Theorem faclbnd 8197

Description: A lower bound for the factorial function.

Assertion

Ref	Expression
faclbnd	|- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N)))

Proof of Theorem faclbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (j = 0 -> (j + 1) = (0 + 1))
2	1	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (j = 0 -> (M^(j + 1)) = (M^(0 + 1)))
3		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (j = 0 -> (!` j) = (!` 0))
4	3	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (j = 0 -> ((M^M) x. (!` j)) = ((M^M) x. (!` 0)))
5	2, 4	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (j = 0 -> ((M^(j + 1)) <_ ((M^M) x. (!` j)) <-> (M^(0 + 1)) <_ ((M^M) x. (!` 0))))
6	5	imbi2d 674	. . . . 5 |- (j = 0 -> ((M e. NN -> (M^(j + 1)) <_ ((M^M) x. (!` j))) <-> (M e. NN -> (M^(0 + 1)) <_ ((M^M) x. (!` 0)))))
7		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (j = k -> (j + 1) = (k + 1))
8	7	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (j = k -> (M^(j + 1)) = (M^(k + 1)))
9		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (j = k -> (!` j) = (!` k))
10	9	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (j = k -> ((M^M) x. (!` j)) = ((M^M) x. (!` k)))
11	8, 10	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (j = k -> ((M^(j + 1)) <_ ((M^M) x. (!` j)) <-> (M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k))))
12	11	imbi2d 674	. . . . 5 |- (j = k -> ((M e. NN -> (M^(j + 1)) <_ ((M^M) x. (!` j))) <-> (M e. NN -> (M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)))))
13		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (j = (k + 1) -> (j + 1) = ((k + 1) + 1))
14	13	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (j = (k + 1) -> (M^(j + 1)) = (M^((k + 1) + 1)))
15		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (j = (k + 1) -> (!` j) = (!` (k + 1)))
16	15	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (j = (k + 1) -> ((M^M) x. (!` j)) = ((M^M) x. (!` (k + 1))))
17	14, 16	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (j = (k + 1) -> ((M^(j + 1)) <_ ((M^M) x. (!` j)) <-> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1)))))
18	17	imbi2d 674	. . . . 5 |- (j = (k + 1) -> ((M e. NN -> (M^(j + 1)) <_ ((M^M) x. (!` j))) <-> (M e. NN -> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1))))))
19		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (j = N -> (j + 1) = (N + 1))
20	19	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (j = N -> (M^(j + 1)) = (M^(N + 1)))
21		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (j = N -> (!` j) = (!` N))
22	21	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (j = N -> ((M^M) x. (!` j)) = ((M^M) x. (!` N)))
23	20, 22	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (j = N -> ((M^(j + 1)) <_ ((M^M) x. (!` j)) <-> (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N))))
24	23	imbi2d 674	. . . . 5 |- (j = N -> ((M e. NN -> (M^(j + 1)) <_ ((M^M) x. (!` j))) <-> (M e. NN -> (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N)))))
25		nnre 7112	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> M e. RR)
26		1nn0 7323	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
27	26	a1i 8	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> 1 e. NN0)
28		nnnn0 7315	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> M e. NN0)
29		nnge1 7126	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> 1 <_ M)
30		expwordi 7848	. . . . . . 7 |- (((M e. RR /\ 1 e. NN0 /\ M e. NN0) /\ (1 <_ M /\ 1 <_ M)) -> (M^1) <_ (M^M))
31	25, 27, 28, 29, 29, 30	syl32anc 1108	. . . . . 6 |- (M e. NN -> (M^1) <_ (M^M))
32		ax1cn 6422	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
33	32	addid2i 6484	. . . . . . . 8 |- (0 + 1) = 1
34	33	opreq2i 4893	. . . . . . 7 |- (M^(0 + 1)) = (M^1)
35	34	a1i 8	. . . . . 6 |- (M e. NN -> (M^(0 + 1)) = (M^1))
36		reexpcl 7823	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ M e. NN0) -> (M^M) e. RR)
37	25, 28, 36	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> (M^M) e. RR)
38	37	recnd 6468	. . . . . . . 8 |- (M e. NN -> (M^M) e. CC)
39		ax1id 6435	. . . . . . . 8 |- ((M^M) e. CC -> ((M^M) x. 1) = (M^M))
40	38, 39	syl 12	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> ((M^M) x. 1) = (M^M))
41		fac0 8186	. . . . . . . 8 |- (!` 0) = 1
42	41	opreq2i 4893	. . . . . . 7 |- ((M^M) x. (!` 0)) = ((M^M) x. 1)
43	40, 42	syl5eq 1940	. . . . . 6 |- (M e. NN -> ((M^M) x. (!` 0)) = (M^M))
44	31, 35, 43	3brtr4d 3367	. . . . 5 |- (M e. NN -> (M^(0 + 1)) <_ ((M^M) x. (!` 0)))
45		lelttric 6805	. . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> (M <_ (k + 1) \/ (k + 1) < M))
46		nn0re 7317	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> k e. RR)
47		peano2re 6599	. . . . . . . . . 10 |- (k e. RR -> (k + 1) e. RR)
