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Theorem faclbnd 12187
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10696 . 2  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
2 oveq1 6210 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  (
j  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
32oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ (
0  +  1 ) ) )
4 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
54oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0
) ) )
63, 5breq12d 4416 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0 )
) ) )
76imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0 )
) ) ) )
8 oveq1 6210 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
98oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ (
k  +  1 ) ) )
10 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
1110oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) ) )
129, 11breq12d 4416 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) ) )
1312imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) ) ) )
14 oveq1 6210 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
1514oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) ) )
16 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1716oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
1815, 17breq12d 4416 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1918imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
20 oveq1 6210 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  (
j  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2120oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ ( N  +  1 ) ) )
22 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
2322oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
2421, 23breq12d 4416 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2524imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) ) )
26 nnre 10444 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
27 nnge1 10463 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
28 elnnuz 11012 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2928biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3026, 27, 29leexp2ad 12161 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 1 )  <_ 
( M ^ M
) )
31 0p1e1 10548 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3231oveq2i 6214 . . . . . . 7  |-  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  =  ( M ^ 1 )
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  =  ( M ^ 1 ) )
34 fac0 12175 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 0 )  =  1
3534oveq2i 6214 . . . . . . 7  |-  ( ( M ^ M )  x.  ( ! ` 
0 ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  1 )
36 nnnn0 10701 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
3726, 36reexpcld 12146 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
3837recnd 9527 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ M )  e.  CC )
3938mulid1d 9518 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M ^ M
)  x.  1 )  =  ( M ^ M ) )
4035, 39syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 0 ) )  =  ( M ^ M ) )
4130, 33, 403brtr4d 4433 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0 )
) )
4226ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
43 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
44 peano2nn0 10735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
4642, 45reexpcld 12146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR )
4736ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
4842, 47reexpcld 12146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
49 faccl 12182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
5043, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
5150nnred 10452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
5248, 51remulcld 9529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) )  e.  RR )
53 nn0re 10703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
54 peano2re 9657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
5543, 53, 543syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
56 nngt0 10466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
5756ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  M )
58 0re 9501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
59 ltle 9578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <  M  ->  0  <_  M )
)
6058, 59mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  RR  ->  (
0  <  M  ->  0  <_  M ) )
6142, 57, 60sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <_  M )
6242, 45, 61expge0d 12147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( M ^ ( k  +  1 ) ) )
63 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )
64 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  <_  ( k  +  1 ) )
6546, 52, 42, 55, 62, 61, 63, 64lemul12ad 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  x.  M )  <_  (
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
)  x.  ( k  +  1 ) ) )
6665anandis 826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( M ^ (
k  +  1 ) )  x.  M )  <_  ( ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
67 nncn 10445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
68 expp1 11993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  x.  M ) )
6967, 44, 68syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  x.  M ) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  x.  M
) )
71 facp1 12177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
7372oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
7438adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  e.  CC )
7549nncnd 10453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  CC )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  CC )
77 nn0cn 10704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
78 peano2cn 9656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
8174, 76, 80mulassd 9524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) )  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
8273, 81eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
8382adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
8466, 70, 833brtr4d 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
8584exp32 605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
8685com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
)  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
87 nn0ltp1le 10817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  <->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
8844, 36, 87syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  <->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
89 peano2nn0 10735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
9044, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
91 reexpcl 12003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9226, 90, 91syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9437ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ M
)  e.  RR )
95 faccl 12182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
9644, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
9796nnred 10452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
98 remulcl 9482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ^ M
)  e.  RR  /\  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
9937, 97, 98syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
10126ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  M  e.  RR )
10227ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  1  <_  M )
103 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )
10490ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  NN0 )
105104nn0zd 10860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
106 nnz 10783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
107106ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  M  e.  ZZ )
108 eluz 10989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( (
k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
109105, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( (
k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
110103, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )
111101, 102, 110leexp2ad 12161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( M ^ M ) )
11237, 97anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  e.  RR  /\  ( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR ) )
113 nn0re 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e. 
NN0 )
115 nn0ge0 10720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
116113, 114, 115expge0d 12147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_ 
( M ^ M
) )
11736, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  ( M ^ M
) )
11896nnge1d 10479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  <_ 
( ! `  (
k  +  1 ) ) )
119117, 118anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M ^ M )  /\  1  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
120 lemulge11 10306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M ^ M )  e.  RR  /\  ( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( M ^ M
)  /\  1  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( M ^ M )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
121112, 119, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ M
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
12393, 94, 100, 111, 122letrd 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
124123ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
12588, 124sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
126125a1dd 46 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  ->  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  ->  ( M ^
( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
12753, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
128 lelttric 9596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  \/  ( k  +  1 )  < 
M ) )
12926, 127, 128syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  \/  ( k  +  1 )  <  M
) )
13086, 126, 129mpjaod 381 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  ->  ( M ^
( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
131130expcom 435 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  ->  (
( M ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
132131a2d 26 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) ) )  -> 
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
1337, 13, 19, 25, 41, 132nn0ind 10853 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
134133impcom 430 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
135 faccl 12182 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
136135nnnn0d 10751 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e. 
NN0 )
137136nn0ge0d 10754 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  N
) )
138 nn0p1nn 10734 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1391380expd 12145 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ ( N  + 
1 ) )  =  0 )
140 0exp0e1 11991 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
141140oveq1i 6213 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 1  x.  ( ! `  N )
)
142135nncnd 10453 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
143142mulid2d 9519 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
144141, 143syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
145137, 139, 1443brtr4d 4433 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N )
) )
146 oveq1 6210 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( 0 ^ ( N  +  1 ) ) )
147 oveq12 6212 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  0  /\  M  =  0 )  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
148147anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
149148oveq1d 6218 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N
) ) )
150146, 149breq12d 4416 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( 0 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N )
) ) )
151145, 150syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( M  =  0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
152151imp 429 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
153134, 152jaoian 782 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )
1541, 153sylanb 472 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   RRcr 9396   0cc0 9397   1c1 9398    + caddc 9400    x. cmul 9402    < clt 9533    <_ cle 9534   NNcn 10437   NN0cn0 10694   ZZcz 10761   ZZ>=cuz 10976   ^cexp 11986   !cfa 12172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-seq 11928  df-exp 11987  df-fac 12173
This theorem is referenced by:  faclbnd2  12188  faclbnd3  12189
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