MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd2 Structured version   Unicode version

Theorem faclbnd2 12059
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  /  2 )  <_ 
( ! `  N
) )

Proof of Theorem faclbnd2
StepHypRef Expression
1 sq2 11954 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
2 2t2e4 10463 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
31, 2eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 )
43oveq2i 6097 . . . 4  |-  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  (
2  x.  2 ) )
5 2cn 10384 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
6 expp1 11864 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
75, 6mpan 670 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
87oveq1d 6101 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
94, 8syl5eq 2482 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
10 expcl 11875 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  CC )
115, 10mpan 670 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
12 2cnne0 10528 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
13 divmuldiv 10023 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2 ^ N )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  /\  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
1412, 12, 13mpanr12 685 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( ( 2 ^ N )  / 
2 )  x.  (
2  /  2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N
)  x.  2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
1511, 5, 14sylancl 662 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
16 2div2e1 10436 . . . . 5  |-  ( 2  /  2 )  =  1
1716oveq2i 6097 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  / 
2 )  x.  1 )
1811halfcld 10561 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  /  2 )  e.  CC )
1918mulid1d 9395 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  1 )  =  ( ( 2 ^ N )  /  2
) )
2017, 19syl5eq 2482 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  /  2
) )
219, 15, 203eqtr2rd 2477 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  /  2 )  =  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
22 2nn0 10588 . . . 4  |-  2  e.  NN0
23 faclbnd 12058 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( (
2 ^ 2 )  x.  ( ! `  N ) ) )
2422, 23mpan 670 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ! `  N )
) )
25 2re 10383 . . . . 5  |-  2  e.  RR
26 peano2nn0 10612 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
27 reexpcl 11874 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2825, 26, 27sylancr 663 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
29 faccl 12053 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
3029nnred 10329 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
31 4re 10390 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
321, 31eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  e.  RR
33 4pos 10409 . . . . . . 7  |-  0  <  4
3433, 1breqtrri 4312 . . . . . 6  |-  0  <  ( 2 ^ 2 )
3532, 34pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( ( 2 ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ 2 ) )
36 ledivmul 10197 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ 2 ) ) )  ->  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  <_ 
( ! `  N
)  <->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2 ^ 2 )  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
3735, 36mp3an3 1303 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( 2 ^ 2 ) )  <_  ( ! `  N )  <->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
3828, 30, 37syl2anc 661 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  <_  ( ! `  N )  <->  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ! `  N )
) ) )
3924, 38mpbird 232 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  <_ 
( ! `  N
) )
4021, 39eqbrtrd 4307 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  /  2 )  <_ 
( ! `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    / cdiv 9985   2c2 10363   4c4 10365   NN0cn0 10571   ^cexp 11857   !cfa 12043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044
This theorem is referenced by:  ege2le3  13367
  Copyright terms: Public domain W3C validator