48	46, 47	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (k + 1) e. RR)
49	45, 25, 48	syl2an 503	. . . . . . . 8 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (M <_ (k + 1) \/ (k + 1) < M))
50		lemul12aOLD 7025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((M^(k + 1)) e. RR /\ ((M^M) x. (!` k)) e. RR) /\ (0 <_ (M^(k + 1)) /\ (M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)))) /\ ((M e. RR /\ (k + 1) e. RR) /\ (0 <_ M /\ M <_ (k + 1)))) -> ((M^(k + 1)) x. M) <_ (((M^M) x. (!` k)) x. (k + 1)))
51		reexpcl 7823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ (k + 1) e. NN0) -> (M^(k + 1)) e. RR)
52		peano2nn0 7333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k e. NN0 -> (k + 1) e. NN0)
53	51, 25, 52	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (M^(k + 1)) e. RR)
54	53	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ (M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k))) -> (M^(k + 1)) e. RR)
55		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((M^M) e. RR /\ (!` k) e. RR) -> ((M^M) x. (!` k)) e. RR)
56		faccl 8192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
57		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) e. RR)
58	56, 57	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. RR)
59	55, 37, 58	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> ((M^M) x. (!` k)) e. RR)
60	59	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ (M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k))) -> ((M^M) x. (!` k)) e. RR)
61	25	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> M e. RR)
62	52	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (k + 1) e. NN0)
63		nn0ge0 7326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (M e. NN0 -> 0 <_ M)
64	28, 63	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (M e. NN -> 0 <_ M)
65	64	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> 0 <_ M)
66		expge0 7833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ (k + 1) e. NN0 /\ 0 <_ M) -> 0 <_ (M^(k + 1)))
67	61, 62, 65, 66	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> 0 <_ (M^(k + 1)))
68	67	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ (M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k))) -> (0 <_ (M^(k + 1)) /\ (M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k))))
69	54, 60, 68	jca31 311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ (M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k))) -> (((M^(k + 1)) e. RR /\ ((M^M) x. (!` k)) e. RR) /\ (0 <_ (M^(k + 1)) /\ (M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)))))
70	25	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ M <_ (k + 1)) -> M e. RR)
71	48	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ M <_ (k + 1)) -> (k + 1) e. RR)
72	65	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ M <_ (k + 1)) -> (0 <_ M /\ M <_ (k + 1)))
73	70, 71, 72	jca31 311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ M <_ (k + 1)) -> ((M e. RR /\ (k + 1) e. RR) /\ (0 <_ M /\ M <_ (k + 1))))
74	50, 69, 73	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((M e. NN /\ k e. NN0) /\ (M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k))) /\ ((M e. NN /\ k e. NN0) /\ M <_ (k + 1))) -> ((M^(k + 1)) x. M) <_ (((M^M) x. (!` k)) x. (k + 1)))
75	74	anandis 570	. . . . . . . . . . . 12 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)) /\ M <_ (k + 1))) -> ((M^(k + 1)) x. M) <_ (((M^M) x. (!` k)) x. (k + 1)))
76		expp1 7817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. CC /\ (k + 1) e. NN0) -> (M^((k + 1) + 1)) = ((M^(k + 1)) x. M))
77		nncn 7113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (M e. NN -> M e. CC)
78	76, 77, 52	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (M^((k + 1) + 1)) = ((M^(k + 1)) x. M))
79	78	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)) /\ M <_ (k + 1))) -> (M^((k + 1) + 1)) = ((M^(k + 1)) x. M))
80		facp1 8188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN0 -> (!` (k + 1)) = ((!` k) x. (k + 1)))
81	80	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (!` (k + 1)) = ((!` k) x. (k + 1)))
82	81	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> ((M^M) x. (!` (k + 1))) = ((M^M) x. ((!` k) x. (k + 1))))
83	38	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (M^M) e. CC)
84	58	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. CC)
85	84	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (!` k) e. CC)
86		nn0cn 7318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k e. NN0 -> k e. CC)
87		peano2cn 6498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k e. CC -> (k + 1) e. CC)
88	86, 87	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN0 -> (k + 1) e. CC)
