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Theorem faclbnd 12062
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10577 . 2  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
2 oveq1 6097 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  (
j  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
32oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ (
0  +  1 ) ) )
4 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
54oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0
) ) )
63, 5breq12d 4302 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0 )
) ) )
76imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0 )
) ) ) )
8 oveq1 6097 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
98oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ (
k  +  1 ) ) )
10 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
1110oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) ) )
129, 11breq12d 4302 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) ) )
1312imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) ) ) )
14 oveq1 6097 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
1514oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) ) )
16 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1716oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
1815, 17breq12d 4302 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1918imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
20 oveq1 6097 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  (
j  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2120oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ ( N  +  1 ) ) )
22 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
2322oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
2421, 23breq12d 4302 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2524imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) ) )
26 nnre 10325 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
27 nnge1 10344 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
28 elnnuz 10893 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2928biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3026, 27, 29leexp2ad 12036 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 1 )  <_ 
( M ^ M
) )
31 0p1e1 10429 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3231oveq2i 6101 . . . . . . 7  |-  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  =  ( M ^ 1 )
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  =  ( M ^ 1 ) )
34 fac0 12050 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 0 )  =  1
3534oveq2i 6101 . . . . . . 7  |-  ( ( M ^ M )  x.  ( ! ` 
0 ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  1 )
36 nnnn0 10582 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
3726, 36reexpcld 12021 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
3837recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ M )  e.  CC )
3938mulid1d 9399 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M ^ M
)  x.  1 )  =  ( M ^ M ) )
4035, 39syl5eq 2485 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 0 ) )  =  ( M ^ M ) )
4130, 33, 403brtr4d 4319 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0 )
) )
4226ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
43 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
44 peano2nn0 10616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
4642, 45reexpcld 12021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR )
4736ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
4842, 47reexpcld 12021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
49 faccl 12057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
5043, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
5150nnred 10333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
5248, 51remulcld 9410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) )  e.  RR )
53 nn0re 10584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
54 peano2re 9538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
5543, 53, 543syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
56 nngt0 10347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
5756ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  M )
58 0re 9382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
59 ltle 9459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <  M  ->  0  <_  M )
)
6058, 59mpan 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  RR  ->  (
0  <  M  ->  0  <_  M ) )
6142, 57, 60sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <_  M )
6242, 45, 61expge0d 12022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( M ^ ( k  +  1 ) ) )
63 simplr 749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )
64 simprr 751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  <_  ( k  +  1 ) )
6546, 52, 42, 55, 62, 61, 63, 64lemul12ad 10271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  x.  M )  <_  (
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
)  x.  ( k  +  1 ) ) )
6665anandis 821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( M ^ (
k  +  1 ) )  x.  M )  <_  ( ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
67 nncn 10326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
68 expp1 11868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  x.  M ) )
6967, 44, 68syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  x.  M ) )
7069adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  x.  M
) )
71 facp1 12052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
7271adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
7372oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
7438adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  e.  CC )
7549nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  CC )
7675adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  CC )
77 nn0cn 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
78 peano2cn 9537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
8079adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
8174, 76, 80mulassd 9405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) )  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
8273, 81eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
8382adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
8466, 70, 833brtr4d 4319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
8584exp32 602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
8685com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
)  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
87 nn0ltp1le 10698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  <->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
8844, 36, 87syl2anr 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  <->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
89 peano2nn0 10616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
9044, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
91 reexpcl 11878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9226, 90, 91syl2an 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9392adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9437ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ M
)  e.  RR )
95 faccl 12057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
9644, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
9796nnred 10333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
98 remulcl 9363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ^ M
)  e.  RR  /\  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
9937, 97, 98syl2an 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
10099adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
10126ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  M  e.  RR )
10227ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  1  <_  M )
103 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )
10490ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  NN0 )
105104nn0zd 10741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
106 nnz 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
107106ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  M  e.  ZZ )
108 eluz 10870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( (
k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
109105, 107, 108syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( (
k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
110103, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )
111101, 102, 110leexp2ad 12036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( M ^ M ) )
11237, 97anim12i 563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  e.  RR  /\  ( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR ) )
113 nn0re 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e. 
NN0 )
115 nn0ge0 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
116113, 114, 115expge0d 12022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_ 
( M ^ M
) )
11736, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  ( M ^ M
) )
11896nnge1d 10360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  <_ 
( ! `  (
k  +  1 ) ) )
119117, 118anim12i 563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M ^ M )  /\  1  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
120 lemulge11 10187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M ^ M )  e.  RR  /\  ( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( M ^ M
)  /\  1  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( M ^ M )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
121112, 119, 120syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
122121adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ M
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
12393, 94, 100, 111, 122letrd 9524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
124123ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
12588, 124sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
126125a1dd 46 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  ->  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  ->  ( M ^
( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
12753, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
128 lelttric 9477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  \/  ( k  +  1 )  < 
M ) )
12926, 127, 128syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  \/  ( k  +  1 )  <  M
) )
13086, 126, 129mpjaod 381 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  ->  ( M ^
( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
131130expcom 435 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  ->  (
( M ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
132131a2d 26 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) ) )  -> 
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
1337, 13, 19, 25, 41, 132nn0ind 10734 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
134133impcom 430 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
135 faccl 12057 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
136135nnnn0d 10632 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e. 
NN0 )
137136nn0ge0d 10635 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  N
) )
138 nn0p1nn 10615 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1391380expd 12020 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ ( N  + 
1 ) )  =  0 )
140 0exp0e1 11866 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
141140oveq1i 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 1  x.  ( ! `  N )
)
142135nncnd 10334 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
143142mulid2d 9400 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
144141, 143syl5eq 2485 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
145137, 139, 1443brtr4d 4319 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N )
) )
146 oveq1 6097 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( 0 ^ ( N  +  1 ) ) )
147 oveq12 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  0  /\  M  =  0 )  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
148147anidms 640 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
149148oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N
) ) )
150146, 149breq12d 4302 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( 0 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N )
) ) )
151145, 150syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( M  =  0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
152151imp 429 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
153134, 152jaoian 777 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )
1541, 153sylanb 469 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ^cexp 11861   !cfa 12047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048
This theorem is referenced by:  faclbnd2  12063  faclbnd3  12064
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