Theorem faclbnd2 7069

Description: A lower bound for the factorial function.

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	|- (N e. NN0 -> ((2^N) / 2) <_ (!` N))

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 6068	. . . . . 6 |- 2 e. CC
2		expp1 6697	. . . . . 6 |- ((2 e. CC /\ N e. NN0) -> (2^(N + 1)) = ((2^N) x. 2))
3	1, 2	mpan 698	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (2^(N + 1)) = ((2^N) x. 2))
4	3	opreq1d 4051	. . . 4 |- (N e. NN0 -> ((2^(N + 1)) / (2 x. 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
5		sq2 6760	. . . . . 6 |- (2^2) = 4
6		2t2e4 6110	. . . . . 6 |- (2 x. 2) = 4
7	5, 6	eqtr4i 1535	. . . . 5 |- (2^2) = (2 x. 2)
8	7	opreq2i 4048	. . . 4 |- ((2^(N + 1)) / (2^2)) = ((2^(N + 1)) / (2 x. 2))
9	4, 8	syl5eq 1556	. . 3 |- (N e. NN0 -> ((2^(N + 1)) / (2^2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
10		expcl 6704	. . . . 5 |- ((2 e. CC /\ N e. NN0) -> (2^N) e. CC)
11	1, 10	mpan 698	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (2^N) e. CC)
12	1, 1	pm3.2i 283	. . . . . 6 |- (2 e. CC /\ 2 e. CC)
13		2ne0 6078	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
14	13, 13	pm3.2i 283	. . . . . . 7 |- (2 =/= 0 /\ 2 =/= 0)
15		divmuldivOLD 5862	. . . . . . 7 |- (((((2^N) e. CC /\ 2 e. CC) /\ (2 e. CC /\ 2 e. CC)) /\ (2 =/= 0 /\ 2 =/= 0)) -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
16	14, 15	mpan2 699	. . . . . 6 |- ((((2^N) e. CC /\ 2 e. CC) /\ (2 e. CC /\ 2 e. CC)) -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
17	12, 16	mpan2 699	. . . . 5 |- (((2^N) e. CC /\ 2 e. CC) -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
18	1, 17	mpan2 699	. . . 4 |- ((2^N) e. CC -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
19	11, 18	syl 10	. . 3 |- (N e. NN0 -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
20		halfcl 6121	. . . . 5 |- ((2^N) e. CC -> ((2^N) / 2) e. CC)
21		ax1id 5371	. . . . 5 |- (((2^N) / 2) e. CC -> (((2^N) / 2) x. 1) = ((2^N) / 2))
22	11, 20, 21	3syl 20	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (((2^N) / 2) x. 1) = ((2^N) / 2))
23	1, 13	dividi 5849	. . . . 5 |- (2 / 2) = 1
24	23	opreq2i 4048	. . . 4 |- (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) / 2) x. 1)
25	22, 24	syl5eq 1556	. . 3 |- (N e. NN0 -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = ((2^N) / 2))
26	9, 19, 25	3eqtr2rd 1551	. 2 |- (N e. NN0 -> ((2^N) / 2) = ((2^(N + 1)) / (2^2)))
27		2nn0 6225	. . . 4 |- 2 e. NN0
28		faclbnd 7068	. . . 4 |- ((2 e. NN0 /\ N e. NN0) -> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N)))
29	27, 28	mpan 698	. . 3 |- (N e. NN0 -> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N)))
30		4re 6070	. . . . . 6 |- 4 e. RR
31	5, 30	eqeltri 1581	. . . . 5 |- (2^2) e. RR
32		4pos 6080	. . . . . . 7 |- 0 < 4
33	32, 5	breqtrri 2690	. . . . . 6 |- 0 < (2^2)
34		ledivmulOLD 5955	. . . . . 6 |- ((((2^(N + 1)) e. RR /\ (2^2) e. RR /\ (!` N) e. RR) /\ 0 < (2^2)) -> (((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N) <-> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N))))
35	33, 34	mpan2 699	. . . . 5 |- (((2^(N + 1)) e. RR /\ (2^2) e. RR /\ (!` N) e. RR) -> (((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N) <-> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N))))
36	31, 35	mp3an2 907	. . . 4 |- (((2^(N + 1)) e. RR /\ (!` N) e. RR) -> (((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N) <-> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N))))
37		peano2nn0 6234	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (N + 1) e. NN0)
38		2re 6067	. . . . . 6 |- 2 e. RR
39		reexpcl 6703	. . . . . 6 |- ((2 e. RR /\ (N + 1) e. NN0) -> (2^(N + 1)) e. RR)
40	38, 39	mpan 698	. . . . 5 |- ((N + 1) e. NN0 -> (2^(N + 1)) e. RR)
41	37, 40	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (2^(N + 1)) e. RR)
42		faccl 7063	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. NN)
43		nnre 6016	. . . . 5 |- ((!` N) e. NN -> (!` N) e. RR)
44	42, 43	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. RR)
45	36, 41, 44	sylanc 473	. . 3 |- (N e. NN0 -> (((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N) <-> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N))))
46	29, 45	mpbird 194	. 2 |- (N e. NN0 -> ((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N))
47	26, 46	eqbrtrd 2685	1 |- (N e. NN0 -> ((2^N) / 2) <_ (!` N))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 778   = wceq 988   e. wcel 990   =/= wne 1622   class class class wbr 2669  ` cfv 3237  (class class class)co 4039  CCcc 5321  RRcr 5322  0cc0 5323  1c1 5324   + caddc 5326   x. cmul 5328   / cdiv 5383   <_ cle 5384  NNcn 5385  NN0cn0 5386   < clt 5575  2c2 6049  4c4 6051  ^cexp 6691  !cfa 7054

This theorem is referenced by:  erelem3 7444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-div 5789  df-n 6012  df-2 6058  df-3 6059  df-4 6060  df-n0 6210  df-z 6246  df-seq1 6601  df-exp 6692  df-fac 7055

Copyright terms: Public domain