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Theorem faclbnd 12410
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10837 . 2  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
2 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  (
j  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
32oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ (
0  +  1 ) ) )
4 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
54oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0
) ) )
63, 5breq12d 4407 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0 )
) ) )
76imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0 )
) ) ) )
8 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
98oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ (
k  +  1 ) ) )
10 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
1110oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) ) )
129, 11breq12d 4407 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) ) )
1312imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) ) ) )
14 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
1514oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) ) )
16 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1716oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
1815, 17breq12d 4407 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1918imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
20 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  (
j  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2120oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ ( N  +  1 ) ) )
22 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
2322oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
2421, 23breq12d 4407 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2524imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) ) )
26 nnre 10582 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
27 nnge1 10601 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
28 elnnuz 11162 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2928biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3026, 27, 29leexp2ad 12384 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 1 )  <_ 
( M ^ M
) )
31 0p1e1 10687 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3231oveq2i 6288 . . . . . . 7  |-  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  =  ( M ^ 1 )
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  =  ( M ^ 1 ) )
34 fac0 12398 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 0 )  =  1
3534oveq2i 6288 . . . . . . 7  |-  ( ( M ^ M )  x.  ( ! ` 
0 ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  1 )
36 nnnn0 10842 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
3726, 36reexpcld 12369 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
3837recnd 9651 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ M )  e.  CC )
3938mulid1d 9642 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M ^ M
)  x.  1 )  =  ( M ^ M ) )
4035, 39syl5eq 2455 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 0 ) )  =  ( M ^ M ) )
4130, 33, 403brtr4d 4424 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0 )
) )
4226ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
43 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
44 peano2nn0 10876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
4642, 45reexpcld 12369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR )
4736ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
4842, 47reexpcld 12369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
49 faccl 12405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
5043, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
5150nnred 10590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
5248, 51remulcld 9653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) )  e.  RR )
53 nn0re 10844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
54 peano2re 9786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
5543, 53, 543syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
56 nngt0 10604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
5756ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  M )
58 0re 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
59 ltle 9703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <  M  ->  0  <_  M )
)
6058, 59mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  RR  ->  (
0  <  M  ->  0  <_  M ) )
6142, 57, 60sylc 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <_  M )
6242, 45, 61expge0d 12370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( M ^ ( k  +  1 ) ) )
63 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )
64 simprr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  <_  ( k  +  1 ) )
6546, 52, 42, 55, 62, 61, 63, 64lemul12ad 10527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  x.  M )  <_  (
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
)  x.  ( k  +  1 ) ) )
6665anandis 831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( M ^ (
k  +  1 ) )  x.  M )  <_  ( ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
67 nncn 10583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
68 expp1 12215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  x.  M ) )
6967, 44, 68syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  x.  M ) )
7069adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  x.  M
) )
71 facp1 12400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
7271adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
7372oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
7438adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  e.  CC )
7549nncnd 10591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  CC )
7675adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  CC )
77 nn0cn 10845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
78 peano2cn 9785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
8079adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
8174, 76, 80mulassd 9648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) )  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
8273, 81eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
8382adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
8466, 70, 833brtr4d 4424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
8584exp32 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
8685com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
)  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
87 nn0ltp1le 10961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  <->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
8844, 36, 87syl2anr 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  <->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
89 peano2nn0 10876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
9044, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
91 reexpcl 12225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9226, 90, 91syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9392adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9437ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ M
)  e.  RR )
95 faccl 12405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
9644, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
9796nnred 10590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
98 remulcl 9606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ^ M
)  e.  RR  /\  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
9937, 97, 98syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
10099adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
10126ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  M  e.  RR )
10227ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  1  <_  M )
103 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )
10490ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  NN0 )
105104nn0zd 11005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
106 nnz 10926 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
107106ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  M  e.  ZZ )
108 eluz 11139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( (
k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
109105, 107, 108syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( (
k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
110103, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )
111101, 102, 110leexp2ad 12384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( M ^ M ) )
11237, 97anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  e.  RR  /\  ( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR ) )
113 nn0re 10844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e. 
NN0 )
115 nn0ge0 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
116113, 114, 115expge0d 12370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_ 
( M ^ M
) )
11736, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  ( M ^ M
) )
11896nnge1d 10618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  <_ 
( ! `  (
k  +  1 ) ) )
119117, 118anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M ^ M )  /\  1  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
120 lemulge11 10444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M ^ M )  e.  RR  /\  ( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( M ^ M
)  /\  1  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( M ^ M )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
121112, 119, 120syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
122121adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ M
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
12393, 94, 100, 111, 122letrd 9772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
124123ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
12588, 124sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
126125a1dd 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  ->  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  ->  ( M ^
( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
12753, 54syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
128 lelttric 9722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  \/  ( k  +  1 )  < 
M ) )
12926, 127, 128syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  \/  ( k  +  1 )  <  M
) )
13086, 126, 129mpjaod 379 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  ->  ( M ^
( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
131130expcom 433 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  ->  (
( M ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
132131a2d 26 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) ) )  -> 
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
1337, 13, 19, 25, 41, 132nn0ind 10997 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
134133impcom 428 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
135 faccl 12405 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
136135nnnn0d 10892 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e. 
NN0 )
137136nn0ge0d 10895 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  N
) )
138 nn0p1nn 10875 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1391380expd 12368 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ ( N  + 
1 ) )  =  0 )
140 0exp0e1 12213 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
141140oveq1i 6287 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 1  x.  ( ! `  N )
)
142135nncnd 10591 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
143142mulid2d 9643 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
144141, 143syl5eq 2455 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
145137, 139, 1443brtr4d 4424 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N )
) )
146 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( 0 ^ ( N  +  1 ) ) )
147 oveq12 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  0  /\  M  =  0 )  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
148147anidms 643 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
149148oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N
) ) )
150146, 149breq12d 4407 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( 0 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N )
) ) )
151145, 150syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( M  =  0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
152151imp 427 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
153134, 152jaoian 785 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )
1541, 153sylanb 470 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526    < clt 9657    <_ cle 9658   NNcn 10575   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   ^cexp 12208   !cfa 12395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396
This theorem is referenced by:  faclbnd2  12411  faclbnd3  12412
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