  x.  ( ! `  N ) ) )
2523, 24mpan 652 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ! `  N )
) )
26 2re 10025 . . . . 5  |-  2  e.  RR
27 peano2nn0 10216 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
28 reexpcl 11353 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2926, 27, 28sylancr 645 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
30 faccl 11531 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
3130nnred 9971 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
32 4re 10029 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
331, 32eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  e.  RR
34 4pos 10042 . . . . . . 7  |-  0  <  4
3534, 1breqtrri 4197 . . . . . 6  |-  0  <  ( 2 ^ 2 )
3633, 35pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( ( 2 ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ 2 ) )
37 ledivmul 9839 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ 2 ) ) )  ->  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  <_ 
( ! `  N
)  <->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2 ^ 2 )  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
3836, 37mp3an3 1268 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( 2 ^ 2 ) )  <_  ( ! `  N )  <->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
3929, 31, 38syl2anc 643 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  <_  ( ! `  N )  <->  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ! `  N )
) ) )
4025, 39mpbird 224 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  <_ 
( ! `  N
) )
4122, 40eqbrtrd 4192 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  /  2 )  <_ 
( ! `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   2c2 10005   4c4 10007   NN0cn0 10177   ^cexp 11337   !cfa 11521
This theorem is referenced by:  ege2le3  12647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522
  Copyright terms: Public domain W3C validator