89	88	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (k + 1) e. CC)
90		mulass 6461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M^M) e. CC /\ (!` k) e. CC /\ (k + 1) e. CC) -> (((M^M) x. (!` k)) x. (k + 1)) = ((M^M) x. ((!` k) x. (k + 1))))
91	83, 85, 89, 90	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (((M^M) x. (!` k)) x. (k + 1)) = ((M^M) x. ((!` k) x. (k + 1))))
92	82, 91	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> ((M^M) x. (!` (k + 1))) = (((M^M) x. (!` k)) x. (k + 1)))
93	92	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)) /\ M <_ (k + 1))) -> ((M^M) x. (!` (k + 1))) = (((M^M) x. (!` k)) x. (k + 1)))
94	75, 79, 93	3brtr4d 3367	. . . . . . . . . . 11 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)) /\ M <_ (k + 1))) -> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1))))
95	94	exp32 408	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> ((M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)) -> (M <_ (k + 1) -> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1))))))
96	95	com23 36	. . . . . . . . 9 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (M <_ (k + 1) -> ((M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)) -> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1))))))
97		nn0ltp1le 7336	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((k + 1) e. NN0 /\ M e. NN0) -> ((k + 1) < M <-> ((k + 1) + 1) <_ M))
98	97, 52, 28	syl2an 503	. . . . . . . . . . . 12 |- ((k e. NN0 /\ M e. NN) -> ((k + 1) < M <-> ((k + 1) + 1) <_ M))
99	98	ancoms 484	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> ((k + 1) < M <-> ((k + 1) + 1) <_ M))
100		reexpcl 7823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. RR /\ ((k + 1) + 1) e. NN0) -> (M^((k + 1) + 1)) e. RR)
101		peano2nn0 7333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((k + 1) e. NN0 -> ((k + 1) + 1) e. NN0)
102	52, 101	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. NN0 -> ((k + 1) + 1) e. NN0)
103	100, 25, 102	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (M^((k + 1) + 1)) e. RR)
104	103	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((k + 1) + 1) <_ M) -> (M^((k + 1) + 1)) e. RR)
105	37	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((k + 1) + 1) <_ M) -> (M^M) e. RR)
106		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M^M) e. RR /\ (!` (k + 1)) e. RR) -> ((M^M) x. (!` (k + 1))) e. RR)
107		faccl 8192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((k + 1) e. NN0 -> (!` (k + 1)) e. NN)
108		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((!` (k + 1)) e. NN -> (!` (k + 1)) e. RR)
109	52, 107, 108	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. NN0 -> (!` (k + 1)) e. RR)
110	106, 37, 109	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> ((M^M) x. (!` (k + 1))) e. RR)
111	110	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((k + 1) + 1) <_ M) -> ((M^M) x. (!` (k + 1))) e. RR)
112	25	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((k + 1) + 1) <_ M) -> M e. RR)
113	102	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((k + 1) + 1) <_ M) -> ((k + 1) + 1) e. NN0)
114	28	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((k + 1) + 1) <_ M) -> M e. NN0)
115	29	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> 1 <_ M)
116	115	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((k + 1) + 1) <_ M) -> (1 <_ M /\ ((k + 1) + 1) <_ M))
117		expwordi 7848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((M e. RR /\ ((k + 1) + 1) e. NN0 /\ M e. NN0) /\ (1 <_ M /\ ((k + 1) + 1) <_ M)) -> (M^((k + 1) + 1)) <_ (M^M))
118	112, 113, 114, 116, 117	syl31anc 1103	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((k + 1) + 1) <_ M) -> (M^((k + 1) + 1)) <_ (M^M))
119	37, 109	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> ((M^M) e. RR /\ (!` (k + 1)) e. RR))
120		nn0re 7317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (M e. NN0 -> M e. RR)
121		id 73	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (M e. NN0 -> M e. NN0)
122		expge0 7833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((M e. RR /\ M e. NN0 /\ 0 <_ M) -> 0 <_ (M^M))
123	120, 121, 63, 122	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (M e. NN0 -> 0 <_ (M^M))
124	28, 123	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (M e. NN -> 0 <_ (M^M))
125		nnge1 7126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((!` (k + 1)) e. NN -> 1 <_ (!` (k + 1)))
126	52, 107, 125	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN0 -> 1 <_ (!` (k + 1)))
127	124, 126	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (0 <_ (M^M) /\ 1 <_ (!` (k + 1))))
128		lemulge11 7030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((M^M) e. RR /\ (!` (k + 1)) e. RR) /\ (0 <_ (M^M) /\ 1 <_ (!` (k + 1)))) -> (M^M) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1))))
129	119, 127, 128	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (M^M) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1))))
130	129	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((k + 1) + 1) <_ M) -> (M^M) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1))))
131	104, 105, 111, 118, 130	letrd 6696	. . . . . . . . . . . 12 |- (((M e. NN /\ k e. NN0) /\ ((k + 1) + 1) <_ M) -> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1))))
132	131	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> (((k + 1) + 1) <_ M -> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1)))))
133	99, 132	sylbid 220	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> ((k + 1) < M -> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1)))))
134	133	a1dd 53	. . . . . . . . 9 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> ((k + 1) < M -> ((M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)) -> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1))))))
135	96, 134	jaod 469	. . . . . . . 8 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> ((M <_ (k + 1) \/ (k + 1) < M) -> ((M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)) -> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1))))))
136	49, 135	mpd 29	. . . . . . 7 |- ((M e. NN /\ k e. NN0) -> ((M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)) -> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1)))))
137	136	expcom 403	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (M e. NN -> ((M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k)) -> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1))))))
138	137	a2d 16	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ((M e. NN -> (M^(k + 1)) <_ ((M^M) x. (!` k))) -> (M e. NN -> (M^((k + 1) + 1)) <_ ((M^M) x. (!` (k + 1))))))
139	6, 12, 18, 24, 44, 138	nn0ind 7424	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (M e. NN -> (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N))))
140	139	impcom 378	. . 3 |- ((M e. NN /\ N e. NN0) -> (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N)))
141		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (M = 0 -> (M^(N + 1)) = (0^(N + 1)))
142		opreq12 4891	. . . . . . . 8 |- ((M = 0 /\ M = 0) -> (M^M) = (0^0))
143	142	anidms 480	. . . . . . 7 |- (M = 0 -> (M^M) = (0^0))
144	143	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (M = 0 -> ((M^M) x. (!` N)) = ((0^0) x. (!` N)))
145	141, 144	breq12d 3351	. . . . 5 |- (M = 0 -> ((M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N)) <-> (0^(N + 1)) <_ ((0^0) x. (!` N))))
146		faccl 8192	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. NN)
147		nnnn0 7315	. . . . . . 7 |- ((!` N) e. NN -> (!` N) e. NN0)
148		nn0ge0 7326	. . . . . . 7 |- ((!` N) e. NN0 -> 0 <_ (!` N))
149	146, 147, 148	3syl 24	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> 0 <_ (!` N))
150		nn0p1nn 7384	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (N + 1) e. NN)
151		0exp 7832	. . . . . . 7 |- ((N + 1) e. NN -> (0^(N + 1)) = 0)
152	150, 151	syl 12	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> (0^(N + 1)) = 0)
153		nncn 7113	. . . . . . . 8 |- ((!` N) e. NN -> (!` N) e. CC)
154		mulid2 6578	. . . . . . . 8 |- ((!` N) e. CC -> (1 x. (!` N)) = (!` N))
155	146, 153, 154	3syl 24	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (1 x. (!` N)) = (!` N))
156		0cn 6481	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
157		exp0 7814	. . . . . . . . 9 |- (0 e. CC -> (0^0) = 1)
158	156, 157	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0^0) = 1
159	158	opreq1i 4892	. . . . . . 7 |- ((0^0) x. (!` N)) = (1 x. (!` N))
160	155, 159	syl5eq 1940	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> ((0^0) x. (!` N)) = (!` N))
161	149, 152, 160	3brtr4d 3367	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (0^(N + 1)) <_ ((0^0) x. (!` N)))
162	145, 161	syl5bir 227	. . . 4 |- (M = 0 -> (N e. NN0 -> (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N))))
163	162	imp 377	. . 3 |- ((M = 0 /\ N e. NN0) -> (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N)))
164	140, 163	jaoian 470	. 2 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ N e. NN0) -> (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N)))
165		elnn0 7310	. 2 |- (M e. NN0 <-> (M e. NN \/ M = 0))
166	164, 165	sylanb 498	1 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M^(N + 1)) <_ ((M^M) x. (!` N)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  ^cexp 7811  !cfa 8183

This theorem is referenced by:  faclbnd2 8198  faclbnd3 8199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-fac 8184

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